Theorem dfon3 31999

Description: A quantifier-free definition of On. (Contributed by Scott Fenton, 5-Apr-2012.)

Assertion

Ref	Expression
dfon3	|- On = ( _V \ ran ( ( SSet i^i ( Trans X. _V ) ) \ ( _I u. _E ) ) )

Proof of Theorem dfon3

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfon2 31697	. 2 |- On = { x | A. y ( ( y C. x /\ Tr y ) -> y e. x ) }
2		abeq1 2733	. . 3 |- ( { x | A. y ( ( y C. x /\ Tr y ) -> y e. x ) } = ( _V \ ran ( ( SSet i^i ( Trans X. _V ) ) \ ( _I u. _E ) ) ) <-> A. x ( A. y ( ( y C. x /\ Tr y ) -> y e. x ) <-> x e. ( _V \ ran ( ( SSet i^i ( Trans X. _V ) ) \ ( _I u. _E ) ) ) ) )
3		vex 3203	. . . . . . 7 |- x e. _V
4	3	elrn 5366	. . . . . 6 |- ( x e. ran ( ( SSet i^i ( Trans X. _V ) ) \ ( _I u. _E ) ) <-> E. y y ( ( SSet i^i ( Trans X. _V ) ) \ ( _I u. _E ) ) x )
5		brin 4704	. . . . . . . . . . 11 |- ( y ( SSet i^i ( Trans X. _V ) ) x <-> ( y SSet x /\ y ( Trans X. _V ) x ) )
6	3	brsset 31996	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y SSet x <-> y C_ x )
7		brxp 5147	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y ( Trans X. _V ) x <-> ( y e. Trans /\ x e. _V ) )
8	3, 7	mpbiran2 954	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y ( Trans X. _V ) x <-> y e. Trans )
9		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- y e. _V
10	9	eltrans 31998	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. Trans <-> Tr y )
11	8, 10	bitri 264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y ( Trans X. _V ) x <-> Tr y )
12	6, 11	anbi12i 733	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y SSet x /\ y ( Trans X. _V ) x ) <-> ( y C_ x /\ Tr y ) )
13	5, 12	bitri 264	. . . . . . . . . 10 |- ( y ( SSet i^i ( Trans X. _V ) ) x <-> ( y C_ x /\ Tr y ) )
14		ioran 511	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( y = x \/ y e. x ) <-> ( -. y = x /\ -. y e. x ) )
15		brun 4703	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y ( _I u. _E ) x <-> ( y _I x \/ y _E x ) )
16	3	ideq 5274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y _I x <-> y = x )
17		epel 5032	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y _E x <-> y e. x )
18	16, 17	orbi12i 543	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y _I x \/ y _E x ) <-> ( y = x \/ y e. x ) )
19	15, 18	bitri 264	. . . . . . . . . . 11 |- ( y ( _I u. _E ) x <-> ( y = x \/ y e. x ) )
20	14, 19	xchnxbir 323	. . . . . . . . . 10 |- ( -. y ( _I u. _E ) x <-> ( -. y = x /\ -. y e. x ) )
21	13, 20	anbi12i 733	. . . . . . . . 9 |- ( ( y ( SSet i^i ( Trans X. _V ) ) x /\ -. y ( _I u. _E ) x ) <-> ( ( y C_ x /\ Tr y ) /\ ( -. y = x /\ -. y e. x ) ) )
22		brdif 4705	. . . . . . . . 9 |- ( y ( ( SSet i^i ( Trans X. _V ) ) \ ( _I u. _E ) ) x <-> ( y ( SSet i^i ( Trans X. _V ) ) x /\ -. y ( _I u. _E ) x ) )
23		dfpss2 3692	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y C. x <-> ( y C_ x /\ -. y = x ) )
24	23	anbi1i 731	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y C. x /\ Tr y ) <-> ( ( y C_ x /\ -. y = x ) /\ Tr y ) )
25		an32 839	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y C_ x /\ -. y = x ) /\ Tr y ) <-> ( ( y C_ x /\ Tr y ) /\ -. y = x ) )
26	24, 25	bitri 264	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y C. x /\ Tr y ) <-> ( ( y C_ x /\ Tr y ) /\ -. y = x ) )
27	26	anbi1i 731	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y C. x /\ Tr y ) /\ -. y e. x ) <-> ( ( ( y C_ x /\ Tr y ) /\ -. y = x ) /\ -. y e. x ) )
28		anass 681	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( y C_ x /\ Tr y ) /\ -. y = x ) /\ -. y e. x ) <-> ( ( y C_ x /\ Tr y ) /\ ( -. y = x /\ -. y e. x ) ) )
29	27, 28	bitri 264	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y C. x /\ Tr y ) /\ -. y e. x ) <-> ( ( y C_ x /\ Tr y ) /\ ( -. y = x /\ -. y e. x ) ) )
30	21, 22, 29	3bitr4i 292	. . . . . . . 8 |- ( y ( ( SSet i^i ( Trans X. _V ) ) \ ( _I u. _E ) ) x <-> ( ( y C. x /\ Tr y ) /\ -. y e. x ) )
31	30	exbii 1774	. . . . . . 7 |- ( E. y y ( ( SSet i^i ( Trans X. _V ) ) \ ( _I u. _E ) ) x <-> E. y ( ( y C. x /\ Tr y ) /\ -. y e. x ) )
32		exanali 1786	. . . . . . 7 |- ( E. y ( ( y C. x /\ Tr y ) /\ -. y e. x ) <-> -. A. y ( ( y C. x /\ Tr y ) -> y e. x ) )
33	31, 32	bitri 264	. . . . . 6 |- ( E. y y ( ( SSet i^i ( Trans X. _V ) ) \ ( _I u. _E ) ) x <-> -. A. y ( ( y C. x /\ Tr y ) -> y e. x ) )
34	4, 33	bitri 264	. . . . 5 |- ( x e. ran ( ( SSet i^i ( Trans X. _V ) ) \ ( _I u. _E ) ) <-> -. A. y ( ( y C. x /\ Tr y ) -> y e. x ) )
35	34	con2bii 347	. . . 4 |- ( A. y ( ( y C. x /\ Tr y ) -> y e. x ) <-> -. x e. ran ( ( SSet i^i ( Trans X. _V ) ) \ ( _I u. _E ) ) )
36		eldif 3584	. . . . 5 |- ( x e. ( _V \ ran ( ( SSet i^i ( Trans X. _V ) ) \ ( _I u. _E ) ) ) <-> ( x e. _V /\ -. x e. ran ( ( SSet i^i ( Trans X. _V ) ) \ ( _I u. _E ) ) ) )
37	3, 36	mpbiran 953	. . . 4 |- ( x e. ( _V \ ran ( ( SSet i^i ( Trans X. _V ) ) \ ( _I u. _E ) ) ) <-> -. x e. ran ( ( SSet i^i ( Trans X. _V ) ) \ ( _I u. _E ) ) )
38	35, 37	bitr4i 267	. . 3 |- ( A. y ( ( y C. x /\ Tr y ) -> y e. x ) <-> x e. ( _V \ ran ( ( SSet i^i ( Trans X. _V ) ) \ ( _I u. _E ) ) ) )
39	2, 38	mpgbir 1726	. 2 |- { x | A. y ( ( y C. x /\ Tr y ) -> y e. x ) } = ( _V \ ran ( ( SSet i^i ( Trans X. _V ) ) \ ( _I u. _E ) ) )
40	1, 39	eqtri 2644	1 |- On = ( _V \ ran ( ( SSet i^i ( Trans X. _V ) ) \ ( _I u. _E ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   C. wpss 3575   class class class wbr 4653   Tr wtr 4752   _I cid 5023   _E cep 5028   X. cxp 5112   ran crn 5115   Oncon0 5723   SSetcsset 31939   Transctrans 31940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fo 5894  df-fv 5896  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-txp 31961  df-sset 31963  df-trans 31964

This theorem is referenced by:  dfon4  32000