Theorem dfnn3 11034

Description: Alternate definition of the set of positive integers. Definition of positive integers in [Apostol] p. 22. (Contributed by NM, 3-Jul-2005.)

Assertion

Ref	Expression
dfnn3	|- NN = |^| { x | ( x C_ RR /\ 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem dfnn3

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 2690	. . . 4 |- ( x = z -> ( 1 e. x <-> 1 e. z ) )
2		eleq2 2690	. . . . 5 |- ( x = z -> ( ( y + 1 ) e. x <-> ( y + 1 ) e. z ) )
3	2	raleqbi1dv 3146	. . . 4 |- ( x = z -> ( A. y e. x ( y + 1 ) e. x <-> A. y e. z ( y + 1 ) e. z ) )
4	1, 3	anbi12d 747	. . 3 |- ( x = z -> ( ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) <-> ( 1 e. z /\ A. y e. z ( y + 1 ) e. z ) ) )
5		dfnn2 11033	. . . . 5 |- NN = |^| { z | ( 1 e. z /\ A. y e. z ( y + 1 ) e. z ) }
6	5	eqeq2i 2634	. . . 4 |- ( x = NN <-> x = |^| { z | ( 1 e. z /\ A. y e. z ( y + 1 ) e. z ) } )
7		eleq2 2690	. . . . 5 |- ( x = NN -> ( 1 e. x <-> 1 e. NN ) )
8		eleq2 2690	. . . . . 6 |- ( x = NN -> ( ( y + 1 ) e. x <-> ( y + 1 ) e. NN ) )
9	8	raleqbi1dv 3146	. . . . 5 |- ( x = NN -> ( A. y e. x ( y + 1 ) e. x <-> A. y e. NN ( y + 1 ) e. NN ) )
10	7, 9	anbi12d 747	. . . 4 |- ( x = NN -> ( ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) <-> ( 1 e. NN /\ A. y e. NN ( y + 1 ) e. NN ) ) )
11	6, 10	sylbir 225	. . 3 |- ( x = |^| { z | ( 1 e. z /\ A. y e. z ( y + 1 ) e. z ) } -> ( ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) <-> ( 1 e. NN /\ A. y e. NN ( y + 1 ) e. NN ) ) )
12		nnssre 11024	. . . . 5 |- NN C_ RR
13	5, 12	eqsstr3i 3636	. . . 4 |- |^| { z | ( 1 e. z /\ A. y e. z ( y + 1 ) e. z ) } C_ RR
14		1nn 11031	. . . . 5 |- 1 e. NN
15		peano2nn 11032	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> ( y + 1 ) e. NN )
16	15	rgen 2922	. . . . 5 |- A. y e. NN ( y + 1 ) e. NN
17	14, 16	pm3.2i 471	. . . 4 |- ( 1 e. NN /\ A. y e. NN ( y + 1 ) e. NN )
18	13, 17	pm3.2i 471	. . 3 |- ( |^| { z | ( 1 e. z /\ A. y e. z ( y + 1 ) e. z ) } C_ RR /\ ( 1 e. NN /\ A. y e. NN ( y + 1 ) e. NN ) )
19	4, 11, 18	intabs 4825	. 2 |- |^| { x | ( x C_ RR /\ ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) ) } = |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }
20		3anass 1042	. . . 4 |- ( ( x C_ RR /\ 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) <-> ( x C_ RR /\ ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) ) )
21	20	abbii 2739	. . 3 |- { x | ( x C_ RR /\ 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } = { x | ( x C_ RR /\ ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) ) }
22	21	inteqi 4479	. 2 |- |^| { x | ( x C_ RR /\ 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } = |^| { x | ( x C_ RR /\ ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) ) }
23		dfnn2 11033	. 2 |- NN = |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }
24	19, 22, 23	3eqtr4ri 2655	1 |- NN = |^| { x | ( x C_ RR /\ 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   C_ wss 3574   |^|cint 4475  (class class class)co 6650   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   NNcn 11020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-nn 11021

This theorem is referenced by: (None)