Theorem cnvrcl0 37932

Description: The converse of the reflexive closure is equal to the closure of the converse. (Contributed by RP, 18-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
cnvrcl0	|- ( X e. V -> `' |^| { x | ( X C_ x /\ ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) C_ x ) } = |^| { y | ( `' X C_ y /\ ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y ) } )

Distinct variable groups:   x, y, V   x, X, y

Proof of Theorem cnvrcl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvresid 5968	. . . . . . 7 |- `' ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) = ( _I |` ( dom y u. ran y ) )
2		cnvnonrel 37894	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- `' ( X \ `' `' X ) = (/)
3		cnv0 5535	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- `' (/) = (/)
4	2, 3	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- `' ( X \ `' `' X ) = `' (/)
5	4	dmeqi 5325	. . . . . . . . . . . . . 14 |- dom `' ( X \ `' `' X ) = dom `' (/)
6		df-rn 5125	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ran ( X \ `' `' X ) = dom `' ( X \ `' `' X )
7		df-rn 5125	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ran (/) = dom `' (/)
8	5, 6, 7	3eqtr4i 2654	. . . . . . . . . . . . 13 |- ran ( X \ `' `' X ) = ran (/)
9		0ss 3972	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (/) C_ `' y
10		rnss 5354	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (/) C_ `' y -> ran (/) C_ ran `' y )
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ran (/) C_ ran `' y
12	8, 11	eqsstri 3635	. . . . . . . . . . . 12 |- ran ( X \ `' `' X ) C_ ran `' y
13		ssequn2 3786	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ran ( X \ `' `' X ) C_ ran `' y <-> ( ran `' y u. ran ( X \ `' `' X ) ) = ran `' y )
14	12, 13	mpbi 220	. . . . . . . . . . 11 |- ( ran `' y u. ran ( X \ `' `' X ) ) = ran `' y
15		rnun 5541	. . . . . . . . . . 11 |- ran ( `' y u. ( X \ `' `' X ) ) = ( ran `' y u. ran ( X \ `' `' X ) )
16		dfdm4 5316	. . . . . . . . . . 11 |- dom y = ran `' y
17	14, 15, 16	3eqtr4ri 2655	. . . . . . . . . 10 |- dom y = ran ( `' y u. ( X \ `' `' X ) )
18	4	rneqi 5352	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ran `' ( X \ `' `' X ) = ran `' (/)
19		dfdm4 5316	. . . . . . . . . . . . . 14 |- dom ( X \ `' `' X ) = ran `' ( X \ `' `' X )
20		dfdm4 5316	. . . . . . . . . . . . . 14 |- dom (/) = ran `' (/)
21	18, 19, 20	3eqtr4i 2654	. . . . . . . . . . . . 13 |- dom ( X \ `' `' X ) = dom (/)
22		dmss 5323	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (/) C_ `' y -> dom (/) C_ dom `' y )
23	9, 22	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- dom (/) C_ dom `' y
24	21, 23	eqsstri 3635	. . . . . . . . . . . 12 |- dom ( X \ `' `' X ) C_ dom `' y
25		ssequn2 3786	. . . . . . . . . . . 12 |- ( dom ( X \ `' `' X ) C_ dom `' y <-> ( dom `' y u. dom ( X \ `' `' X ) ) = dom `' y )
26	24, 25	mpbi 220	. . . . . . . . . . 11 |- ( dom `' y u. dom ( X \ `' `' X ) ) = dom `' y
27		dmun 5331	. . . . . . . . . . 11 |- dom ( `' y u. ( X \ `' `' X ) ) = ( dom `' y u. dom ( X \ `' `' X ) )
28		df-rn 5125	. . . . . . . . . . 11 |- ran y = dom `' y
29	26, 27, 28	3eqtr4ri 2655	. . . . . . . . . 10 |- ran y = dom ( `' y u. ( X \ `' `' X ) )
30	17, 29	uneq12i 3765	. . . . . . . . 9 |- ( dom y u. ran y ) = ( ran ( `' y u. ( X \ `' `' X ) ) u. dom ( `' y u. ( X \ `' `' X ) ) )
31	30	equncomi 3759	. . . . . . . 8 |- ( dom y u. ran y ) = ( dom ( `' y u. ( X \ `' `' X ) ) u. ran ( `' y u. ( X \ `' `' X ) ) )
32	31	reseq2i 5393	. . . . . . 7 |- ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) = ( _I |` ( dom ( `' y u. ( X \ `' `' X ) ) u. ran ( `' y u. ( X \ `' `' X ) ) ) )
33	1, 32	eqtr2i 2645	. . . . . 6 |- ( _I |` ( dom ( `' y u. ( X \ `' `' X ) ) u. ran ( `' y u. ( X \ `' `' X ) ) ) ) = `' ( _I |` ( dom y u. ran y ) )
34		cnvss 5294	. . . . . 6 |- ( ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y -> `' ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ `' y )
35	33, 34	syl5eqss 3649	. . . . 5 |- ( ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y -> ( _I |` ( dom ( `' y u. ( X \ `' `' X ) ) u. ran ( `' y u. ( X \ `' `' X ) ) ) ) C_ `' y )
36		ssun1 3776	. . . . 5 |- `' y C_ ( `' y u. ( X \ `' `' X ) )
37	35, 36	syl6ss 3615	. . . 4 |- ( ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y -> ( _I |` ( dom ( `' y u. ( X \ `' `' X ) ) u. ran ( `' y u. ( X \ `' `' X ) ) ) ) C_ ( `' y u. ( X \ `' `' X ) ) )
38		dmeq 5324	. . . . . . 7 |- ( x = ( `' y u. ( X \ `' `' X ) ) -> dom x = dom ( `' y u. ( X \ `' `' X ) ) )
39		rneq 5351	. . . . . . 7 |- ( x = ( `' y u. ( X \ `' `' X ) ) -> ran x = ran ( `' y u. ( X \ `' `' X ) ) )
40	38, 39	uneq12d 3768	. . . . . 6 |- ( x = ( `' y u. ( X \ `' `' X ) ) -> ( dom x u. ran x ) = ( dom ( `' y u. ( X \ `' `' X ) ) u. ran ( `' y u. ( X \ `' `' X ) ) ) )
41	40	reseq2d 5396	. . . . 5 |- ( x = ( `' y u. ( X \ `' `' X ) ) -> ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) = ( _I |` ( dom ( `' y u. ( X \ `' `' X ) ) u. ran ( `' y u. ( X \ `' `' X ) ) ) ) )
42		id 22	. . . . 5 |- ( x = ( `' y u. ( X \ `' `' X ) ) -> x = ( `' y u. ( X \ `' `' X ) ) )
43	41, 42	sseq12d 3634	. . . 4 |- ( x = ( `' y u. ( X \ `' `' X ) ) -> ( ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) C_ x <-> ( _I |` ( dom ( `' y u. ( X \ `' `' X ) ) u. ran ( `' y u. ( X \ `' `' X ) ) ) ) C_ ( `' y u. ( X \ `' `' X ) ) ) )
44	37, 43	syl5ibr 236	. . 3 |- ( x = ( `' y u. ( X \ `' `' X ) ) -> ( ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y -> ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) C_ x ) )
45	44	adantl 482	. 2 |- ( ( X e. V /\ x = ( `' y u. ( X \ `' `' X ) ) ) -> ( ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y -> ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) C_ x ) )
46		cnvresid 5968	. . . . . 6 |- `' ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) = ( _I |` ( dom x u. ran x ) )
47		dfdm4 5316	. . . . . . . . 9 |- dom x = ran `' x
48		df-rn 5125	. . . . . . . . 9 |- ran x = dom `' x
49	47, 48	uneq12i 3765	. . . . . . . 8 |- ( dom x u. ran x ) = ( ran `' x u. dom `' x )
50	49	equncomi 3759	. . . . . . 7 |- ( dom x u. ran x ) = ( dom `' x u. ran `' x )
51	50	reseq2i 5393	. . . . . 6 |- ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) = ( _I |` ( dom `' x u. ran `' x ) )
52	46, 51	eqtr2i 2645	. . . . 5 |- ( _I |` ( dom `' x u. ran `' x ) ) = `' ( _I |` ( dom x u. ran x ) )
53		cnvss 5294	. . . . 5 |- ( ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) C_ x -> `' ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) C_ `' x )
54	52, 53	syl5eqss 3649	. . . 4 |- ( ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) C_ x -> ( _I |` ( dom `' x u. ran `' x ) ) C_ `' x )
55		dmeq 5324	. . . . . . 7 |- ( y = `' x -> dom y = dom `' x )
56		rneq 5351	. . . . . . 7 |- ( y = `' x -> ran y = ran `' x )
57	55, 56	uneq12d 3768	. . . . . 6 |- ( y = `' x -> ( dom y u. ran y ) = ( dom `' x u. ran `' x ) )
58	57	reseq2d 5396	. . . . 5 |- ( y = `' x -> ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) = ( _I |` ( dom `' x u. ran `' x ) ) )
59		id 22	. . . . 5 |- ( y = `' x -> y = `' x )
60	58, 59	sseq12d 3634	. . . 4 |- ( y = `' x -> ( ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y <-> ( _I |` ( dom `' x u. ran `' x ) ) C_ `' x ) )
61	54, 60	syl5ibr 236	. . 3 |- ( y = `' x -> ( ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) C_ x -> ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y ) )
62	61	adantl 482	. 2 |- ( ( X e. V /\ y = `' x ) -> ( ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) C_ x -> ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y ) )
63		dmeq 5324	. . . . 5 |- ( x = ( X u. ( _I |` ( dom X u. ran X ) ) ) -> dom x = dom ( X u. ( _I |` ( dom X u. ran X ) ) ) )
64		rneq 5351	. . . . 5 |- ( x = ( X u. ( _I |` ( dom X u. ran X ) ) ) -> ran x = ran ( X u. ( _I |` ( dom X u. ran X ) ) ) )
65	63, 64	uneq12d 3768	. . . 4 |- ( x = ( X u. ( _I |` ( dom X u. ran X ) ) ) -> ( dom x u. ran x ) = ( dom ( X u. ( _I |` ( dom X u. ran X ) ) ) u. ran ( X u. ( _I |` ( dom X u. ran X ) ) ) ) )
66	65	reseq2d 5396	. . 3 |- ( x = ( X u. ( _I |` ( dom X u. ran X ) ) ) -> ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) = ( _I |` ( dom ( X u. ( _I |` ( dom X u. ran X ) ) ) u. ran ( X u. ( _I |` ( dom X u. ran X ) ) ) ) ) )
67		id 22	. . 3 |- ( x = ( X u. ( _I |` ( dom X u. ran X ) ) ) -> x = ( X u. ( _I |` ( dom X u. ran X ) ) ) )
68	66, 67	sseq12d 3634	. 2 |- ( x = ( X u. ( _I |` ( dom X u. ran X ) ) ) -> ( ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) C_ x <-> ( _I |` ( dom ( X u. ( _I |` ( dom X u. ran X ) ) ) u. ran ( X u. ( _I |` ( dom X u. ran X ) ) ) ) ) C_ ( X u. ( _I |` ( dom X u. ran X ) ) ) ) )
69		ssun1 3776	. . 3 |- X C_ ( X u. ( _I |` ( dom X u. ran X ) ) )
70	69	a1i 11	. 2 |- ( X e. V -> X C_ ( X u. ( _I |` ( dom X u. ran X ) ) ) )
71		dmexg 7097	. . . . 5 |- ( X e. V -> dom X e. _V )
72		rnexg 7098	. . . . 5 |- ( X e. V -> ran X e. _V )
73		unexg 6959	. . . . 5 |- ( ( dom X e. _V /\ ran X e. _V ) -> ( dom X u. ran X ) e. _V )
74	71, 72, 73	syl2anc 693	. . . 4 |- ( X e. V -> ( dom X u. ran X ) e. _V )
75	74	resiexd 6480	. . 3 |- ( X e. V -> ( _I |` ( dom X u. ran X ) ) e. _V )
76		unexg 6959	. . 3 |- ( ( X e. V /\ ( _I |` ( dom X u. ran X ) ) e. _V ) -> ( X u. ( _I |` ( dom X u. ran X ) ) ) e. _V )
77	75, 76	mpdan 702	. 2 |- ( X e. V -> ( X u. ( _I |` ( dom X u. ran X ) ) ) e. _V )
78		dmun 5331	. . . . . 6 |- dom ( X u. ( _I |` ( dom X u. ran X ) ) ) = ( dom X u. dom ( _I |` ( dom X u. ran X ) ) )
79		ssun1 3776	. . . . . . 7 |- dom X C_ ( dom X u. ran X )
80		dmresi 5457	. . . . . . . 8 |- dom ( _I |` ( dom X u. ran X ) ) = ( dom X u. ran X )
81	80	eqimssi 3659	. . . . . . 7 |- dom ( _I |` ( dom X u. ran X ) ) C_ ( dom X u. ran X )
82	79, 81	unssi 3788	. . . . . 6 |- ( dom X u. dom ( _I |` ( dom X u. ran X ) ) ) C_ ( dom X u. ran X )
83	78, 82	eqsstri 3635	. . . . 5 |- dom ( X u. ( _I |` ( dom X u. ran X ) ) ) C_ ( dom X u. ran X )
84		rnun 5541	. . . . . 6 |- ran ( X u. ( _I |` ( dom X u. ran X ) ) ) = ( ran X u. ran ( _I |` ( dom X u. ran X ) ) )
85		ssun2 3777	. . . . . . 7 |- ran X C_ ( dom X u. ran X )
86		rnresi 5479	. . . . . . . 8 |- ran ( _I |` ( dom X u. ran X ) ) = ( dom X u. ran X )
87	86	eqimssi 3659	. . . . . . 7 |- ran ( _I |` ( dom X u. ran X ) ) C_ ( dom X u. ran X )
88	85, 87	unssi 3788	. . . . . 6 |- ( ran X u. ran ( _I |` ( dom X u. ran X ) ) ) C_ ( dom X u. ran X )
89	84, 88	eqsstri 3635	. . . . 5 |- ran ( X u. ( _I |` ( dom X u. ran X ) ) ) C_ ( dom X u. ran X )
90	83, 89	pm3.2i 471	. . . 4 |- ( dom ( X u. ( _I |` ( dom X u. ran X ) ) ) C_ ( dom X u. ran X ) /\ ran ( X u. ( _I |` ( dom X u. ran X ) ) ) C_ ( dom X u. ran X ) )
91		unss 3787	. . . . 5 |- ( ( dom ( X u. ( _I |` ( dom X u. ran X ) ) ) C_ ( dom X u. ran X ) /\ ran ( X u. ( _I |` ( dom X u. ran X ) ) ) C_ ( dom X u. ran X ) ) <-> ( dom ( X u. ( _I |` ( dom X u. ran X ) ) ) u. ran ( X u. ( _I |` ( dom X u. ran X ) ) ) ) C_ ( dom X u. ran X ) )
92		ssres2 5425	. . . . 5 |- ( ( dom ( X u. ( _I |` ( dom X u. ran X ) ) ) u. ran ( X u. ( _I |` ( dom X u. ran X ) ) ) ) C_ ( dom X u. ran X ) -> ( _I |` ( dom ( X u. ( _I |` ( dom X u. ran X ) ) ) u. ran ( X u. ( _I |` ( dom X u. ran X ) ) ) ) ) C_ ( _I |` ( dom X u. ran X ) ) )
93	91, 92	sylbi 207	. . . 4 |- ( ( dom ( X u. ( _I |` ( dom X u. ran X ) ) ) C_ ( dom X u. ran X ) /\ ran ( X u. ( _I |` ( dom X u. ran X ) ) ) C_ ( dom X u. ran X ) ) -> ( _I |` ( dom ( X u. ( _I |` ( dom X u. ran X ) ) ) u. ran ( X u. ( _I |` ( dom X u. ran X ) ) ) ) ) C_ ( _I |` ( dom X u. ran X ) ) )
94		ssun4 3779	. . . 4 |- ( ( _I |` ( dom ( X u. ( _I |` ( dom X u. ran X ) ) ) u. ran ( X u. ( _I |` ( dom X u. ran X ) ) ) ) ) C_ ( _I |` ( dom X u. ran X ) ) -> ( _I |` ( dom ( X u. ( _I |` ( dom X u. ran X ) ) ) u. ran ( X u. ( _I |` ( dom X u. ran X ) ) ) ) ) C_ ( X u. ( _I |` ( dom X u. ran X ) ) ) )
95	90, 93, 94	mp2b 10	. . 3 |- ( _I |` ( dom ( X u. ( _I |` ( dom X u. ran X ) ) ) u. ran ( X u. ( _I |` ( dom X u. ran X ) ) ) ) ) C_ ( X u. ( _I |` ( dom X u. ran X ) ) )
96	95	a1i 11	. 2 |- ( X e. V -> ( _I |` ( dom ( X u. ( _I |` ( dom X u. ran X ) ) ) u. ran ( X u. ( _I |` ( dom X u. ran X ) ) ) ) ) C_ ( X u. ( _I |` ( dom X u. ran X ) ) ) )
97	45, 62, 68, 70, 77, 96	clcnvlem 37930	1 |- ( X e. V -> `' |^| { x | ( X C_ x /\ ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) C_ x ) } = |^| { y | ( `' X C_ y /\ ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   |^|cint 4475   _I cid 5023   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-1st 7168  df-2nd 7169

This theorem is referenced by: (None)