Theorem dfnn2 11033

Description: Alternate definition of the set of positive integers. This was our original definition, before the current df-nn 11021 replaced it. This definition requires the axiom of infinity to ensure it has the properties we expect. (Contributed by Jeff Hankins, 12-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dfnn2	|- NN = |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem dfnn2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ex 10035	. . . . 5 |- 1 e. _V
2	1	elintab 4487	. . . 4 |- ( 1 e. |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } <-> A. x ( ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) -> 1 e. x ) )
3		simpl 473	. . . 4 |- ( ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) -> 1 e. x )
4	2, 3	mpgbir 1726	. . 3 |- 1 e. |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }
5		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( y = z -> ( y + 1 ) = ( z + 1 ) )
6	5	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( y = z -> ( ( y + 1 ) e. x <-> ( z + 1 ) e. x ) )
7	6	rspccv 3306	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. x ( y + 1 ) e. x -> ( z e. x -> ( z + 1 ) e. x ) )
8	7	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) -> ( z e. x -> ( z + 1 ) e. x ) )
9	8	a2i 14	. . . . . 6 |- ( ( ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) -> z e. x ) -> ( ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) -> ( z + 1 ) e. x ) )
10	9	alimi 1739	. . . . 5 |- ( A. x ( ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) -> z e. x ) -> A. x ( ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) -> ( z + 1 ) e. x ) )
11		vex 3203	. . . . . 6 |- z e. _V
12	11	elintab 4487	. . . . 5 |- ( z e. |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } <-> A. x ( ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) -> z e. x ) )
13		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( z + 1 ) e. _V
14	13	elintab 4487	. . . . 5 |- ( ( z + 1 ) e. |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } <-> A. x ( ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) -> ( z + 1 ) e. x ) )
15	10, 12, 14	3imtr4i 281	. . . 4 |- ( z e. |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } -> ( z + 1 ) e. |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } )
16	15	rgen 2922	. . 3 |- A. z e. |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } ( z + 1 ) e. |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }
17		peano5nni 11023	. . 3 |- ( ( 1 e. |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } /\ A. z e. |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } ( z + 1 ) e. |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } ) -> NN C_ |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } )
18	4, 16, 17	mp2an 708	. 2 |- NN C_ |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }
19		1nn 11031	. . . 4 |- 1 e. NN
20		peano2nn 11032	. . . . 5 |- ( y e. NN -> ( y + 1 ) e. NN )
21	20	rgen 2922	. . . 4 |- A. y e. NN ( y + 1 ) e. NN
22		nnex 11026	. . . . 5 |- NN e. _V
23		eleq2 2690	. . . . . 6 |- ( x = NN -> ( 1 e. x <-> 1 e. NN ) )
24		eleq2 2690	. . . . . . 7 |- ( x = NN -> ( ( y + 1 ) e. x <-> ( y + 1 ) e. NN ) )
25	24	raleqbi1dv 3146	. . . . . 6 |- ( x = NN -> ( A. y e. x ( y + 1 ) e. x <-> A. y e. NN ( y + 1 ) e. NN ) )
26	23, 25	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( x = NN -> ( ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) <-> ( 1 e. NN /\ A. y e. NN ( y + 1 ) e. NN ) ) )
27	22, 26	elab 3350	. . . 4 |- ( NN e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } <-> ( 1 e. NN /\ A. y e. NN ( y + 1 ) e. NN ) )
28	19, 21, 27	mpbir2an 955	. . 3 |- NN e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }
29		intss1 4492	. . 3 |- ( NN e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } -> |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } C_ NN )
30	28, 29	ax-mp 5	. 2 |- |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } C_ NN
31	18, 30	eqssi 3619	1 |- NN = |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   C_ wss 3574   |^|cint 4475  (class class class)co 6650   1c1 9937   + caddc 9939   NNcn 11020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-nn 11021

This theorem is referenced by:  dfnn3  11034