Theorem cmpsub 21203

Description: Two equivalent ways of describing a compact subset of a topological space. Inspired by Sue E. Goodman's Beginning Topology. (Contributed by Jeff Hankins, 22-Jun-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
cmpsub.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
cmpsub	|- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( J ↾t S ) e. Comp <-> A. c e. ~P J ( S C_ U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. d ) ) )

Distinct variable groups:   c, d, J   S, c, d   X, c, d

Proof of Theorem cmpsub

Dummy variables x y f s t u v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . 4 |- U. ( J ↾t S ) = U. ( J ↾t S )
2	1	iscmp 21191	. . 3 |- ( ( J ↾t S ) e. Comp <-> ( ( J ↾t S ) e. Top /\ A. s e. ~P ( J ↾t S ) ( U. ( J ↾t S ) = U. s -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t ) ) )
3		id 22	. . . . . 6 |- ( S C_ X -> S C_ X )
4		cmpsub.1	. . . . . . 7 |- X = U. J
5	4	topopn 20711	. . . . . 6 |- ( J e. Top -> X e. J )
6		ssexg 4804	. . . . . 6 |- ( ( S C_ X /\ X e. J ) -> S e. _V )
7	3, 5, 6	syl2anr 495	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> S e. _V )
8		resttop 20964	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ S e. _V ) -> ( J ↾t S ) e. Top )
9	7, 8	syldan 487	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( J ↾t S ) e. Top )
10		ibar 525	. . . . 5 |- ( ( J ↾t S ) e. Top -> ( A. s e. ~P ( J ↾t S ) ( U. ( J ↾t S ) = U. s -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t ) <-> ( ( J ↾t S ) e. Top /\ A. s e. ~P ( J ↾t S ) ( U. ( J ↾t S ) = U. s -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t ) ) ) )
11	10	bicomd 213	. . . 4 |- ( ( J ↾t S ) e. Top -> ( ( ( J ↾t S ) e. Top /\ A. s e. ~P ( J ↾t S ) ( U. ( J ↾t S ) = U. s -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t ) ) <-> A. s e. ~P ( J ↾t S ) ( U. ( J ↾t S ) = U. s -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t ) ) )
12	9, 11	syl 17	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( ( J ↾t S ) e. Top /\ A. s e. ~P ( J ↾t S ) ( U. ( J ↾t S ) = U. s -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t ) ) <-> A. s e. ~P ( J ↾t S ) ( U. ( J ↾t S ) = U. s -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t ) ) )
13	2, 12	syl5bb 272	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( J ↾t S ) e. Comp <-> A. s e. ~P ( J ↾t S ) ( U. ( J ↾t S ) = U. s -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t ) ) )
14		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 |- t e. _V
15		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = t -> ( x = ( y i^i S ) <-> t = ( y i^i S ) ) )
16	15	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = t -> ( E. y e. c x = ( y i^i S ) <-> E. y e. c t = ( y i^i S ) ) )
17	14, 16	elab 3350	. . . . . . . . . 10 |- ( t e. { x | E. y e. c x = ( y i^i S ) } <-> E. y e. c t = ( y i^i S ) )
18		selpw 4165	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( c e. ~P J <-> c C_ J )
19		ssel2 3598	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( c C_ J /\ y e. c ) -> y e. J )
20		ineq1 3807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( d = y -> ( d i^i S ) = ( y i^i S ) )
21	20	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( d = y -> ( t = ( d i^i S ) <-> t = ( y i^i S ) ) )
22	21	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. J /\ t = ( y i^i S ) ) -> E. d e. J t = ( d i^i S ) )
23	22	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. J -> ( t = ( y i^i S ) -> E. d e. J t = ( d i^i S ) ) )
24	19, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( c C_ J /\ y e. c ) -> ( t = ( y i^i S ) -> E. d e. J t = ( d i^i S ) ) )
25	24	ex 450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( c C_ J -> ( y e. c -> ( t = ( y i^i S ) -> E. d e. J t = ( d i^i S ) ) ) )
26	18, 25	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c e. ~P J -> ( y e. c -> ( t = ( y i^i S ) -> E. d e. J t = ( d i^i S ) ) ) )
27	26	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ c e. ~P J ) -> ( y e. c -> ( t = ( y i^i S ) -> E. d e. J t = ( d i^i S ) ) ) )
28	27	rexlimdv 3030	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ c e. ~P J ) -> ( E. y e. c t = ( y i^i S ) -> E. d e. J t = ( d i^i S ) ) )
29		simpll 790	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ c e. ~P J ) -> J e. Top )
30	4	sseq2i 3630	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S C_ X <-> S C_ U. J )
31		uniexg 6955	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( J e. Top -> U. J e. _V )
32		ssexg 4804	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( S C_ U. J /\ U. J e. _V ) -> S e. _V )
33	31, 32	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( S C_ U. J /\ J e. Top ) -> S e. _V )
34	33	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) -> S e. _V )
35	30, 34	sylan2b 492	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> S e. _V )
36	35	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ c e. ~P J ) -> S e. _V )
37		elrest 16088	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ S e. _V ) -> ( t e. ( J ↾t S ) <-> E. d e. J t = ( d i^i S ) ) )
38	29, 36, 37	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ c e. ~P J ) -> ( t e. ( J ↾t S ) <-> E. d e. J t = ( d i^i S ) ) )
39	28, 38	sylibrd 249	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ c e. ~P J ) -> ( E. y e. c t = ( y i^i S ) -> t e. ( J ↾t S ) ) )
40	17, 39	syl5bi 232	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ c e. ~P J ) -> ( t e. { x | E. y e. c x = ( y i^i S ) } -> t e. ( J ↾t S ) ) )
41	40	ssrdv 3609	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ c e. ~P J ) -> { x | E. y e. c x = ( y i^i S ) } C_ ( J ↾t S ) )
42		vex 3203	. . . . . . . . . 10 |- c e. _V
43	42	abrexex 7141	. . . . . . . . 9 |- { x | E. y e. c x = ( y i^i S ) } e. _V
44	43	elpw 4164	. . . . . . . 8 |- ( { x | E. y e. c x = ( y i^i S ) } e. ~P ( J ↾t S ) <-> { x | E. y e. c x = ( y i^i S ) } C_ ( J ↾t S ) )
45	41, 44	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ c e. ~P J ) -> { x | E. y e. c x = ( y i^i S ) } e. ~P ( J ↾t S ) )
46		unieq 4444	. . . . . . . . . 10 |- ( s = { x | E. y e. c x = ( y i^i S ) } -> U. s = U. { x | E. y e. c x = ( y i^i S ) } )
47	46	eqeq2d 2632	. . . . . . . . 9 |- ( s = { x | E. y e. c x = ( y i^i S ) } -> ( U. ( J ↾t S ) = U. s <-> U. ( J ↾t S ) = U. { x | E. y e. c x = ( y i^i S ) } ) )
48		pweq 4161	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = { x | E. y e. c x = ( y i^i S ) } -> ~P s = ~P { x | E. y e. c x = ( y i^i S ) } )
49	48	ineq1d 3813	. . . . . . . . . 10 |- ( s = { x | E. y e. c x = ( y i^i S ) } -> ( ~P s i^i Fin ) = ( ~P { x | E. y e. c x = ( y i^i S ) } i^i Fin ) )
50	49	rexeqdv 3145	. . . . . . . . 9 |- ( s = { x | E. y e. c x = ( y i^i S ) } -> ( E. t e. ( ~P s i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t <-> E. t e. ( ~P { x | E. y e. c x = ( y i^i S ) } i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t ) )
51	47, 50	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( s = { x | E. y e. c x = ( y i^i S ) } -> ( ( U. ( J ↾t S ) = U. s -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t ) <-> ( U. ( J ↾t S ) = U. { x | E. y e. c x = ( y i^i S ) } -> E. t e. ( ~P { x | E. y e. c x = ( y i^i S ) } i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t ) ) )
52	51	rspcva 3307	. . . . . . 7 |- ( ( { x | E. y e. c x = ( y i^i S ) } e. ~P ( J ↾t S ) /\ A. s e. ~P ( J ↾t S ) ( U. ( J ↾t S ) = U. s -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t ) ) -> ( U. ( J ↾t S ) = U. { x | E. y e. c x = ( y i^i S ) } -> E. t e. ( ~P { x | E. y e. c x = ( y i^i S ) } i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t ) )
53	45, 52	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ c e. ~P J ) /\ A. s e. ~P ( J ↾t S ) ( U. ( J ↾t S ) = U. s -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t ) ) -> ( U. ( J ↾t S ) = U. { x | E. y e. c x = ( y i^i S ) } -> E. t e. ( ~P { x | E. y e. c x = ( y i^i S ) } i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t ) )
54	53	ex 450	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ c e. ~P J ) -> ( A. s e. ~P ( J ↾t S ) ( U. ( J ↾t S ) = U. s -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t ) -> ( U. ( J ↾t S ) = U. { x | E. y e. c x = ( y i^i S ) } -> E. t e. ( ~P { x | E. y e. c x = ( y i^i S ) } i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t ) ) )
55	4	restuni 20966	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> S = U. ( J ↾t S ) )
56	55	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ c e. ~P J ) /\ S C_ U. c ) -> S = U. ( J ↾t S ) )
57		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- y e. _V
58	57	inex1 4799	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y i^i S ) e. _V
59	58	dfiun2 4554	. . . . . . . . . . . 12 |- U_ y e. c ( y i^i S ) = U. { x | E. y e. c x = ( y i^i S ) }
60		incom 3805	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y i^i S ) = ( S i^i y )
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ c e. ~P J ) /\ S C_ U. c ) /\ y e. c ) -> ( y i^i S ) = ( S i^i y ) )
62	61	iuneq2dv 4542	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ c e. ~P J ) /\ S C_ U. c ) -> U_ y e. c ( y i^i S ) = U_ y e. c ( S i^i y ) )
63	59, 62	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ c e. ~P J ) /\ S C_ U. c ) -> U. { x | E. y e. c x = ( y i^i S ) } = U_ y e. c ( S i^i y ) )
64		iunin2 4584	. . . . . . . . . . . 12 |- U_ y e. c ( S i^i y ) = ( S i^i U_ y e. c y )
65		uniiun 4573	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U. c = U_ y e. c y
66	65	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U_ y e. c y = U. c
67	66	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ c e. ~P J ) /\ S C_ U. c ) -> U_ y e. c y = U. c )
68	67	ineq2d 3814	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ c e. ~P J ) /\ S C_ U. c ) -> ( S i^i U_ y e. c y ) = ( S i^i U. c ) )
69		incom 3805	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( S i^i U. c ) = ( U. c i^i S )
70		sseqin2 3817	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( S C_ U. c <-> ( U. c i^i S ) = S )
71	70	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( S C_ U. c -> ( U. c i^i S ) = S )
72	69, 71	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S C_ U. c -> ( S i^i U. c ) = S )
73	72	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ c e. ~P J ) /\ S C_ U. c ) -> ( S i^i U. c ) = S )
74	68, 73	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ c e. ~P J ) /\ S C_ U. c ) -> ( S i^i U_ y e. c y ) = S )
75	64, 74	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ c e. ~P J ) /\ S C_ U. c ) -> U_ y e. c ( S i^i y ) = S )
76	63, 75	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ c e. ~P J ) /\ S C_ U. c ) -> S = U. { x | E. y e. c x = ( y i^i S ) } )
77	56, 76	eqeq12d 2637	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ c e. ~P J ) /\ S C_ U. c ) -> ( S = S <-> U. ( J ↾t S ) = U. { x | E. y e. c x = ( y i^i S ) } ) )
78	56	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ c e. ~P J ) /\ S C_ U. c ) -> ( S = U. t <-> U. ( J ↾t S ) = U. t ) )
79	78	rexbidv 3052	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ c e. ~P J ) /\ S C_ U. c ) -> ( E. t e. ( ~P { x | E. y e. c x = ( y i^i S ) } i^i Fin ) S = U. t <-> E. t e. ( ~P { x | E. y e. c x = ( y i^i S ) } i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t ) )
80	77, 79	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ c e. ~P J ) /\ S C_ U. c ) -> ( ( S = S -> E. t e. ( ~P { x | E. y e. c x = ( y i^i S ) } i^i Fin ) S = U. t ) <-> ( U. ( J ↾t S ) = U. { x | E. y e. c x = ( y i^i S ) } -> E. t e. ( ~P { x | E. y e. c x = ( y i^i S ) } i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t ) ) )
81		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- S = S
82	81	a1bi 352	. . . . . . . . 9 |- ( E. t e. ( ~P { x | E. y e. c x = ( y i^i S ) } i^i Fin ) S = U. t <-> ( S = S -> E. t e. ( ~P { x | E. y e. c x = ( y i^i S ) } i^i Fin ) S = U. t ) )
83		elin 3796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t e. ( ~P { x | E. y e. c x = ( y i^i S ) } i^i Fin ) <-> ( t e. ~P { x | E. y e. c x = ( y i^i S ) } /\ t e. Fin ) )
84		selpw 4165	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t e. ~P { x | E. y e. c x = ( y i^i S ) } <-> t C_ { x | E. y e. c x = ( y i^i S ) } )
85		dfss3 3592	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t C_ { x | E. y e. c x = ( y i^i S ) } <-> A. s e. t s e. { x | E. y e. c x = ( y i^i S ) } )
86		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- s e. _V
87		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = s -> ( x = ( y i^i S ) <-> s = ( y i^i S ) ) )
88	87	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = s -> ( E. y e. c x = ( y i^i S ) <-> E. y e. c s = ( y i^i S ) ) )
89	86, 88	elab 3350	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s e. { x | E. y e. c x = ( y i^i S ) } <-> E. y e. c s = ( y i^i S ) )
90	89	ralbii 2980	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. s e. t s e. { x | E. y e. c x = ( y i^i S ) } <-> A. s e. t E. y e. c s = ( y i^i S ) )
91	84, 85, 90	3bitri 286	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t e. ~P { x | E. y e. c x = ( y i^i S ) } <-> A. s e. t E. y e. c s = ( y i^i S ) )
92	91	anbi1i 731	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( t e. ~P { x | E. y e. c x = ( y i^i S ) } /\ t e. Fin ) <-> ( A. s e. t E. y e. c s = ( y i^i S ) /\ t e. Fin ) )
93	83, 92	bitri 264	. . . . . . . . . . 11 |- ( t e. ( ~P { x | E. y e. c x = ( y i^i S ) } i^i Fin ) <-> ( A. s e. t E. y e. c s = ( y i^i S ) /\ t e. Fin ) )
94		ineq1 3807	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( f ` s ) -> ( y i^i S ) = ( ( f ` s ) i^i S ) )
95	94	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( f ` s ) -> ( s = ( y i^i S ) <-> s = ( ( f ` s ) i^i S ) ) )
96	95	ac6sfi 8204	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( t e. Fin /\ A. s e. t E. y e. c s = ( y i^i S ) ) -> E. f ( f : t --> c /\ A. s e. t s = ( ( f ` s ) i^i S ) ) )
97	96	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. s e. t E. y e. c s = ( y i^i S ) /\ t e. Fin ) -> E. f ( f : t --> c /\ A. s e. t s = ( ( f ` s ) i^i S ) ) )
98	97	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ c e. ~P J ) /\ S C_ U. c ) /\ ( A. s e. t E. y e. c s = ( y i^i S ) /\ t e. Fin ) ) -> E. f ( f : t --> c /\ A. s e. t s = ( ( f ` s ) i^i S ) ) )
99		frn 6053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( f : t --> c -> ran f C_ c )
100	99	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ c e. ~P J ) /\ S C_ U. c ) /\ ( A. s e. t E. y e. c s = ( y i^i S ) /\ t e. Fin ) ) /\ S = U. t ) /\ ( f : t --> c /\ A. s e. t s = ( ( f ` s ) i^i S ) ) ) -> ran f C_ c )
101		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- f e. _V
102	101	rnex 7100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ran f e. _V
103	102	elpw 4164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ran f e. ~P c <-> ran f C_ c )
104	100, 103	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ c e. ~P J ) /\ S C_ U. c ) /\ ( A. s e. t E. y e. c s = ( y i^i S ) /\ t e. Fin ) ) /\ S = U. t ) /\ ( f : t --> c /\ A. s e. t s = ( ( f ` s ) i^i S ) ) ) -> ran f e. ~P c )
105		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ c e. ~P J ) /\ S C_ U. c ) /\ ( A. s e. t E. y e. c s = ( y i^i S ) /\ t e. Fin ) ) -> t e. Fin )
106	105	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ c e. ~P J ) /\ S C_ U. c ) /\ ( A. s e. t E. y e. c s = ( y i^i S ) /\ t e. Fin ) ) /\ S = U. t ) /\ ( f : t --> c /\ A. s e. t s = ( ( f ` s ) i^i S ) ) ) -> t e. Fin )
107		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( f : t --> c -> f Fn t )
108		dffn4 6121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( f Fn t <-> f : t -onto-> ran f )
109	107, 108	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( f : t --> c -> f : t -onto-> ran f )
110		fodomfi 8239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( t e. Fin /\ f : t -onto-> ran f ) -> ran f ~<_ t )
111	109, 110	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( t e. Fin /\ f : t --> c ) -> ran f ~<_ t )
112	111	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( A. s e. t E. y e. c s = ( y i^i S ) /\ t e. Fin ) /\ f : t --> c ) -> ran f ~<_ t )
113	112	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ c e. ~P J ) /\ S C_ U. c ) /\ ( A. s e. t E. y e. c s = ( y i^i S ) /\ t e. Fin ) ) /\ f : t --> c ) -> ran f ~<_ t )
114	113	ad2ant2r 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ c e. ~P J ) /\ S C_ U. c ) /\ ( A. s e. t E. y e. c s = ( y i^i S ) /\ t e. Fin ) ) /\ S = U. t ) /\ ( f : t --> c /\ A. s e. t s = ( ( f ` s ) i^i S ) ) ) -> ran f ~<_ t )
115		domfi 8181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( t e. Fin /\ ran f ~<_ t ) -> ran f e. Fin )
116	106, 114, 115	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ c e. ~P J ) /\ S C_ U. c ) /\ ( A. s e. t E. y e. c s = ( y i^i S ) /\ t e. Fin ) ) /\ S = U. t ) /\ ( f : t --> c /\ A. s e. t s = ( ( f ` s ) i^i S ) ) ) -> ran f e. Fin )
117	104, 116	elind 3798	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ c e. ~P J ) /\ S C_ U. c ) /\ ( A. s e. t E. y e. c s = ( y i^i S ) /\ t e. Fin ) ) /\ S = U. t ) /\ ( f : t --> c /\ A. s e. t s = ( ( f ` s ) i^i S ) ) ) -> ran f e. ( ~P c i^i Fin ) )
118		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( s = u -> s = u )
119		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( s = u -> ( f ` s ) = ( f ` u ) )
120	119	ineq1d 3813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( s = u -> ( ( f ` s ) i^i S ) = ( ( f ` u ) i^i S ) )
121	118, 120	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( s = u -> ( s = ( ( f ` s ) i^i S ) <-> u = ( ( f ` u ) i^i S ) ) )
122	121	rspccv 3306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( A. s e. t s = ( ( f ` s ) i^i S ) -> ( u e. t -> u = ( ( f ` u ) i^i S ) ) )
123		pm2.27 42	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( u e. t -> ( ( u e. t -> u = ( ( f ` u ) i^i S ) ) -> u = ( ( f ` u ) i^i S ) ) )
124		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( f ` u ) i^i S ) C_ ( f ` u )
125		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( u = ( ( f ` u ) i^i S ) -> ( u C_ ( f ` u ) <-> ( ( f ` u ) i^i S ) C_ ( f ` u ) ) )
126	124, 125	mpbiri 248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( u = ( ( f ` u ) i^i S ) -> u C_ ( f ` u ) )
127		ssel 3597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( u C_ ( f ` u ) -> ( w e. u -> w e. ( f ` u ) ) )
128	127	a1dd 50	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( u C_ ( f ` u ) -> ( w e. u -> ( f : t --> c -> w e. ( f ` u ) ) ) )
129	126, 128	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( u = ( ( f ` u ) i^i S ) -> ( w e. u -> ( f : t --> c -> w e. ( f ` u ) ) ) )
130	129	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( u e. t -> ( u = ( ( f ` u ) i^i S ) -> ( w e. u -> ( f : t --> c -> w e. ( f ` u ) ) ) ) )
131	130	3imp 1256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( u e. t /\ u = ( ( f ` u ) i^i S ) /\ w e. u ) -> ( f : t --> c -> w e. ( f ` u ) ) )
132		fnfvelrn 6356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( f Fn t /\ u e. t ) -> ( f ` u ) e. ran f )
133	132	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( u e. t -> ( f Fn t -> ( f ` u ) e. ran f ) )
134	133	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( u e. t /\ u = ( ( f ` u ) i^i S ) /\ w e. u ) -> ( f Fn t -> ( f ` u ) e. ran f ) )
135	107, 134	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( u e. t /\ u = ( ( f ` u ) i^i S ) /\ w e. u ) -> ( f : t --> c -> ( f ` u ) e. ran f ) )
136	131, 135	jcad 555	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( u e. t /\ u = ( ( f ` u ) i^i S ) /\ w e. u ) -> ( f : t --> c -> ( w e. ( f ` u ) /\ ( f ` u ) e. ran f ) ) )
137	136	3exp 1264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( u e. t -> ( u = ( ( f ` u ) i^i S ) -> ( w e. u -> ( f : t --> c -> ( w e. ( f ` u ) /\ ( f ` u ) e. ran f ) ) ) ) )
138	123, 137	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( u e. t -> ( ( u e. t -> u = ( ( f ` u ) i^i S ) ) -> ( w e. u -> ( f : t --> c -> ( w e. ( f ` u ) /\ ( f ` u ) e. ran f ) ) ) ) )
139	138	com3r 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( w e. u -> ( u e. t -> ( ( u e. t -> u = ( ( f ` u ) i^i S ) ) -> ( f : t --> c -> ( w e. ( f ` u ) /\ ( f ` u ) e. ran f ) ) ) ) )
140	139	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( w e. u /\ u e. t ) -> ( ( u e. t -> u = ( ( f ` u ) i^i S ) ) -> ( f : t --> c -> ( w e. ( f ` u ) /\ ( f ` u ) e. ran f ) ) ) )
141	140	com3l 89	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( u e. t -> u = ( ( f ` u ) i^i S ) ) -> ( f : t --> c -> ( ( w e. u /\ u e. t ) -> ( w e. ( f ` u ) /\ ( f ` u ) e. ran f ) ) ) )
142	141	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( f : t --> c /\ ( u e. t -> u = ( ( f ` u ) i^i S ) ) ) -> ( ( w e. u /\ u e. t ) -> ( w e. ( f ` u ) /\ ( f ` u ) e. ran f ) ) )
143	122, 142	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( f : t --> c /\ A. s e. t s = ( ( f ` s ) i^i S ) ) -> ( ( w e. u /\ u e. t ) -> ( w e. ( f ` u ) /\ ( f ` u ) e. ran f ) ) )
144		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( f ` u ) e. _V
145		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( v = ( f ` u ) -> ( w e. v <-> w e. ( f ` u ) ) )
146		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( v = ( f ` u ) -> ( v e. ran f <-> ( f ` u ) e. ran f ) )
147	145, 146	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( v = ( f ` u ) -> ( ( w e. v /\ v e. ran f ) <-> ( w e. ( f ` u ) /\ ( f ` u ) e. ran f ) ) )
148	144, 147	spcev 3300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( w e. ( f ` u ) /\ ( f ` u ) e. ran f ) -> E. v ( w e. v /\ v e. ran f ) )
149	143, 148	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( f : t --> c /\ A. s e. t s = ( ( f ` s ) i^i S ) ) -> ( ( w e. u /\ u e. t ) -> E. v ( w e. v /\ v e. ran f ) ) )
150	149	exlimdv 1861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( f : t --> c /\ A. s e. t s = ( ( f ` s ) i^i S ) ) -> ( E. u ( w e. u /\ u e. t ) -> E. v ( w e. v /\ v e. ran f ) ) )
151		eluni 4439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( w e. U. t <-> E. u ( w e. u /\ u e. t ) )
152		eluni 4439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( w e. U. ran f <-> E. v ( w e. v /\ v e. ran f ) )
153	150, 151, 152	3imtr4g 285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( f : t --> c /\ A. s e. t s = ( ( f ` s ) i^i S ) ) -> ( w e. U. t -> w e. U. ran f ) )
154	153	ssrdv 3609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( f : t --> c /\ A. s e. t s = ( ( f ` s ) i^i S ) ) -> U. t C_ U. ran f )
155	154	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ c e. ~P J ) /\ S C_ U. c ) /\ ( A. s e. t E. y e. c s = ( y i^i S ) /\ t e. Fin ) ) /\ S = U. t ) /\ ( f : t --> c /\ A. s e. t s = ( ( f ` s ) i^i S ) ) ) -> U. t C_ U. ran f )
156		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( S = U. t -> ( S C_ U. ran f <-> U. t C_ U. ran f ) )
157	156	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ c e. ~P J ) /\ S C_ U. c ) /\ ( A. s e. t E. y e. c s = ( y i^i S ) /\ t e. Fin ) ) /\ S = U. t ) /\ ( f : t --> c /\ A. s e. t s = ( ( f ` s ) i^i S ) ) ) -> ( S C_ U. ran f <-> U. t C_ U. ran f ) )
158	155, 157	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ c e. ~P J ) /\ S C_ U. c ) /\ ( A. s e. t E. y e. c s = ( y i^i S ) /\ t e. Fin ) ) /\ S = U. t ) /\ ( f : t --> c /\ A. s e. t s = ( ( f ` s ) i^i S ) ) ) -> S C_ U. ran f )
159	117, 158	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ c e. ~P J ) /\ S C_ U. c ) /\ ( A. s e. t E. y e. c s = ( y i^i S ) /\ t e. Fin ) ) /\ S = U. t ) /\ ( f : t --> c /\ A. s e. t s = ( ( f ` s ) i^i S ) ) ) -> ( ran f e. ( ~P c i^i Fin ) /\ S C_ U. ran f ) )
160	159	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ c e. ~P J ) /\ S C_ U. c ) /\ ( A. s e. t E. y e. c s = ( y i^i S ) /\ t e. Fin ) ) /\ S = U. t ) -> ( ( f : t --> c /\ A. s e. t s = ( ( f ` s ) i^i S ) ) -> ( ran f e. ( ~P c i^i Fin ) /\ S C_ U. ran f ) ) )
161	160	eximdv 1846	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ c e. ~P J ) /\ S C_ U. c ) /\ ( A. s e. t E. y e. c s = ( y i^i S ) /\ t e. Fin ) ) /\ S = U. t ) -> ( E. f ( f : t --> c /\ A. s e. t s = ( ( f ` s ) i^i S ) ) -> E. f ( ran f e. ( ~P c i^i Fin ) /\ S C_ U. ran f ) ) )
162	161	ex 450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ c e. ~P J ) /\ S C_ U. c ) /\ ( A. s e. t E. y e. c s = ( y i^i S ) /\ t e. Fin ) ) -> ( S = U. t -> ( E. f ( f : t --> c /\ A. s e. t s = ( ( f ` s ) i^i S ) ) -> E. f ( ran f e. ( ~P c i^i Fin ) /\ S C_ U. ran f ) ) ) )
163	162	com23 86	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ c e. ~P J ) /\ S C_ U. c ) /\ ( A. s e. t E. y e. c s = ( y i^i S ) /\ t e. Fin ) ) -> ( E. f ( f : t --> c /\ A. s e. t s = ( ( f ` s ) i^i S ) ) -> ( S = U. t -> E. f ( ran f e. ( ~P c i^i Fin ) /\ S C_ U. ran f ) ) ) )
164		unieq 4444	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( d = ran f -> U. d = U. ran f )
165	164	sseq2d 3633	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( d = ran f -> ( S C_ U. d <-> S C_ U. ran f ) )
166	165	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ran f e. ( ~P c i^i Fin ) /\ S C_ U. ran f ) -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. d )
167	166	exlimiv 1858	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. f ( ran f e. ( ~P c i^i Fin ) /\ S C_ U. ran f ) -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. d )
168	163, 167	syl8 76	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ c e. ~P J ) /\ S C_ U. c ) /\ ( A. s e. t E. y e. c s = ( y i^i S ) /\ t e. Fin ) ) -> ( E. f ( f : t --> c /\ A. s e. t s = ( ( f ` s ) i^i S ) ) -> ( S = U. t -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. d ) ) )
169	98, 168	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ c e. ~P J ) /\ S C_ U. c ) /\ ( A. s e. t E. y e. c s = ( y i^i S ) /\ t e. Fin ) ) -> ( S = U. t -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. d ) )
170	93, 169	sylan2b 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ c e. ~P J ) /\ S C_ U. c ) /\ t e. ( ~P { x | E. y e. c x = ( y i^i S ) } i^i Fin ) ) -> ( S = U. t -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. d ) )
171	170	rexlimdva 3031	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ c e. ~P J ) /\ S C_ U. c ) -> ( E. t e. ( ~P { x | E. y e. c x = ( y i^i S ) } i^i Fin ) S = U. t -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. d ) )
172	82, 171	syl5bir 233	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ c e. ~P J ) /\ S C_ U. c ) -> ( ( S = S -> E. t e. ( ~P { x | E. y e. c x = ( y i^i S ) } i^i Fin ) S = U. t ) -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. d ) )
173	80, 172	sylbird 250	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ c e. ~P J ) /\ S C_ U. c ) -> ( ( U. ( J ↾t S ) = U. { x | E. y e. c x = ( y i^i S ) } -> E. t e. ( ~P { x | E. y e. c x = ( y i^i S ) } i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t ) -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. d ) )
174	173	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ c e. ~P J ) -> ( S C_ U. c -> ( ( U. ( J ↾t S ) = U. { x | E. y e. c x = ( y i^i S ) } -> E. t e. ( ~P { x | E. y e. c x = ( y i^i S ) } i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t ) -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. d ) ) )
175	174	com23 86	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ c e. ~P J ) -> ( ( U. ( J ↾t S ) = U. { x | E. y e. c x = ( y i^i S ) } -> E. t e. ( ~P { x | E. y e. c x = ( y i^i S ) } i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t ) -> ( S C_ U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. d ) ) )
176	54, 175	syld 47	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ c e. ~P J ) -> ( A. s e. ~P ( J ↾t S ) ( U. ( J ↾t S ) = U. s -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t ) -> ( S C_ U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. d ) ) )
177	176	ralrimdva 2969	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( A. s e. ~P ( J ↾t S ) ( U. ( J ↾t S ) = U. s -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t ) -> A. c e. ~P J ( S C_ U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. d ) ) )
178	4	cmpsublem 21202	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( A. c e. ~P J ( S C_ U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. d ) -> A. s e. ~P ( J ↾t S ) ( U. ( J ↾t S ) = U. s -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t ) ) )
179	177, 178	impbid 202	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( A. s e. ~P ( J ↾t S ) ( U. ( J ↾t S ) = U. s -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t ) <-> A. c e. ~P J ( S C_ U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. d ) ) )
180	13, 179	bitrd 268	1 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( J ↾t S ) e. Comp <-> A. c e. ~P J ( S C_ U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. d ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ~<_ cdom 7953   Fincfn 7955   ↾_t crest 16081   Topctop 20698   Compccmp 21189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-fin 7959  df-fi 8317  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190

This theorem is referenced by:  cmpcld  21205  uncmp  21206  hauscmplem  21209  1stckgenlem  21356  icccmp  22628  bndth  22757  ovolicc2  23290  stoweidlem50  40267  stoweidlem57  40274