Theorem cplem1 8752

Description: Lemma for the Collection Principle cp 8754. (Contributed by NM, 17-Oct-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
cplem1.1	|- C = { y e. B | A. z e. B ( rank ` y ) C_ ( rank ` z ) }
cplem1.2	|- D = U_ x e. A C

Assertion

Ref	Expression
cplem1	|- A. x e. A ( B =/= (/) -> ( B i^i D ) =/= (/) )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   y, B, z

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x, y, z)   D( x, y, z)

Proof of Theorem cplem1

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scott0 8749	. . . . . 6 |- ( B = (/) <-> { y e. B | A. z e. B ( rank ` y ) C_ ( rank ` z ) } = (/) )
2		cplem1.1	. . . . . . 7 |- C = { y e. B | A. z e. B ( rank ` y ) C_ ( rank ` z ) }
3	2	eqeq1i 2627	. . . . . 6 |- ( C = (/) <-> { y e. B | A. z e. B ( rank ` y ) C_ ( rank ` z ) } = (/) )
4	1, 3	bitr4i 267	. . . . 5 |- ( B = (/) <-> C = (/) )
5	4	necon3bii 2846	. . . 4 |- ( B =/= (/) <-> C =/= (/) )
6		n0 3931	. . . 4 |- ( C =/= (/) <-> E. w w e. C )
7	5, 6	bitri 264	. . 3 |- ( B =/= (/) <-> E. w w e. C )
8		ssrab2 3687	. . . . . . . . 9 |- { y e. B | A. z e. B ( rank ` y ) C_ ( rank ` z ) } C_ B
9	2, 8	eqsstri 3635	. . . . . . . 8 |- C C_ B
10	9	sseli 3599	. . . . . . 7 |- ( w e. C -> w e. B )
11	10	a1i 11	. . . . . 6 |- ( x e. A -> ( w e. C -> w e. B ) )
12		ssiun2 4563	. . . . . . . 8 |- ( x e. A -> C C_ U_ x e. A C )
13		cplem1.2	. . . . . . . 8 |- D = U_ x e. A C
14	12, 13	syl6sseqr 3652	. . . . . . 7 |- ( x e. A -> C C_ D )
15	14	sseld 3602	. . . . . 6 |- ( x e. A -> ( w e. C -> w e. D ) )
16	11, 15	jcad 555	. . . . 5 |- ( x e. A -> ( w e. C -> ( w e. B /\ w e. D ) ) )
17		inelcm 4032	. . . . 5 |- ( ( w e. B /\ w e. D ) -> ( B i^i D ) =/= (/) )
18	16, 17	syl6 35	. . . 4 |- ( x e. A -> ( w e. C -> ( B i^i D ) =/= (/) ) )
19	18	exlimdv 1861	. . 3 |- ( x e. A -> ( E. w w e. C -> ( B i^i D ) =/= (/) ) )
20	7, 19	syl5bi 232	. 2 |- ( x e. A -> ( B =/= (/) -> ( B i^i D ) =/= (/) ) )
21	20	rgen 2922	1 |- A. x e. A ( B =/= (/) -> ( B i^i D ) =/= (/) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   {crab 2916   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U_ciun 4520   ` cfv 5888   rankcrnk 8626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-r1 8627  df-rank 8628

This theorem is referenced by:  cplem2  8753