Theorem dfdm4 5316

Description: Alternate definition of domain. (Contributed by NM, 28-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dfdm4	|- dom A = ran `' A

Proof of Theorem dfdm4

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3203	. . . . 5 |- y e. _V
2		vex 3203	. . . . 5 |- x e. _V
3	1, 2	brcnv 5305	. . . 4 |- ( y `' A x <-> x A y )
4	3	exbii 1774	. . 3 |- ( E. y y `' A x <-> E. y x A y )
5	4	abbii 2739	. 2 |- { x | E. y y `' A x } = { x | E. y x A y }
6		dfrn2 5311	. 2 |- ran `' A = { x | E. y y `' A x }
7		df-dm 5124	. 2 |- dom A = { x | E. y x A y }
8	5, 6, 7	3eqtr4ri 2655	1 |- dom A = ran `' A

Syntax hints:   = wceq 1483   E.wex 1704   {cab 2608   class class class wbr 4653   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125

This theorem is referenced by:  dmcnvcnv  5348  rncnvcnv  5349  rncoeq  5389  cnvimass  5485  cnvimarndm  5486  dminxp  5574  cnvsn0  5603  rnsnopg  5614  dmmpt  5630  dmco  5643  cores2  5648  cnvssrndm  5657  unidmrn  5665  dfdm2  5667  funimacnv  5970  foimacnv  6154  funcocnv2  6161  fimacnv  6347  f1opw2  6888  cnvexg  7112  tz7.48-3  7539  fopwdom  8068  sbthlem4  8073  fodomr  8111  f1opwfi  8270  zorn2lem4  9321  trclublem  13734  relexpcnv  13775  unbenlem  15612  gsumpropd2lem  17273  pjdm  20051  paste  21098  hmeores  21574  icchmeo  22740  fcnvgreu  29472  ffsrn  29504  gsummpt2co  29780  coinfliprv  30544  itg2addnclem2  33462  rncnv  34070  lnmlmic  37658  dmnonrel  37896  cnvrcl0  37932  conrel1d  37955