Theorem cnfcf 21846

Description: Continuity of a function in terms of cluster points of a function. (Contributed by Jeff Hankins, 28-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 9-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnfcf	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. f e. ( Fil ` X ) A. x e. ( J fClus f ) ( F ` x ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, f, F   f, J, x   f, K, x   f, X, x   f, Y, x

Proof of Theorem cnfcf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncnp 21084	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) )
2		cnpfcf 21845	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ x e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` x ) <-> ( F : X --> Y /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( x e. ( J fClus f ) -> ( F ` x ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) ) ) ) )
3	2	3expa 1265	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ x e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` x ) <-> ( F : X --> Y /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( x e. ( J fClus f ) -> ( F ` x ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) ) ) ) )
4	3	adantlr 751	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ x e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` x ) <-> ( F : X --> Y /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( x e. ( J fClus f ) -> ( F ` x ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) ) ) ) )
5		simplr 792	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ x e. X ) -> F : X --> Y )
6	5	biantrurd 529	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ x e. X ) -> ( A. f e. ( Fil ` X ) ( x e. ( J fClus f ) -> ( F ` x ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) ) <-> ( F : X --> Y /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( x e. ( J fClus f ) -> ( F ` x ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) ) ) ) )
7	4, 6	bitr4d 271	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ x e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` x ) <-> A. f e. ( Fil ` X ) ( x e. ( J fClus f ) -> ( F ` x ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) ) ) )
8	7	ralbidva 2985	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) <-> A. x e. X A. f e. ( Fil ` X ) ( x e. ( J fClus f ) -> ( F ` x ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) ) ) )
9		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- U. J = U. J
10	9	fclselbas 21820	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( J fClus f ) -> x e. U. J )
11		toponuni 20719	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
12	11	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> X = U. J )
13	12	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( x e. X <-> x e. U. J ) )
14	10, 13	syl5ibr 236	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( x e. ( J fClus f ) -> x e. X ) )
15	14	pm4.71rd 667	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( x e. ( J fClus f ) <-> ( x e. X /\ x e. ( J fClus f ) ) ) )
16	15	imbi1d 331	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( ( x e. ( J fClus f ) -> ( F ` x ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) ) <-> ( ( x e. X /\ x e. ( J fClus f ) ) -> ( F ` x ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) ) ) )
17		impexp 462	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. X /\ x e. ( J fClus f ) ) -> ( F ` x ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) ) <-> ( x e. X -> ( x e. ( J fClus f ) -> ( F ` x ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) ) ) )
18	16, 17	syl6bb 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( ( x e. ( J fClus f ) -> ( F ` x ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) ) <-> ( x e. X -> ( x e. ( J fClus f ) -> ( F ` x ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) ) ) ) )
19	18	ralbidv2 2984	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. x e. ( J fClus f ) ( F ` x ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) <-> A. x e. X ( x e. ( J fClus f ) -> ( F ` x ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) ) ) )
20	19	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. f e. ( Fil ` X ) A. x e. ( J fClus f ) ( F ` x ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) <-> A. f e. ( Fil ` X ) A. x e. X ( x e. ( J fClus f ) -> ( F ` x ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) ) ) )
21		ralcom 3098	. . . . 5 |- ( A. x e. X A. f e. ( Fil ` X ) ( x e. ( J fClus f ) -> ( F ` x ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) ) <-> A. f e. ( Fil ` X ) A. x e. X ( x e. ( J fClus f ) -> ( F ` x ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) ) )
22	20, 21	syl6rbbr 279	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. x e. X A. f e. ( Fil ` X ) ( x e. ( J fClus f ) -> ( F ` x ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) ) <-> A. f e. ( Fil ` X ) A. x e. ( J fClus f ) ( F ` x ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) ) )
23	8, 22	bitrd 268	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) <-> A. f e. ( Fil ` X ) A. x e. ( J fClus f ) ( F ` x ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) ) )
24	23	pm5.32da 673	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) <-> ( F : X --> Y /\ A. f e. ( Fil ` X ) A. x e. ( J fClus f ) ( F ` x ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) ) ) )
25	1, 24	bitrd 268	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. f e. ( Fil ` X ) A. x e. ( J fClus f ) ( F ` x ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   U.cuni 4436   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028   CnP ccnp 21029   Filcfil 21649   fClus cfcls 21740   fClusf cfcf 21741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-fin 7959  df-fi 8317  df-topgen 16104  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-top 20699  df-topon 20716  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-fcls 21745  df-fcf 21746

This theorem is referenced by: (None)