Theorem cnpfcf 21845

Description: A function F is continuous at point A iff F respects cluster points there. (Contributed by Jeff Hankins, 14-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 9-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnpfcf	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) <-> ( F : X --> Y /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( A e. ( J fClus f ) -> ( F ` A ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, f   f, F   f, J   f, K   f, X   f, Y

Proof of Theorem cnpfcf

Dummy variables g h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnpf2 21054	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> F : X --> Y )
2	1	3expa 1265	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> F : X --> Y )
3	2	3adantl3 1219	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> F : X --> Y )
4		topontop 20718	. . . . . . 7 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> K e. Top )
5		cnpfcfi 21844	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. Top /\ A e. ( J fClus f ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> ( F ` A ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) )
6	5	3com23 1271	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ A e. ( J fClus f ) ) -> ( F ` A ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) )
7	6	3expia 1267	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> ( A e. ( J fClus f ) -> ( F ` A ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) ) )
8	4, 7	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> ( A e. ( J fClus f ) -> ( F ` A ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) ) )
9	8	ralrimivw 2967	. . . . 5 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> A. f e. ( Fil ` X ) ( A e. ( J fClus f ) -> ( F ` A ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) ) )
10	9	3ad2antl2 1224	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> A. f e. ( Fil ` X ) ( A e. ( J fClus f ) -> ( F ` A ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) ) )
11	3, 10	jca 554	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> ( F : X --> Y /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( A e. ( J fClus f ) -> ( F ` A ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) ) ) )
12	11	ex 450	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) -> ( F : X --> Y /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( A e. ( J fClus f ) -> ( F ` A ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) ) ) ) )
13		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fLim g ) ) ) /\ ( h e. ( Fil ` Y ) /\ ( ( Y FilMap F ) ` g ) C_ h ) ) -> g e. ( Fil ` X ) )
14		filfbas 21652	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g e. ( Fil ` X ) -> g e. ( fBas ` X ) )
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fLim g ) ) ) /\ ( h e. ( Fil ` Y ) /\ ( ( Y FilMap F ) ` g ) C_ h ) ) -> g e. ( fBas ` X ) )
16		simprl 794	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fLim g ) ) ) /\ ( h e. ( Fil ` Y ) /\ ( ( Y FilMap F ) ` g ) C_ h ) ) -> h e. ( Fil ` Y ) )
17		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fLim g ) ) ) /\ ( h e. ( Fil ` Y ) /\ ( ( Y FilMap F ) ` g ) C_ h ) ) -> F : X --> Y )
18		simprr 796	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fLim g ) ) ) /\ ( h e. ( Fil ` Y ) /\ ( ( Y FilMap F ) ` g ) C_ h ) ) -> ( ( Y FilMap F ) ` g ) C_ h )
19	15, 16, 17, 18	fmfnfm 21762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fLim g ) ) ) /\ ( h e. ( Fil ` Y ) /\ ( ( Y FilMap F ) ` g ) C_ h ) ) -> E. f e. ( Fil ` X ) ( g C_ f /\ h = ( ( Y FilMap F ) ` f ) ) )
20		r19.29 3072	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. f e. ( Fil ` X ) ( A e. ( J fClus f ) -> ( F ` A ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) ) /\ E. f e. ( Fil ` X ) ( g C_ f /\ h = ( ( Y FilMap F ) ` f ) ) ) -> E. f e. ( Fil ` X ) ( ( A e. ( J fClus f ) -> ( F ` A ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) ) /\ ( g C_ f /\ h = ( ( Y FilMap F ) ` f ) ) ) )
21		flimfcls 21830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( J fLim f ) C_ ( J fClus f )
22		simpll1 1100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fLim g ) ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
23	22	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fLim g ) ) ) /\ ( h e. ( Fil ` Y ) /\ ( ( Y FilMap F ) ` g ) C_ h ) ) /\ ( f e. ( Fil ` X ) /\ ( g C_ f /\ h = ( ( Y FilMap F ) ` f ) ) ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
24		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fLim g ) ) ) /\ ( h e. ( Fil ` Y ) /\ ( ( Y FilMap F ) ` g ) C_ h ) ) /\ ( f e. ( Fil ` X ) /\ ( g C_ f /\ h = ( ( Y FilMap F ) ` f ) ) ) ) -> f e. ( Fil ` X ) )
25		simprrl 804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fLim g ) ) ) /\ ( h e. ( Fil ` Y ) /\ ( ( Y FilMap F ) ` g ) C_ h ) ) /\ ( f e. ( Fil ` X ) /\ ( g C_ f /\ h = ( ( Y FilMap F ) ` f ) ) ) ) -> g C_ f )
26		flimss2 21776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ f e. ( Fil ` X ) /\ g C_ f ) -> ( J fLim g ) C_ ( J fLim f ) )
27	23, 24, 25, 26	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fLim g ) ) ) /\ ( h e. ( Fil ` Y ) /\ ( ( Y FilMap F ) ` g ) C_ h ) ) /\ ( f e. ( Fil ` X ) /\ ( g C_ f /\ h = ( ( Y FilMap F ) ` f ) ) ) ) -> ( J fLim g ) C_ ( J fLim f ) )
28		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fLim g ) ) ) -> A e. ( J fLim g ) )
29	28	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fLim g ) ) ) /\ ( h e. ( Fil ` Y ) /\ ( ( Y FilMap F ) ` g ) C_ h ) ) /\ ( f e. ( Fil ` X ) /\ ( g C_ f /\ h = ( ( Y FilMap F ) ` f ) ) ) ) -> A e. ( J fLim g ) )
30	27, 29	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fLim g ) ) ) /\ ( h e. ( Fil ` Y ) /\ ( ( Y FilMap F ) ` g ) C_ h ) ) /\ ( f e. ( Fil ` X ) /\ ( g C_ f /\ h = ( ( Y FilMap F ) ` f ) ) ) ) -> A e. ( J fLim f ) )
31	21, 30	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fLim g ) ) ) /\ ( h e. ( Fil ` Y ) /\ ( ( Y FilMap F ) ` g ) C_ h ) ) /\ ( f e. ( Fil ` X ) /\ ( g C_ f /\ h = ( ( Y FilMap F ) ` f ) ) ) ) -> A e. ( J fClus f ) )
32		simpll2 1101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fLim g ) ) ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
33	32	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fLim g ) ) ) /\ ( h e. ( Fil ` Y ) /\ ( ( Y FilMap F ) ` g ) C_ h ) ) /\ ( f e. ( Fil ` X ) /\ ( g C_ f /\ h = ( ( Y FilMap F ) ` f ) ) ) ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
34		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fLim g ) ) ) -> F : X --> Y )
35	34	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fLim g ) ) ) /\ ( h e. ( Fil ` Y ) /\ ( ( Y FilMap F ) ` g ) C_ h ) ) /\ ( f e. ( Fil ` X ) /\ ( g C_ f /\ h = ( ( Y FilMap F ) ` f ) ) ) ) -> F : X --> Y )
36		fcfval 21837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ f e. ( Fil ` X ) /\ F : X --> Y ) -> ( ( K fClusf f ) ` F ) = ( K fClus ( ( Y FilMap F ) ` f ) ) )
37	33, 24, 35, 36	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fLim g ) ) ) /\ ( h e. ( Fil ` Y ) /\ ( ( Y FilMap F ) ` g ) C_ h ) ) /\ ( f e. ( Fil ` X ) /\ ( g C_ f /\ h = ( ( Y FilMap F ) ` f ) ) ) ) -> ( ( K fClusf f ) ` F ) = ( K fClus ( ( Y FilMap F ) ` f ) ) )
38		simprrr 805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fLim g ) ) ) /\ ( h e. ( Fil ` Y ) /\ ( ( Y FilMap F ) ` g ) C_ h ) ) /\ ( f e. ( Fil ` X ) /\ ( g C_ f /\ h = ( ( Y FilMap F ) ` f ) ) ) ) -> h = ( ( Y FilMap F ) ` f ) )
39	38	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fLim g ) ) ) /\ ( h e. ( Fil ` Y ) /\ ( ( Y FilMap F ) ` g ) C_ h ) ) /\ ( f e. ( Fil ` X ) /\ ( g C_ f /\ h = ( ( Y FilMap F ) ` f ) ) ) ) -> ( K fClus h ) = ( K fClus ( ( Y FilMap F ) ` f ) ) )
40	37, 39	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fLim g ) ) ) /\ ( h e. ( Fil ` Y ) /\ ( ( Y FilMap F ) ` g ) C_ h ) ) /\ ( f e. ( Fil ` X ) /\ ( g C_ f /\ h = ( ( Y FilMap F ) ` f ) ) ) ) -> ( ( K fClusf f ) ` F ) = ( K fClus h ) )
41	40	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fLim g ) ) ) /\ ( h e. ( Fil ` Y ) /\ ( ( Y FilMap F ) ` g ) C_ h ) ) /\ ( f e. ( Fil ` X ) /\ ( g C_ f /\ h = ( ( Y FilMap F ) ` f ) ) ) ) -> ( ( F ` A ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) <-> ( F ` A ) e. ( K fClus h ) ) )
42	41	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fLim g ) ) ) /\ ( h e. ( Fil ` Y ) /\ ( ( Y FilMap F ) ` g ) C_ h ) ) /\ ( f e. ( Fil ` X ) /\ ( g C_ f /\ h = ( ( Y FilMap F ) ` f ) ) ) ) -> ( ( F ` A ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) -> ( F ` A ) e. ( K fClus h ) ) )
43	31, 42	embantd 59	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fLim g ) ) ) /\ ( h e. ( Fil ` Y ) /\ ( ( Y FilMap F ) ` g ) C_ h ) ) /\ ( f e. ( Fil ` X ) /\ ( g C_ f /\ h = ( ( Y FilMap F ) ` f ) ) ) ) -> ( ( A e. ( J fClus f ) -> ( F ` A ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) ) -> ( F ` A ) e. ( K fClus h ) ) )
44	43	expr 643	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fLim g ) ) ) /\ ( h e. ( Fil ` Y ) /\ ( ( Y FilMap F ) ` g ) C_ h ) ) /\ f e. ( Fil ` X ) ) -> ( ( g C_ f /\ h = ( ( Y FilMap F ) ` f ) ) -> ( ( A e. ( J fClus f ) -> ( F ` A ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) ) -> ( F ` A ) e. ( K fClus h ) ) ) )
45	44	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fLim g ) ) ) /\ ( h e. ( Fil ` Y ) /\ ( ( Y FilMap F ) ` g ) C_ h ) ) /\ f e. ( Fil ` X ) ) -> ( ( A e. ( J fClus f ) -> ( F ` A ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) ) -> ( ( g C_ f /\ h = ( ( Y FilMap F ) ` f ) ) -> ( F ` A ) e. ( K fClus h ) ) ) )
46	45	impd 447	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fLim g ) ) ) /\ ( h e. ( Fil ` Y ) /\ ( ( Y FilMap F ) ` g ) C_ h ) ) /\ f e. ( Fil ` X ) ) -> ( ( ( A e. ( J fClus f ) -> ( F ` A ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) ) /\ ( g C_ f /\ h = ( ( Y FilMap F ) ` f ) ) ) -> ( F ` A ) e. ( K fClus h ) ) )
47	46	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fLim g ) ) ) /\ ( h e. ( Fil ` Y ) /\ ( ( Y FilMap F ) ` g ) C_ h ) ) -> ( E. f e. ( Fil ` X ) ( ( A e. ( J fClus f ) -> ( F ` A ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) ) /\ ( g C_ f /\ h = ( ( Y FilMap F ) ` f ) ) ) -> ( F ` A ) e. ( K fClus h ) ) )
48	20, 47	syl5 34	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fLim g ) ) ) /\ ( h e. ( Fil ` Y ) /\ ( ( Y FilMap F ) ` g ) C_ h ) ) -> ( ( A. f e. ( Fil ` X ) ( A e. ( J fClus f ) -> ( F ` A ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) ) /\ E. f e. ( Fil ` X ) ( g C_ f /\ h = ( ( Y FilMap F ) ` f ) ) ) -> ( F ` A ) e. ( K fClus h ) ) )
49	19, 48	mpan2d 710	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fLim g ) ) ) /\ ( h e. ( Fil ` Y ) /\ ( ( Y FilMap F ) ` g ) C_ h ) ) -> ( A. f e. ( Fil ` X ) ( A e. ( J fClus f ) -> ( F ` A ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) ) -> ( F ` A ) e. ( K fClus h ) ) )
50	49	expr 643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fLim g ) ) ) /\ h e. ( Fil ` Y ) ) -> ( ( ( Y FilMap F ) ` g ) C_ h -> ( A. f e. ( Fil ` X ) ( A e. ( J fClus f ) -> ( F ` A ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) ) -> ( F ` A ) e. ( K fClus h ) ) ) )
51	50	com23 86	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fLim g ) ) ) /\ h e. ( Fil ` Y ) ) -> ( A. f e. ( Fil ` X ) ( A e. ( J fClus f ) -> ( F ` A ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) ) -> ( ( ( Y FilMap F ) ` g ) C_ h -> ( F ` A ) e. ( K fClus h ) ) ) )
52	51	ralrimdva 2969	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fLim g ) ) ) -> ( A. f e. ( Fil ` X ) ( A e. ( J fClus f ) -> ( F ` A ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) ) -> A. h e. ( Fil ` Y ) ( ( ( Y FilMap F ) ` g ) C_ h -> ( F ` A ) e. ( K fClus h ) ) ) )
53		toponmax 20730	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> Y e. K )
54	32, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fLim g ) ) ) -> Y e. K )
55		simprl 794	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fLim g ) ) ) -> g e. ( Fil ` X ) )
56	55, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fLim g ) ) ) -> g e. ( fBas ` X ) )
57		fmfil 21748	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Y e. K /\ g e. ( fBas ` X ) /\ F : X --> Y ) -> ( ( Y FilMap F ) ` g ) e. ( Fil ` Y ) )
58	54, 56, 34, 57	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fLim g ) ) ) -> ( ( Y FilMap F ) ` g ) e. ( Fil ` Y ) )
59		toponuni 20719	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> Y = U. K )
60	32, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fLim g ) ) ) -> Y = U. K )
61	60	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fLim g ) ) ) -> ( Fil ` Y ) = ( Fil ` U. K ) )
62	58, 61	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fLim g ) ) ) -> ( ( Y FilMap F ) ` g ) e. ( Fil ` U. K ) )
63		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- U. K = U. K
64	63	flimfnfcls 21832	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( Y FilMap F ) ` g ) e. ( Fil ` U. K ) -> ( ( F ` A ) e. ( K fLim ( ( Y FilMap F ) ` g ) ) <-> A. h e. ( Fil ` U. K ) ( ( ( Y FilMap F ) ` g ) C_ h -> ( F ` A ) e. ( K fClus h ) ) ) )
65	62, 64	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fLim g ) ) ) -> ( ( F ` A ) e. ( K fLim ( ( Y FilMap F ) ` g ) ) <-> A. h e. ( Fil ` U. K ) ( ( ( Y FilMap F ) ` g ) C_ h -> ( F ` A ) e. ( K fClus h ) ) ) )
66		flfval 21794	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ g e. ( Fil ` X ) /\ F : X --> Y ) -> ( ( K fLimf g ) ` F ) = ( K fLim ( ( Y FilMap F ) ` g ) ) )
67	32, 55, 34, 66	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fLim g ) ) ) -> ( ( K fLimf g ) ` F ) = ( K fLim ( ( Y FilMap F ) ` g ) ) )
68	67	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fLim g ) ) ) -> ( ( F ` A ) e. ( ( K fLimf g ) ` F ) <-> ( F ` A ) e. ( K fLim ( ( Y FilMap F ) ` g ) ) ) )
69	61	raleqdv 3144	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fLim g ) ) ) -> ( A. h e. ( Fil ` Y ) ( ( ( Y FilMap F ) ` g ) C_ h -> ( F ` A ) e. ( K fClus h ) ) <-> A. h e. ( Fil ` U. K ) ( ( ( Y FilMap F ) ` g ) C_ h -> ( F ` A ) e. ( K fClus h ) ) ) )
70	65, 68, 69	3bitr4d 300	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fLim g ) ) ) -> ( ( F ` A ) e. ( ( K fLimf g ) ` F ) <-> A. h e. ( Fil ` Y ) ( ( ( Y FilMap F ) ` g ) C_ h -> ( F ` A ) e. ( K fClus h ) ) ) )
71	52, 70	sylibrd 249	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fLim g ) ) ) -> ( A. f e. ( Fil ` X ) ( A e. ( J fClus f ) -> ( F ` A ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) ) -> ( F ` A ) e. ( ( K fLimf g ) ` F ) ) )
72	71	expr 643	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ g e. ( Fil ` X ) ) -> ( A e. ( J fLim g ) -> ( A. f e. ( Fil ` X ) ( A e. ( J fClus f ) -> ( F ` A ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) ) -> ( F ` A ) e. ( ( K fLimf g ) ` F ) ) ) )
73	72	com23 86	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ g e. ( Fil ` X ) ) -> ( A. f e. ( Fil ` X ) ( A e. ( J fClus f ) -> ( F ` A ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) ) -> ( A e. ( J fLim g ) -> ( F ` A ) e. ( ( K fLimf g ) ` F ) ) ) )
74	73	ralrimdva 2969	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. f e. ( Fil ` X ) ( A e. ( J fClus f ) -> ( F ` A ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) ) -> A. g e. ( Fil ` X ) ( A e. ( J fLim g ) -> ( F ` A ) e. ( ( K fLimf g ) ` F ) ) ) )
75	74	imdistanda 729	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) -> ( ( F : X --> Y /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( A e. ( J fClus f ) -> ( F ` A ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) ) ) -> ( F : X --> Y /\ A. g e. ( Fil ` X ) ( A e. ( J fLim g ) -> ( F ` A ) e. ( ( K fLimf g ) ` F ) ) ) ) )
76		cnpflf 21805	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) <-> ( F : X --> Y /\ A. g e. ( Fil ` X ) ( A e. ( J fLim g ) -> ( F ` A ) e. ( ( K fLimf g ) ` F ) ) ) ) )
77	75, 76	sylibrd 249	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) -> ( ( F : X --> Y /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( A e. ( J fClus f ) -> ( F ` A ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) )
78	12, 77	impbid 202	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) <-> ( F : X --> Y /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( A e. ( J fClus f ) -> ( F ` A ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   U.cuni 4436   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   fBascfbas 19734   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   CnP ccnp 21029   Filcfil 21649   FilMap cfm 21737   fLim cflim 21738   fLimf cflf 21739   fClus cfcls 21740   fClusf cfcf 21741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-fin 7959  df-fi 8317  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-top 20699  df-topon 20716  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-cnp 21032  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-fcls 21745  df-fcf 21746

This theorem is referenced by:  cnfcf  21846