Theorem cfub 9071

Description: An upper bound on cofinality. (Contributed by NM, 25-Apr-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cfub	|- ( cf ` A ) C_ |^| { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A C_ U. y ) ) }

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem cfub

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cfval 9069	. . 3 |- ( A e. On -> ( cf ` A ) = |^| { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) } )
2		dfss3 3592	. . . . . . . . 9 |- ( A C_ U. y <-> A. z e. A z e. U. y )
3		ssel 3597	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y C_ A -> ( w e. y -> w e. A ) )
4		onelon 5748	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. On /\ w e. A ) -> w e. On )
5	4	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. On -> ( w e. A -> w e. On ) )
6	3, 5	sylan9r 690	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. On /\ y C_ A ) -> ( w e. y -> w e. On ) )
7		onelss 5766	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. On -> ( z e. w -> z C_ w ) )
8	6, 7	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. On /\ y C_ A ) -> ( w e. y -> ( z e. w -> z C_ w ) ) )
9	8	imdistand 728	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. On /\ y C_ A ) -> ( ( w e. y /\ z e. w ) -> ( w e. y /\ z C_ w ) ) )
10	9	ancomsd 470	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. On /\ y C_ A ) -> ( ( z e. w /\ w e. y ) -> ( w e. y /\ z C_ w ) ) )
11	10	eximdv 1846	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. On /\ y C_ A ) -> ( E. w ( z e. w /\ w e. y ) -> E. w ( w e. y /\ z C_ w ) ) )
12		eluni 4439	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. U. y <-> E. w ( z e. w /\ w e. y ) )
13		df-rex 2918	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. w e. y z C_ w <-> E. w ( w e. y /\ z C_ w ) )
14	11, 12, 13	3imtr4g 285	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ y C_ A ) -> ( z e. U. y -> E. w e. y z C_ w ) )
15	14	ralimdv 2963	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. On /\ y C_ A ) -> ( A. z e. A z e. U. y -> A. z e. A E. w e. y z C_ w ) )
16	2, 15	syl5bi 232	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. On /\ y C_ A ) -> ( A C_ U. y -> A. z e. A E. w e. y z C_ w ) )
17	16	imdistanda 729	. . . . . . 7 |- ( A e. On -> ( ( y C_ A /\ A C_ U. y ) -> ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) )
18	17	anim2d 589	. . . . . 6 |- ( A e. On -> ( ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A C_ U. y ) ) -> ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) ) )
19	18	eximdv 1846	. . . . 5 |- ( A e. On -> ( E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A C_ U. y ) ) -> E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) ) )
20	19	ss2abdv 3675	. . . 4 |- ( A e. On -> { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A C_ U. y ) ) } C_ { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) } )
21		intss 4498	. . . 4 |- ( { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A C_ U. y ) ) } C_ { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) } -> |^| { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) } C_ |^| { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A C_ U. y ) ) } )
22	20, 21	syl 17	. . 3 |- ( A e. On -> |^| { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) } C_ |^| { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A C_ U. y ) ) } )
23	1, 22	eqsstrd 3639	. 2 |- ( A e. On -> ( cf ` A ) C_ |^| { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A C_ U. y ) ) } )
24		cff 9070	. . . . . 6 |- cf : On --> On
25	24	fdmi 6052	. . . . 5 |- dom cf = On
26	25	eleq2i 2693	. . . 4 |- ( A e. dom cf <-> A e. On )
27		ndmfv 6218	. . . 4 |- ( -. A e. dom cf -> ( cf ` A ) = (/) )
28	26, 27	sylnbir 321	. . 3 |- ( -. A e. On -> ( cf ` A ) = (/) )
29		0ss 3972	. . 3 |- (/) C_ |^| { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A C_ U. y ) ) }
30	28, 29	syl6eqss 3655	. 2 |- ( -. A e. On -> ( cf ` A ) C_ |^| { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A C_ U. y ) ) } )
31	23, 30	pm2.61i 176	1 |- ( cf ` A ) C_ |^| { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A C_ U. y ) ) }

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U.cuni 4436   |^|cint 4475   dom cdm 5114   Oncon0 5723   ` cfv 5888   cardccrd 8761   cfccf 8763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-card 8765  df-cf 8767

This theorem is referenced by:  cflm  9072  cf0  9073