Theorem cflm 9072

Description: Value of the cofinality function at a limit ordinal. Part of Definition of cofinality of [Enderton] p. 257. (Contributed by NM, 26-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
cflm	|- ( ( A e. B /\ Lim A ) -> ( cf ` A ) = |^| { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A = U. y ) ) } )

Distinct variable group:   x, y, A

Allowed substitution hints:   B( x, y)

Proof of Theorem cflm

Dummy variables z w v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3212	. 2 |- ( A e. B -> A e. _V )
2		limsuc 7049	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( Lim A -> ( v e. A <-> suc v e. A ) )
3	2	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Lim A -> ( v e. A -> suc v e. A ) )
4		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = suc v -> ( z C_ w <-> suc v C_ w ) )
5	4	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = suc v -> ( E. w e. y z C_ w <-> E. w e. y suc v C_ w ) )
6	5	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( suc v e. A -> ( A. z e. A E. w e. y z C_ w -> E. w e. y suc v C_ w ) )
7		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- v e. _V
8		sucssel 5819	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v e. _V -> ( suc v C_ w -> v e. w ) )
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( suc v C_ w -> v e. w )
10	9	reximi 3011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( E. w e. y suc v C_ w -> E. w e. y v e. w )
11		eluni2 4440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( v e. U. y <-> E. w e. y v e. w )
12	10, 11	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( E. w e. y suc v C_ w -> v e. U. y )
13	6, 12	syl6com 37	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. z e. A E. w e. y z C_ w -> ( suc v e. A -> v e. U. y ) )
14	3, 13	syl9 77	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Lim A -> ( A. z e. A E. w e. y z C_ w -> ( v e. A -> v e. U. y ) ) )
15	14	ralrimdv 2968	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Lim A -> ( A. z e. A E. w e. y z C_ w -> A. v e. A v e. U. y ) )
16		dfss3 3592	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A C_ U. y <-> A. v e. A v e. U. y )
17	15, 16	syl6ibr 242	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Lim A -> ( A. z e. A E. w e. y z C_ w -> A C_ U. y ) )
18	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Lim A /\ y C_ A ) -> ( A. z e. A E. w e. y z C_ w -> A C_ U. y ) )
19		uniss 4458	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y C_ A -> U. y C_ U. A )
20		limuni 5785	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Lim A -> A = U. A )
21	20	sseq2d 3633	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Lim A -> ( U. y C_ A <-> U. y C_ U. A ) )
22	19, 21	syl5ibr 236	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Lim A -> ( y C_ A -> U. y C_ A ) )
23	22	imp 445	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Lim A /\ y C_ A ) -> U. y C_ A )
24	18, 23	jctird 567	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Lim A /\ y C_ A ) -> ( A. z e. A E. w e. y z C_ w -> ( A C_ U. y /\ U. y C_ A ) ) )
25		eqss 3618	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A = U. y <-> ( A C_ U. y /\ U. y C_ A ) )
26	24, 25	syl6ibr 242	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Lim A /\ y C_ A ) -> ( A. z e. A E. w e. y z C_ w -> A = U. y ) )
27	26	imdistanda 729	. . . . . . . . . 10 |- ( Lim A -> ( ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) -> ( y C_ A /\ A = U. y ) ) )
28	27	anim2d 589	. . . . . . . . 9 |- ( Lim A -> ( ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) -> ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A = U. y ) ) ) )
29	28	eximdv 1846	. . . . . . . 8 |- ( Lim A -> ( E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) -> E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A = U. y ) ) ) )
30	29	ss2abdv 3675	. . . . . . 7 |- ( Lim A -> { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) } C_ { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A = U. y ) ) } )
31		intss 4498	. . . . . . 7 |- ( { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) } C_ { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A = U. y ) ) } -> |^| { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A = U. y ) ) } C_ |^| { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) } )
32	30, 31	syl 17	. . . . . 6 |- ( Lim A -> |^| { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A = U. y ) ) } C_ |^| { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) } )
33	32	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ Lim A ) -> |^| { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A = U. y ) ) } C_ |^| { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) } )
34		limelon 5788	. . . . . 6 |- ( ( A e. _V /\ Lim A ) -> A e. On )
35		cfval 9069	. . . . . 6 |- ( A e. On -> ( cf ` A ) = |^| { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) } )
36	34, 35	syl 17	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ Lim A ) -> ( cf ` A ) = |^| { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) } )
37	33, 36	sseqtr4d 3642	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ Lim A ) -> |^| { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A = U. y ) ) } C_ ( cf ` A ) )
38		cfub 9071	. . . . 5 |- ( cf ` A ) C_ |^| { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A C_ U. y ) ) }
39		eqimss 3657	. . . . . . . . . 10 |- ( A = U. y -> A C_ U. y )
40	39	anim2i 593	. . . . . . . . 9 |- ( ( y C_ A /\ A = U. y ) -> ( y C_ A /\ A C_ U. y ) )
41	40	anim2i 593	. . . . . . . 8 |- ( ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A = U. y ) ) -> ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A C_ U. y ) ) )
42	41	eximi 1762	. . . . . . 7 |- ( E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A = U. y ) ) -> E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A C_ U. y ) ) )
43	42	ss2abi 3674	. . . . . 6 |- { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A = U. y ) ) } C_ { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A C_ U. y ) ) }
44		intss 4498	. . . . . 6 |- ( { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A = U. y ) ) } C_ { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A C_ U. y ) ) } -> |^| { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A C_ U. y ) ) } C_ |^| { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A = U. y ) ) } )
45	43, 44	ax-mp 5	. . . . 5 |- |^| { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A C_ U. y ) ) } C_ |^| { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A = U. y ) ) }
46	38, 45	sstri 3612	. . . 4 |- ( cf ` A ) C_ |^| { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A = U. y ) ) }
47	37, 46	jctil 560	. . 3 |- ( ( A e. _V /\ Lim A ) -> ( ( cf ` A ) C_ |^| { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A = U. y ) ) } /\ |^| { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A = U. y ) ) } C_ ( cf ` A ) ) )
48		eqss 3618	. . 3 |- ( ( cf ` A ) = |^| { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A = U. y ) ) } <-> ( ( cf ` A ) C_ |^| { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A = U. y ) ) } /\ |^| { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A = U. y ) ) } C_ ( cf ` A ) ) )
49	47, 48	sylibr 224	. 2 |- ( ( A e. _V /\ Lim A ) -> ( cf ` A ) = |^| { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A = U. y ) ) } )
50	1, 49	sylan 488	1 |- ( ( A e. B /\ Lim A ) -> ( cf ` A ) = |^| { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A = U. y ) ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   U.cuni 4436   |^|cint 4475   Oncon0 5723   Lim wlim 5724   suc csuc 5725   ` cfv 5888   cardccrd 8761   cfccf 8763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-card 8765  df-cf 8767

This theorem is referenced by:  gruina  9640