Theorem discmp 21201

Description: A discrete topology is compact iff the base set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
discmp	|- ( A e. Fin <-> ~P A e. Comp )

Proof of Theorem discmp

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		distop 20799	. . . 4 |- ( A e. Fin -> ~P A e. Top )
2		pwfi 8261	. . . . 5 |- ( A e. Fin <-> ~P A e. Fin )
3	2	biimpi 206	. . . 4 |- ( A e. Fin -> ~P A e. Fin )
4	1, 3	elind 3798	. . 3 |- ( A e. Fin -> ~P A e. ( Top i^i Fin ) )
5		fincmp 21196	. . 3 |- ( ~P A e. ( Top i^i Fin ) -> ~P A e. Comp )
6	4, 5	syl 17	. 2 |- ( A e. Fin -> ~P A e. Comp )
7		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ~P A e. Comp /\ x e. A ) -> x e. A )
8	7	snssd 4340	. . . . . . 7 |- ( ( ~P A e. Comp /\ x e. A ) -> { x } C_ A )
9		snex 4908	. . . . . . . 8 |- { x } e. _V
10	9	elpw 4164	. . . . . . 7 |- ( { x } e. ~P A <-> { x } C_ A )
11	8, 10	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( ~P A e. Comp /\ x e. A ) -> { x } e. ~P A )
12		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( x e. A |-> { x } ) = ( x e. A |-> { x } )
13	11, 12	fmptd 6385	. . . . 5 |- ( ~P A e. Comp -> ( x e. A |-> { x } ) : A --> ~P A )
14		frn 6053	. . . . 5 |- ( ( x e. A |-> { x } ) : A --> ~P A -> ran ( x e. A |-> { x } ) C_ ~P A )
15	13, 14	syl 17	. . . 4 |- ( ~P A e. Comp -> ran ( x e. A |-> { x } ) C_ ~P A )
16	12	rnmpt 5371	. . . . . . 7 |- ran ( x e. A |-> { x } ) = { y | E. x e. A y = { x } }
17	16	unieqi 4445	. . . . . 6 |- U. ran ( x e. A |-> { x } ) = U. { y | E. x e. A y = { x } }
18	9	dfiun2 4554	. . . . . 6 |- U_ x e. A { x } = U. { y | E. x e. A y = { x } }
19		iunid 4575	. . . . . 6 |- U_ x e. A { x } = A
20	17, 18, 19	3eqtr2ri 2651	. . . . 5 |- A = U. ran ( x e. A |-> { x } )
21	20	a1i 11	. . . 4 |- ( ~P A e. Comp -> A = U. ran ( x e. A |-> { x } ) )
22		unipw 4918	. . . . . 6 |- U. ~P A = A
23	22	eqcomi 2631	. . . . 5 |- A = U. ~P A
24	23	cmpcov 21192	. . . 4 |- ( ( ~P A e. Comp /\ ran ( x e. A |-> { x } ) C_ ~P A /\ A = U. ran ( x e. A |-> { x } ) ) -> E. y e. ( ~P ran ( x e. A |-> { x } ) i^i Fin ) A = U. y )
25	15, 21, 24	mpd3an23 1426	. . 3 |- ( ~P A e. Comp -> E. y e. ( ~P ran ( x e. A |-> { x } ) i^i Fin ) A = U. y )
26		elin 3796	. . . . . . 7 |- ( y e. ( ~P ran ( x e. A |-> { x } ) i^i Fin ) <-> ( y e. ~P ran ( x e. A |-> { x } ) /\ y e. Fin ) )
27	26	simprbi 480	. . . . . 6 |- ( y e. ( ~P ran ( x e. A |-> { x } ) i^i Fin ) -> y e. Fin )
28	26	simplbi 476	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( ~P ran ( x e. A |-> { x } ) i^i Fin ) -> y e. ~P ran ( x e. A |-> { x } ) )
29	28	elpwid 4170	. . . . . . 7 |- ( y e. ( ~P ran ( x e. A |-> { x } ) i^i Fin ) -> y C_ ran ( x e. A |-> { x } ) )
30		snfi 8038	. . . . . . . . . 10 |- { x } e. Fin
31	30	rgenw 2924	. . . . . . . . 9 |- A. x e. A { x } e. Fin
32	12	fmpt 6381	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. A { x } e. Fin <-> ( x e. A |-> { x } ) : A --> Fin )
33	31, 32	mpbi 220	. . . . . . . 8 |- ( x e. A |-> { x } ) : A --> Fin
34		frn 6053	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A |-> { x } ) : A --> Fin -> ran ( x e. A |-> { x } ) C_ Fin )
35	33, 34	mp1i 13	. . . . . . 7 |- ( y e. ( ~P ran ( x e. A |-> { x } ) i^i Fin ) -> ran ( x e. A |-> { x } ) C_ Fin )
36	29, 35	sstrd 3613	. . . . . 6 |- ( y e. ( ~P ran ( x e. A |-> { x } ) i^i Fin ) -> y C_ Fin )
37		unifi 8255	. . . . . 6 |- ( ( y e. Fin /\ y C_ Fin ) -> U. y e. Fin )
38	27, 36, 37	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( y e. ( ~P ran ( x e. A |-> { x } ) i^i Fin ) -> U. y e. Fin )
39		eleq1 2689	. . . . 5 |- ( A = U. y -> ( A e. Fin <-> U. y e. Fin ) )
40	38, 39	syl5ibrcom 237	. . . 4 |- ( y e. ( ~P ran ( x e. A |-> { x } ) i^i Fin ) -> ( A = U. y -> A e. Fin ) )
41	40	rexlimiv 3027	. . 3 |- ( E. y e. ( ~P ran ( x e. A |-> { x } ) i^i Fin ) A = U. y -> A e. Fin )
42	25, 41	syl 17	. 2 |- ( ~P A e. Comp -> A e. Fin )
43	6, 42	impbii 199	1 |- ( A e. Fin <-> ~P A e. Comp )

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   U_ciun 4520   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   -->wf 5884   Fincfn 7955   Topctop 20698   Compccmp 21189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-top 20699  df-cmp 21190

This theorem is referenced by:  disllycmp  21301  xkohaus  21456  xkoptsub  21457  xkopt  21458