Theorem cplem2 8753

Description: -Lemma for the Collection Principle cp 8754. (Contributed by NM, 17-Oct-2003.)

Hypothesis

Ref	Expression
cplem2.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
cplem2	|- E. y A. x e. A ( B =/= (/) -> ( B i^i y ) =/= (/) )

Distinct variable groups:   x, y, A   y, B

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem cplem2

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . 3 |- { z e. B | A. w e. B ( rank ` z ) C_ ( rank ` w ) } = { z e. B | A. w e. B ( rank ` z ) C_ ( rank ` w ) }
2		eqid 2622	. . 3 |- U_ x e. A { z e. B | A. w e. B ( rank ` z ) C_ ( rank ` w ) } = U_ x e. A { z e. B | A. w e. B ( rank ` z ) C_ ( rank ` w ) }
3	1, 2	cplem1 8752	. 2 |- A. x e. A ( B =/= (/) -> ( B i^i U_ x e. A { z e. B | A. w e. B ( rank ` z ) C_ ( rank ` w ) } ) =/= (/) )
4		cplem2.1	. . . 4 |- A e. _V
5		scottex 8748	. . . 4 |- { z e. B | A. w e. B ( rank ` z ) C_ ( rank ` w ) } e. _V
6	4, 5	iunex 7147	. . 3 |- U_ x e. A { z e. B | A. w e. B ( rank ` z ) C_ ( rank ` w ) } e. _V
7		nfiu1 4550	. . . . 5 |- F/_ x U_ x e. A { z e. B | A. w e. B ( rank ` z ) C_ ( rank ` w ) }
8	7	nfeq2 2780	. . . 4 |- F/ x y = U_ x e. A { z e. B | A. w e. B ( rank ` z ) C_ ( rank ` w ) }
9		ineq2 3808	. . . . . 6 |- ( y = U_ x e. A { z e. B | A. w e. B ( rank ` z ) C_ ( rank ` w ) } -> ( B i^i y ) = ( B i^i U_ x e. A { z e. B | A. w e. B ( rank ` z ) C_ ( rank ` w ) } ) )
10	9	neeq1d 2853	. . . . 5 |- ( y = U_ x e. A { z e. B | A. w e. B ( rank ` z ) C_ ( rank ` w ) } -> ( ( B i^i y ) =/= (/) <-> ( B i^i U_ x e. A { z e. B | A. w e. B ( rank ` z ) C_ ( rank ` w ) } ) =/= (/) ) )
11	10	imbi2d 330	. . . 4 |- ( y = U_ x e. A { z e. B | A. w e. B ( rank ` z ) C_ ( rank ` w ) } -> ( ( B =/= (/) -> ( B i^i y ) =/= (/) ) <-> ( B =/= (/) -> ( B i^i U_ x e. A { z e. B | A. w e. B ( rank ` z ) C_ ( rank ` w ) } ) =/= (/) ) ) )
12	8, 11	ralbid 2983	. . 3 |- ( y = U_ x e. A { z e. B | A. w e. B ( rank ` z ) C_ ( rank ` w ) } -> ( A. x e. A ( B =/= (/) -> ( B i^i y ) =/= (/) ) <-> A. x e. A ( B =/= (/) -> ( B i^i U_ x e. A { z e. B | A. w e. B ( rank ` z ) C_ ( rank ` w ) } ) =/= (/) ) ) )
13	6, 12	spcev 3300	. 2 |- ( A. x e. A ( B =/= (/) -> ( B i^i U_ x e. A { z e. B | A. w e. B ( rank ` z ) C_ ( rank ` w ) } ) =/= (/) ) -> E. y A. x e. A ( B =/= (/) -> ( B i^i y ) =/= (/) ) )
14	3, 13	ax-mp 5	1 |- E. y A. x e. A ( B =/= (/) -> ( B i^i y ) =/= (/) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U_ciun 4520   ` cfv 5888   rankcrnk 8626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-reg 8497  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-r1 8627  df-rank 8628

This theorem is referenced by:  cp  8754