Theorem atcvat4i 29256

Description: A condition implying existence of an atom with the properties shown. Lemma 3.2.20 of [PtakPulmannova] p. 68. (Contributed by NM, 2-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
atcvat3.1	|- A e. CH

Assertion

Ref	Expression
atcvat4i	|- ( ( B e. HAtoms /\ C e. HAtoms ) -> ( ( A =/= 0H /\ B C_ ( A vH C ) ) -> E. x e. HAtoms ( x C_ A /\ B C_ ( C vH x ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, C

Proof of Theorem atcvat4i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atcvat3.1	. . . . . . . . 9 |- A e. CH
2	1	hatomici 29218	. . . . . . . 8 |- ( A =/= 0H -> E. x e. HAtoms x C_ A )
3		atelch 29203	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( C e. HAtoms -> C e. CH )
4		atelch 29203	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. HAtoms -> x e. CH )
5		chub1 28366	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( C e. CH /\ x e. CH ) -> C C_ ( C vH x ) )
6	3, 4, 5	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( C e. HAtoms /\ x e. HAtoms ) -> C C_ ( C vH x ) )
7		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B = C -> ( B C_ ( C vH x ) <-> C C_ ( C vH x ) ) )
8	6, 7	syl5ibr 236	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B = C -> ( ( C e. HAtoms /\ x e. HAtoms ) -> B C_ ( C vH x ) ) )
9	8	expd 452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B = C -> ( C e. HAtoms -> ( x e. HAtoms -> B C_ ( C vH x ) ) ) )
10	9	impcom 446	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. HAtoms /\ B = C ) -> ( x e. HAtoms -> B C_ ( C vH x ) ) )
11	10	anim2d 589	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. HAtoms /\ B = C ) -> ( ( x C_ A /\ x e. HAtoms ) -> ( x C_ A /\ B C_ ( C vH x ) ) ) )
12	11	expcomd 454	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. HAtoms /\ B = C ) -> ( x e. HAtoms -> ( x C_ A -> ( x C_ A /\ B C_ ( C vH x ) ) ) ) )
13	12	reximdvai 3015	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. HAtoms /\ B = C ) -> ( E. x e. HAtoms x C_ A -> E. x e. HAtoms ( x C_ A /\ B C_ ( C vH x ) ) ) )
14	2, 13	syl5 34	. . . . . . 7 |- ( ( C e. HAtoms /\ B = C ) -> ( A =/= 0H -> E. x e. HAtoms ( x C_ A /\ B C_ ( C vH x ) ) ) )
15	14	ex 450	. . . . . 6 |- ( C e. HAtoms -> ( B = C -> ( A =/= 0H -> E. x e. HAtoms ( x C_ A /\ B C_ ( C vH x ) ) ) ) )
16	15	a1i 11	. . . . 5 |- ( B C_ ( A vH C ) -> ( C e. HAtoms -> ( B = C -> ( A =/= 0H -> E. x e. HAtoms ( x C_ A /\ B C_ ( C vH x ) ) ) ) ) )
17	16	com4l 92	. . . 4 |- ( C e. HAtoms -> ( B = C -> ( A =/= 0H -> ( B C_ ( A vH C ) -> E. x e. HAtoms ( x C_ A /\ B C_ ( C vH x ) ) ) ) ) )
18	17	imp4a 614	. . 3 |- ( C e. HAtoms -> ( B = C -> ( ( A =/= 0H /\ B C_ ( A vH C ) ) -> E. x e. HAtoms ( x C_ A /\ B C_ ( C vH x ) ) ) ) )
19	18	adantl 482	. 2 |- ( ( B e. HAtoms /\ C e. HAtoms ) -> ( B = C -> ( ( A =/= 0H /\ B C_ ( A vH C ) ) -> E. x e. HAtoms ( x C_ A /\ B C_ ( C vH x ) ) ) ) )
20		atelch 29203	. . . . . . . 8 |- ( B e. HAtoms -> B e. CH )
21		chlejb2 28372	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( C e. CH /\ A e. CH ) -> ( C C_ A <-> ( A vH C ) = A ) )
22	1, 21	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( C e. CH -> ( C C_ A <-> ( A vH C ) = A ) )
23	22	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. CH /\ C C_ A ) -> ( A vH C ) = A )
24	23	sseq2d 3633	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. CH /\ C C_ A ) -> ( B C_ ( A vH C ) <-> B C_ A ) )
25	24	biimpa 501	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( C e. CH /\ C C_ A ) /\ B C_ ( A vH C ) ) -> B C_ A )
26	25	expl 648	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. CH -> ( ( C C_ A /\ B C_ ( A vH C ) ) -> B C_ A ) )
27	26	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. CH /\ C e. CH ) -> ( ( C C_ A /\ B C_ ( A vH C ) ) -> B C_ A ) )
28		chub2 28367	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. CH /\ C e. CH ) -> B C_ ( C vH B ) )
29	27, 28	jctird 567	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. CH /\ C e. CH ) -> ( ( C C_ A /\ B C_ ( A vH C ) ) -> ( B C_ A /\ B C_ ( C vH B ) ) ) )
30	20, 3, 29	syl2an 494	. . . . . . 7 |- ( ( B e. HAtoms /\ C e. HAtoms ) -> ( ( C C_ A /\ B C_ ( A vH C ) ) -> ( B C_ A /\ B C_ ( C vH B ) ) ) )
31		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( B e. HAtoms /\ C e. HAtoms ) -> B e. HAtoms )
32	30, 31	jctild 566	. . . . . 6 |- ( ( B e. HAtoms /\ C e. HAtoms ) -> ( ( C C_ A /\ B C_ ( A vH C ) ) -> ( B e. HAtoms /\ ( B C_ A /\ B C_ ( C vH B ) ) ) ) )
33	32	impl 650	. . . . 5 |- ( ( ( ( B e. HAtoms /\ C e. HAtoms ) /\ C C_ A ) /\ B C_ ( A vH C ) ) -> ( B e. HAtoms /\ ( B C_ A /\ B C_ ( C vH B ) ) ) )
34		sseq1 3626	. . . . . . 7 |- ( x = B -> ( x C_ A <-> B C_ A ) )
35		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( x = B -> ( C vH x ) = ( C vH B ) )
36	35	sseq2d 3633	. . . . . . 7 |- ( x = B -> ( B C_ ( C vH x ) <-> B C_ ( C vH B ) ) )
37	34, 36	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( x = B -> ( ( x C_ A /\ B C_ ( C vH x ) ) <-> ( B C_ A /\ B C_ ( C vH B ) ) ) )
38	37	rspcev 3309	. . . . 5 |- ( ( B e. HAtoms /\ ( B C_ A /\ B C_ ( C vH B ) ) ) -> E. x e. HAtoms ( x C_ A /\ B C_ ( C vH x ) ) )
39	33, 38	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( ( B e. HAtoms /\ C e. HAtoms ) /\ C C_ A ) /\ B C_ ( A vH C ) ) -> E. x e. HAtoms ( x C_ A /\ B C_ ( C vH x ) ) )
40	39	adantrl 752	. . 3 |- ( ( ( ( B e. HAtoms /\ C e. HAtoms ) /\ C C_ A ) /\ ( A =/= 0H /\ B C_ ( A vH C ) ) ) -> E. x e. HAtoms ( x C_ A /\ B C_ ( C vH x ) ) )
41	40	exp31 630	. 2 |- ( ( B e. HAtoms /\ C e. HAtoms ) -> ( C C_ A -> ( ( A =/= 0H /\ B C_ ( A vH C ) ) -> E. x e. HAtoms ( x C_ A /\ B C_ ( C vH x ) ) ) ) )
42		simpr 477	. . 3 |- ( ( A =/= 0H /\ B C_ ( A vH C ) ) -> B C_ ( A vH C ) )
43		ioran 511	. . . 4 |- ( -. ( B = C \/ C C_ A ) <-> ( -. B = C /\ -. C C_ A ) )
44	1	atcvat3i 29255	. . . . . . 7 |- ( ( B e. HAtoms /\ C e. HAtoms ) -> ( ( ( -. B = C /\ -. C C_ A ) /\ B C_ ( A vH C ) ) -> ( A i^i ( B vH C ) ) e. HAtoms ) )
45	3	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. HAtoms /\ C e. HAtoms ) /\ ( ( -. B = C /\ -. C C_ A ) /\ B C_ ( A vH C ) ) ) -> C e. CH )
46	44	imp 445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. HAtoms /\ C e. HAtoms ) /\ ( ( -. B = C /\ -. C C_ A ) /\ B C_ ( A vH C ) ) ) -> ( A i^i ( B vH C ) ) e. HAtoms )
47		simpll 790	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. HAtoms /\ C e. HAtoms ) /\ ( ( -. B = C /\ -. C C_ A ) /\ B C_ ( A vH C ) ) ) -> B e. HAtoms )
48	45, 46, 47	3jca 1242	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. HAtoms /\ C e. HAtoms ) /\ ( ( -. B = C /\ -. C C_ A ) /\ B C_ ( A vH C ) ) ) -> ( C e. CH /\ ( A i^i ( B vH C ) ) e. HAtoms /\ B e. HAtoms ) )
49		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A i^i ( B vH C ) ) C_ ( B vH C )
50		chjcom 28365	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. CH /\ C e. CH ) -> ( B vH C ) = ( C vH B ) )
51	20, 3, 50	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. HAtoms /\ C e. HAtoms ) -> ( B vH C ) = ( C vH B ) )
52	49, 51	syl5sseq 3653	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. HAtoms /\ C e. HAtoms ) -> ( A i^i ( B vH C ) ) C_ ( C vH B ) )
53	52	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. HAtoms /\ C e. HAtoms ) /\ ( ( -. B = C /\ -. C C_ A ) /\ B C_ ( A vH C ) ) ) -> ( A i^i ( B vH C ) ) C_ ( C vH B ) )
54		atnssm0 29235	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. CH /\ C e. HAtoms ) -> ( -. C C_ A <-> ( A i^i C ) = 0H ) )
55	1, 54	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( C e. HAtoms -> ( -. C C_ A <-> ( A i^i C ) = 0H ) )
56	55	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. HAtoms /\ C e. HAtoms ) -> ( -. C C_ A <-> ( A i^i C ) = 0H ) )
57		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A i^i ( B vH C ) ) C_ A
58		sslin 3839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A i^i ( B vH C ) ) C_ A -> ( C i^i ( A i^i ( B vH C ) ) ) C_ ( C i^i A ) )
59	57, 58	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( C i^i ( A i^i ( B vH C ) ) ) C_ ( C i^i A )
60		incom 3805	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( C i^i A ) = ( A i^i C )
61	59, 60	sseqtri 3637	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( C i^i ( A i^i ( B vH C ) ) ) C_ ( A i^i C )
62		sseq2 3627	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A i^i C ) = 0H -> ( ( C i^i ( A i^i ( B vH C ) ) ) C_ ( A i^i C ) <-> ( C i^i ( A i^i ( B vH C ) ) ) C_ 0H ) )
63	61, 62	mpbii 223	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A i^i C ) = 0H -> ( C i^i ( A i^i ( B vH C ) ) ) C_ 0H )
64		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( B e. CH /\ C e. CH ) -> C e. CH )
65		chjcl 28216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( B e. CH /\ C e. CH ) -> ( B vH C ) e. CH )
66		chincl 28358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A e. CH /\ ( B vH C ) e. CH ) -> ( A i^i ( B vH C ) ) e. CH )
67	1, 65, 66	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( B e. CH /\ C e. CH ) -> ( A i^i ( B vH C ) ) e. CH )
68		chincl 28358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( C e. CH /\ ( A i^i ( B vH C ) ) e. CH ) -> ( C i^i ( A i^i ( B vH C ) ) ) e. CH )
69	64, 67, 68	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( B e. CH /\ C e. CH ) -> ( C i^i ( A i^i ( B vH C ) ) ) e. CH )
70	20, 3, 69	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( B e. HAtoms /\ C e. HAtoms ) -> ( C i^i ( A i^i ( B vH C ) ) ) e. CH )
71		chle0 28302	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( C i^i ( A i^i ( B vH C ) ) ) e. CH -> ( ( C i^i ( A i^i ( B vH C ) ) ) C_ 0H <-> ( C i^i ( A i^i ( B vH C ) ) ) = 0H ) )
72	70, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( B e. HAtoms /\ C e. HAtoms ) -> ( ( C i^i ( A i^i ( B vH C ) ) ) C_ 0H <-> ( C i^i ( A i^i ( B vH C ) ) ) = 0H ) )
73	63, 72	syl5ib 234	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. HAtoms /\ C e. HAtoms ) -> ( ( A i^i C ) = 0H -> ( C i^i ( A i^i ( B vH C ) ) ) = 0H ) )
74	56, 73	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. HAtoms /\ C e. HAtoms ) -> ( -. C C_ A -> ( C i^i ( A i^i ( B vH C ) ) ) = 0H ) )
75	74	imp 445	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B e. HAtoms /\ C e. HAtoms ) /\ -. C C_ A ) -> ( C i^i ( A i^i ( B vH C ) ) ) = 0H )
76	75	adantrl 752	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B e. HAtoms /\ C e. HAtoms ) /\ ( -. B = C /\ -. C C_ A ) ) -> ( C i^i ( A i^i ( B vH C ) ) ) = 0H )
77	76	adantrr 753	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. HAtoms /\ C e. HAtoms ) /\ ( ( -. B = C /\ -. C C_ A ) /\ B C_ ( A vH C ) ) ) -> ( C i^i ( A i^i ( B vH C ) ) ) = 0H )
78	53, 77	jca 554	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. HAtoms /\ C e. HAtoms ) /\ ( ( -. B = C /\ -. C C_ A ) /\ B C_ ( A vH C ) ) ) -> ( ( A i^i ( B vH C ) ) C_ ( C vH B ) /\ ( C i^i ( A i^i ( B vH C ) ) ) = 0H ) )
79		atexch 29240	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. CH /\ ( A i^i ( B vH C ) ) e. HAtoms /\ B e. HAtoms ) -> ( ( ( A i^i ( B vH C ) ) C_ ( C vH B ) /\ ( C i^i ( A i^i ( B vH C ) ) ) = 0H ) -> B C_ ( C vH ( A i^i ( B vH C ) ) ) ) )
80	48, 78, 79	sylc 65	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. HAtoms /\ C e. HAtoms ) /\ ( ( -. B = C /\ -. C C_ A ) /\ B C_ ( A vH C ) ) ) -> B C_ ( C vH ( A i^i ( B vH C ) ) ) )
81	80, 57	jctil 560	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. HAtoms /\ C e. HAtoms ) /\ ( ( -. B = C /\ -. C C_ A ) /\ B C_ ( A vH C ) ) ) -> ( ( A i^i ( B vH C ) ) C_ A /\ B C_ ( C vH ( A i^i ( B vH C ) ) ) ) )
82	81	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( B e. HAtoms /\ C e. HAtoms ) -> ( ( ( -. B = C /\ -. C C_ A ) /\ B C_ ( A vH C ) ) -> ( ( A i^i ( B vH C ) ) C_ A /\ B C_ ( C vH ( A i^i ( B vH C ) ) ) ) ) )
83	44, 82	jcad 555	. . . . . 6 |- ( ( B e. HAtoms /\ C e. HAtoms ) -> ( ( ( -. B = C /\ -. C C_ A ) /\ B C_ ( A vH C ) ) -> ( ( A i^i ( B vH C ) ) e. HAtoms /\ ( ( A i^i ( B vH C ) ) C_ A /\ B C_ ( C vH ( A i^i ( B vH C ) ) ) ) ) ) )
84		sseq1 3626	. . . . . . . 8 |- ( x = ( A i^i ( B vH C ) ) -> ( x C_ A <-> ( A i^i ( B vH C ) ) C_ A ) )
85		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( A i^i ( B vH C ) ) -> ( C vH x ) = ( C vH ( A i^i ( B vH C ) ) ) )
86	85	sseq2d 3633	. . . . . . . 8 |- ( x = ( A i^i ( B vH C ) ) -> ( B C_ ( C vH x ) <-> B C_ ( C vH ( A i^i ( B vH C ) ) ) ) )
87	84, 86	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( x = ( A i^i ( B vH C ) ) -> ( ( x C_ A /\ B C_ ( C vH x ) ) <-> ( ( A i^i ( B vH C ) ) C_ A /\ B C_ ( C vH ( A i^i ( B vH C ) ) ) ) ) )
88	87	rspcev 3309	. . . . . 6 |- ( ( ( A i^i ( B vH C ) ) e. HAtoms /\ ( ( A i^i ( B vH C ) ) C_ A /\ B C_ ( C vH ( A i^i ( B vH C ) ) ) ) ) -> E. x e. HAtoms ( x C_ A /\ B C_ ( C vH x ) ) )
89	83, 88	syl6 35	. . . . 5 |- ( ( B e. HAtoms /\ C e. HAtoms ) -> ( ( ( -. B = C /\ -. C C_ A ) /\ B C_ ( A vH C ) ) -> E. x e. HAtoms ( x C_ A /\ B C_ ( C vH x ) ) ) )
90	89	expd 452	. . . 4 |- ( ( B e. HAtoms /\ C e. HAtoms ) -> ( ( -. B = C /\ -. C C_ A ) -> ( B C_ ( A vH C ) -> E. x e. HAtoms ( x C_ A /\ B C_ ( C vH x ) ) ) ) )
91	43, 90	syl5bi 232	. . 3 |- ( ( B e. HAtoms /\ C e. HAtoms ) -> ( -. ( B = C \/ C C_ A ) -> ( B C_ ( A vH C ) -> E. x e. HAtoms ( x C_ A /\ B C_ ( C vH x ) ) ) ) )
92	42, 91	syl7 74	. 2 |- ( ( B e. HAtoms /\ C e. HAtoms ) -> ( -. ( B = C \/ C C_ A ) -> ( ( A =/= 0H /\ B C_ ( A vH C ) ) -> E. x e. HAtoms ( x C_ A /\ B C_ ( C vH x ) ) ) ) )
93	19, 41, 92	ecase3d 984	1 |- ( ( B e. HAtoms /\ C e. HAtoms ) -> ( ( A =/= 0H /\ B C_ ( A vH C ) ) -> E. x e. HAtoms ( x C_ A /\ B C_ ( C vH x ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574  (class class class)co 6650   CHcch 27786   vH chj 27790   0Hc0h 27792  HAtomscat 27822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hvcom 27858  ax-hvass 27859  ax-hv0cl 27860  ax-hvaddid 27861  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulid 27863  ax-hvmulass 27864  ax-hvdistr1 27865  ax-hvdistr2 27866  ax-hvmul0 27867  ax-hfi 27936  ax-his1 27939  ax-his2 27940  ax-his3 27941  ax-his4 27942  ax-hcompl 28059

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-lm 21033  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cfil 23053  df-cau 23054  df-cmet 23055  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-gdiv 27350  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-vs 27454  df-nmcv 27455  df-ims 27456  df-dip 27556  df-ssp 27577  df-ph 27668  df-cbn 27719  df-hnorm 27825  df-hba 27826  df-hvsub 27828  df-hlim 27829  df-hcau 27830  df-sh 28064  df-ch 28078  df-oc 28109  df-ch0 28110  df-shs 28167  df-span 28168  df-chj 28169  df-chsup 28170  df-pjh 28254  df-cv 29138  df-at 29197

This theorem is referenced by:  mdsymlem3  29264