Theorem cmpsublem 21202

Description: Lemma for cmpsub 21203. (Contributed by Jeff Hankins, 28-Jun-2009.)

Hypothesis

Ref	Expression
cmpsub.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
cmpsublem	|- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( A. c e. ~P J ( S C_ U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. d ) -> A. s e. ~P ( J ↾t S ) ( U. ( J ↾t S ) = U. s -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t ) ) )

Distinct variable groups:   c, d, s, t, J   S, c, d, s, t   X, c, d, s, t

Proof of Theorem cmpsublem

Dummy variables x y u v w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabexg 4812	. . . . . . 7 |- ( J e. Top -> { y e. J | ( y i^i S ) e. s } e. _V )
2	1	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) -> { y e. J | ( y i^i S ) e. s } e. _V )
3		ssrab2 3687	. . . . . . 7 |- { y e. J | ( y i^i S ) e. s } C_ J
4		elpwg 4166	. . . . . . 7 |- ( { y e. J | ( y i^i S ) e. s } e. _V -> ( { y e. J | ( y i^i S ) e. s } e. ~P J <-> { y e. J | ( y i^i S ) e. s } C_ J ) )
5	3, 4	mpbiri 248	. . . . . 6 |- ( { y e. J | ( y i^i S ) e. s } e. _V -> { y e. J | ( y i^i S ) e. s } e. ~P J )
6	2, 5	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) -> { y e. J | ( y i^i S ) e. s } e. ~P J )
7		unieq 4444	. . . . . . . 8 |- ( c = { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> U. c = U. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } )
8	7	sseq2d 3633	. . . . . . 7 |- ( c = { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> ( S C_ U. c <-> S C_ U. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) )
9		pweq 4161	. . . . . . . . 9 |- ( c = { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> ~P c = ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } )
10	9	ineq1d 3813	. . . . . . . 8 |- ( c = { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> ( ~P c i^i Fin ) = ( ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } i^i Fin ) )
11	10	rexeqdv 3145	. . . . . . 7 |- ( c = { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> ( E. d e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. d <-> E. d e. ( ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } i^i Fin ) S C_ U. d ) )
12	8, 11	imbi12d 334	. . . . . 6 |- ( c = { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> ( ( S C_ U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. d ) <-> ( S C_ U. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> E. d e. ( ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } i^i Fin ) S C_ U. d ) ) )
13	12	rspcva 3307	. . . . 5 |- ( ( { y e. J | ( y i^i S ) e. s } e. ~P J /\ A. c e. ~P J ( S C_ U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. d ) ) -> ( S C_ U. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> E. d e. ( ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } i^i Fin ) S C_ U. d ) )
14	6, 13	sylan 488	. . . 4 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ A. c e. ~P J ( S C_ U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. d ) ) -> ( S C_ U. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> E. d e. ( ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } i^i Fin ) S C_ U. d ) )
15	14	ex 450	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) -> ( A. c e. ~P J ( S C_ U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. d ) -> ( S C_ U. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> E. d e. ( ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } i^i Fin ) S C_ U. d ) ) )
16		cmpsub.1	. . . . . . . 8 |- X = U. J
17	16	restuni 20966	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> S = U. ( J ↾t S ) )
18	17	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) -> S = U. ( J ↾t S ) )
19	18	eqeq1d 2624	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) -> ( S = U. s <-> U. ( J ↾t S ) = U. s ) )
20		selpw 4165	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. ~P ( J ↾t S ) <-> s C_ ( J ↾t S ) )
21		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( S = U. s -> ( t e. S <-> t e. U. s ) )
22		eluni 4439	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t e. U. s <-> E. u ( t e. u /\ u e. s ) )
23	21, 22	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S = U. s -> ( t e. S <-> E. u ( t e. u /\ u e. s ) ) )
24	23	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s C_ ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) -> ( t e. S <-> E. u ( t e. u /\ u e. s ) ) )
25		ssel 3597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( s C_ ( J ↾t S ) -> ( u e. s -> u e. ( J ↾t S ) ) )
26	16	sseq2i 3630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( S C_ X <-> S C_ U. J )
27		uniexg 6955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( J e. Top -> U. J e. _V )
28		ssexg 4804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( S C_ U. J /\ U. J e. _V ) -> S e. _V )
29	28	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( U. J e. _V /\ S C_ U. J ) -> S e. _V )
30	27, 29	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) -> S e. _V )
31	26, 30	sylan2b 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> S e. _V )
32		elrest 16088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( J e. Top /\ S e. _V ) -> ( u e. ( J ↾t S ) <-> E. w e. J u = ( w i^i S ) ) )
33	31, 32	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( u e. ( J ↾t S ) <-> E. w e. J u = ( w i^i S ) ) )
34		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( w i^i S ) C_ w
35		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( u = ( w i^i S ) -> ( u C_ w <-> ( w i^i S ) C_ w ) )
36	34, 35	mpbiri 248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( u = ( w i^i S ) -> u C_ w )
37	36	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( u = ( w i^i S ) /\ t e. u ) -> t e. w )
38	37	3ad2antl3 1225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ w e. J /\ u = ( w i^i S ) ) /\ t e. u ) -> t e. w )
39	38	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ w e. J /\ u = ( w i^i S ) ) /\ u e. s /\ t e. u ) -> t e. w )
40		simp12 1092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ w e. J /\ u = ( w i^i S ) ) /\ u e. s /\ t e. u ) -> w e. J )
41		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( u = ( w i^i S ) -> ( u e. s <-> ( w i^i S ) e. s ) )
42	41	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( u = ( w i^i S ) /\ u e. s ) -> ( w i^i S ) e. s )
43	42	3ad2antl3 1225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ w e. J /\ u = ( w i^i S ) ) /\ u e. s ) -> ( w i^i S ) e. s )
44	43	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ w e. J /\ u = ( w i^i S ) ) /\ u e. s /\ t e. u ) -> ( w i^i S ) e. s )
45		ineq1 3807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( y = w -> ( y i^i S ) = ( w i^i S ) )
46	45	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( y = w -> ( ( y i^i S ) e. s <-> ( w i^i S ) e. s ) )
47	46	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( w e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } <-> ( w e. J /\ ( w i^i S ) e. s ) )
48	40, 44, 47	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ w e. J /\ u = ( w i^i S ) ) /\ u e. s /\ t e. u ) -> w e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } )
49		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- w e. _V
50		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( v = w -> ( t e. v <-> t e. w ) )
51		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( v = w -> ( v e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } <-> w e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) )
52	50, 51	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( v = w -> ( ( t e. v /\ v e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) <-> ( t e. w /\ w e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) ) )
53	49, 52	spcev 3300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( t e. w /\ w e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) -> E. v ( t e. v /\ v e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) )
54	39, 48, 53	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ w e. J /\ u = ( w i^i S ) ) /\ u e. s /\ t e. u ) -> E. v ( t e. v /\ v e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) )
55	54	3exp 1264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ w e. J /\ u = ( w i^i S ) ) -> ( u e. s -> ( t e. u -> E. v ( t e. v /\ v e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) ) ) )
56	55	rexlimdv3a 3033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( E. w e. J u = ( w i^i S ) -> ( u e. s -> ( t e. u -> E. v ( t e. v /\ v e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) ) ) ) )
57	33, 56	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( u e. ( J ↾t S ) -> ( u e. s -> ( t e. u -> E. v ( t e. v /\ v e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) ) ) ) )
58	57	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( u e. s -> ( u e. ( J ↾t S ) -> ( t e. u -> E. v ( t e. v /\ v e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) ) ) ) )
59	58	com4l 92	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( u e. s -> ( u e. ( J ↾t S ) -> ( t e. u -> ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> E. v ( t e. v /\ v e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) ) ) ) )
60	25, 59	sylcom 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( s C_ ( J ↾t S ) -> ( u e. s -> ( t e. u -> ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> E. v ( t e. v /\ v e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) ) ) ) )
61	60	com24 95	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( s C_ ( J ↾t S ) -> ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( t e. u -> ( u e. s -> E. v ( t e. v /\ v e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) ) ) ) )
62	61	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s C_ ( J ↾t S ) ) -> ( t e. u -> ( u e. s -> E. v ( t e. v /\ v e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) ) ) )
63	62	impd 447	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s C_ ( J ↾t S ) ) -> ( ( t e. u /\ u e. s ) -> E. v ( t e. v /\ v e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) ) )
64	63	exlimdv 1861	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s C_ ( J ↾t S ) ) -> ( E. u ( t e. u /\ u e. s ) -> E. v ( t e. v /\ v e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) ) )
65	64	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s C_ ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) -> ( E. u ( t e. u /\ u e. s ) -> E. v ( t e. v /\ v e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) ) )
66	24, 65	sylbid 230	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s C_ ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) -> ( t e. S -> E. v ( t e. v /\ v e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) ) )
67	66	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s C_ ( J ↾t S ) ) -> ( S = U. s -> ( t e. S -> E. v ( t e. v /\ v e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) ) ) )
68	20, 67	sylan2b 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) -> ( S = U. s -> ( t e. S -> E. v ( t e. v /\ v e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) ) ) )
69	68	imp 445	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) -> ( t e. S -> E. v ( t e. v /\ v e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) ) )
70		eluni 4439	. . . . . . . . 9 |- ( t e. U. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } <-> E. v ( t e. v /\ v e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) )
71	69, 70	syl6ibr 242	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) -> ( t e. S -> t e. U. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) )
72	71	ssrdv 3609	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) -> S C_ U. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } )
73		pm2.27 42	. . . . . . . . 9 |- ( S C_ U. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> ( ( S C_ U. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> E. d e. ( ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } i^i Fin ) S C_ U. d ) -> E. d e. ( ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } i^i Fin ) S C_ U. d ) )
74		elin 3796	. . . . . . . . . . 11 |- ( d e. ( ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } i^i Fin ) <-> ( d e. ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } /\ d e. Fin ) )
75		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- t e. _V
76		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = t -> ( x = ( z i^i S ) <-> t = ( z i^i S ) ) )
77	76	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = t -> ( E. z e. d x = ( z i^i S ) <-> E. z e. d t = ( z i^i S ) ) )
78	75, 77	elab 3350	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( t e. { x | E. z e. d x = ( z i^i S ) } <-> E. z e. d t = ( z i^i S ) )
79		selpw 4165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( d e. ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } <-> d C_ { y e. J | ( y i^i S ) e. s } )
80		ssel 3597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( d C_ { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> ( z e. d -> z e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) )
81		ineq1 3807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( y = z -> ( y i^i S ) = ( z i^i S ) )
82	81	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( y = z -> ( ( y i^i S ) e. s <-> ( z i^i S ) e. s ) )
83	82	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( z e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } <-> ( z e. J /\ ( z i^i S ) e. s ) )
84		eleq1a 2696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( z i^i S ) e. s -> ( t = ( z i^i S ) -> t e. s ) )
85	84	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( z e. J /\ ( z i^i S ) e. s ) -> ( t = ( z i^i S ) -> t e. s ) )
86	83, 85	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> ( t = ( z i^i S ) -> t e. s ) )
87	80, 86	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( d C_ { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> ( z e. d -> ( t = ( z i^i S ) -> t e. s ) ) )
88	87	2a1d 26	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( d C_ { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> ( S C_ U. d -> ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) -> ( z e. d -> ( t = ( z i^i S ) -> t e. s ) ) ) ) )
89	88	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( d C_ { y e. J | ( y i^i S ) e. s } /\ d e. Fin ) -> ( S C_ U. d -> ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) -> ( z e. d -> ( t = ( z i^i S ) -> t e. s ) ) ) ) )
90	79, 89	sylanb 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( d e. ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } /\ d e. Fin ) -> ( S C_ U. d -> ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) -> ( z e. d -> ( t = ( z i^i S ) -> t e. s ) ) ) ) )
91	90	3imp 1256	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( d e. ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } /\ d e. Fin ) /\ S C_ U. d /\ ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) ) -> ( z e. d -> ( t = ( z i^i S ) -> t e. s ) ) )
92	91	rexlimdv 3030	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( d e. ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } /\ d e. Fin ) /\ S C_ U. d /\ ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) ) -> ( E. z e. d t = ( z i^i S ) -> t e. s ) )
93	78, 92	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( d e. ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } /\ d e. Fin ) /\ S C_ U. d /\ ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) ) -> ( t e. { x | E. z e. d x = ( z i^i S ) } -> t e. s ) )
94	93	ssrdv 3609	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( d e. ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } /\ d e. Fin ) /\ S C_ U. d /\ ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) ) -> { x | E. z e. d x = ( z i^i S ) } C_ s )
95		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- d e. _V
96	95	abrexex 7141	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { x | E. z e. d x = ( z i^i S ) } e. _V
97	96	elpw 4164	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { x | E. z e. d x = ( z i^i S ) } e. ~P s <-> { x | E. z e. d x = ( z i^i S ) } C_ s )
98	94, 97	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( d e. ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } /\ d e. Fin ) /\ S C_ U. d /\ ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) ) -> { x | E. z e. d x = ( z i^i S ) } e. ~P s )
99		abrexfi 8266	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( d e. Fin -> { x | E. z e. d x = ( z i^i S ) } e. Fin )
100	99	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( d e. ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } /\ d e. Fin ) /\ S C_ U. d ) -> { x | E. z e. d x = ( z i^i S ) } e. Fin )
101	100	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( d e. ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } /\ d e. Fin ) /\ S C_ U. d /\ ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) ) -> { x | E. z e. d x = ( z i^i S ) } e. Fin )
102	98, 101	elind 3798	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( d e. ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } /\ d e. Fin ) /\ S C_ U. d /\ ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) ) -> { x | E. z e. d x = ( z i^i S ) } e. ( ~P s i^i Fin ) )
103		dfss 3589	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( S C_ U. d <-> S = ( S i^i U. d ) )
104	103	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( S C_ U. d -> S = ( S i^i U. d ) )
105		uniiun 4573	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- U. d = U_ z e. d z
106	105	ineq2i 3811	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( S i^i U. d ) = ( S i^i U_ z e. d z )
107		iunin2 4584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U_ z e. d ( S i^i z ) = ( S i^i U_ z e. d z )
108		incom 3805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( S i^i z ) = ( z i^i S )
109	108	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. d -> ( S i^i z ) = ( z i^i S ) )
110	109	iuneq2i 4539	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U_ z e. d ( S i^i z ) = U_ z e. d ( z i^i S )
111	106, 107, 110	3eqtr2i 2650	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( S i^i U. d ) = U_ z e. d ( z i^i S )
112	104, 111	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( S C_ U. d -> S = U_ z e. d ( z i^i S ) )
113	112	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( d e. ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } /\ d e. Fin ) /\ S C_ U. d /\ ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) ) -> S = U_ z e. d ( z i^i S ) )
114	18	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( S C_ U. d /\ ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) ) -> S = U. ( J ↾t S ) )
115	114	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( d e. ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } /\ d e. Fin ) /\ S C_ U. d /\ ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) ) -> S = U. ( J ↾t S ) )
116		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- z e. _V
117	116	inex1 4799	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z i^i S ) e. _V
118	117	dfiun2 4554	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U_ z e. d ( z i^i S ) = U. { x | E. z e. d x = ( z i^i S ) }
119	118	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( d e. ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } /\ d e. Fin ) /\ S C_ U. d /\ ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) ) -> U_ z e. d ( z i^i S ) = U. { x | E. z e. d x = ( z i^i S ) } )
120	113, 115, 119	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( d e. ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } /\ d e. Fin ) /\ S C_ U. d /\ ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) ) -> U. ( J ↾t S ) = U. { x | E. z e. d x = ( z i^i S ) } )
121		unieq 4444	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t = { x | E. z e. d x = ( z i^i S ) } -> U. t = U. { x | E. z e. d x = ( z i^i S ) } )
122	121	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t = { x | E. z e. d x = ( z i^i S ) } -> ( U. ( J ↾t S ) = U. t <-> U. ( J ↾t S ) = U. { x | E. z e. d x = ( z i^i S ) } ) )
123	122	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( { x | E. z e. d x = ( z i^i S ) } e. ( ~P s i^i Fin ) /\ U. ( J ↾t S ) = U. { x | E. z e. d x = ( z i^i S ) } ) -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t )
124	102, 120, 123	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( d e. ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } /\ d e. Fin ) /\ S C_ U. d /\ ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) ) -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t )
125	124	3exp 1264	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( d e. ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } /\ d e. Fin ) -> ( S C_ U. d -> ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t ) ) )
126	74, 125	sylbi 207	. . . . . . . . . 10 |- ( d e. ( ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } i^i Fin ) -> ( S C_ U. d -> ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t ) ) )
127	126	rexlimiv 3027	. . . . . . . . 9 |- ( E. d e. ( ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } i^i Fin ) S C_ U. d -> ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t ) )
128	73, 127	syl6 35	. . . . . . . 8 |- ( S C_ U. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> ( ( S C_ U. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> E. d e. ( ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } i^i Fin ) S C_ U. d ) -> ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t ) ) )
129	128	com3r 87	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) -> ( S C_ U. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> ( ( S C_ U. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> E. d e. ( ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } i^i Fin ) S C_ U. d ) -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t ) ) )
130	72, 129	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) -> ( ( S C_ U. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> E. d e. ( ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } i^i Fin ) S C_ U. d ) -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t ) )
131	130	ex 450	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) -> ( S = U. s -> ( ( S C_ U. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> E. d e. ( ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } i^i Fin ) S C_ U. d ) -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t ) ) )
132	19, 131	sylbird 250	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) -> ( U. ( J ↾t S ) = U. s -> ( ( S C_ U. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> E. d e. ( ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } i^i Fin ) S C_ U. d ) -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t ) ) )
133	132	com23 86	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) -> ( ( S C_ U. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> E. d e. ( ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } i^i Fin ) S C_ U. d ) -> ( U. ( J ↾t S ) = U. s -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t ) ) )
134	15, 133	syld 47	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) -> ( A. c e. ~P J ( S C_ U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. d ) -> ( U. ( J ↾t S ) = U. s -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t ) ) )
135	134	ralrimdva 2969	1 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( A. c e. ~P J ( S C_ U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. d ) -> A. s e. ~P ( J ↾t S ) ( U. ( J ↾t S ) = U. s -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   U_ciun 4520  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   ↾_t crest 16081   Topctop 20698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-fin 7959  df-fi 8317  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750

This theorem is referenced by:  cmpsub  21203