Theorem divrngidl 33827

Description: The only ideals in a division ring are the zero ideal and the unit ideal. (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
divrngidl.1	|- G = ( 1st ` R )
divrngidl.2	|- H = ( 2nd ` R )
divrngidl.3	|- X = ran G
divrngidl.4	|- Z = (GId ` G )

Assertion

Ref	Expression
divrngidl	|- ( R e. DivRingOps -> ( Idl ` R ) = { { Z } , X } )

Proof of Theorem divrngidl

Dummy variables i x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divrngidl.1	. . 3 |- G = ( 1st ` R )
2		divrngidl.2	. . 3 |- H = ( 2nd ` R )
3		divrngidl.4	. . 3 |- Z = (GId ` G )
4		divrngidl.3	. . 3 |- X = ran G
5		eqid 2622	. . 3 |- (GId ` H ) = (GId ` H )
6	1, 2, 3, 4, 5	isdrngo2 33757	. 2 |- ( R e. DivRingOps <-> ( R e. RingOps /\ ( (GId ` H ) =/= Z /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) ) )
7	1, 3	idl0cl 33817	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) -> Z e. i )
8	7	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) -> Z e. i )
9		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (GId ` G ) e. _V
10	3, 9	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . . . 13 |- Z e. _V
11	10	snss 4316	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Z e. i <-> { Z } C_ i )
12		necom 2847	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i =/= { Z } <-> { Z } =/= i )
13		pssdifn0 3944	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( { Z } C_ i /\ { Z } =/= i ) -> ( i \ { Z } ) =/= (/) )
14		n0 3931	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( i \ { Z } ) =/= (/) <-> E. z z e. ( i \ { Z } ) )
15	13, 14	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { Z } C_ i /\ { Z } =/= i ) -> E. z z e. ( i \ { Z } ) )
16	11, 12, 15	syl2anb 496	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Z e. i /\ i =/= { Z } ) -> E. z z e. ( i \ { Z } ) )
17	1, 4	idlss 33815	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) -> i C_ X )
18		ssdif 3745	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i C_ X -> ( i \ { Z } ) C_ ( X \ { Z } ) )
19	18	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i C_ X /\ z e. ( i \ { Z } ) ) -> z e. ( X \ { Z } ) )
20	17, 19	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) /\ z e. ( i \ { Z } ) ) -> z e. ( X \ { Z } ) )
21		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = z -> ( y H x ) = ( y H z ) )
22	21	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = z -> ( ( y H x ) = (GId ` H ) <-> ( y H z ) = (GId ` H ) ) )
23	22	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = z -> ( E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) <-> E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H z ) = (GId ` H ) ) )
24	23	rspcva 3307	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. ( X \ { Z } ) /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) -> E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H z ) = (GId ` H ) )
25	20, 24	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) /\ z e. ( i \ { Z } ) ) /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) -> E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H z ) = (GId ` H ) )
26		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z e. ( i \ { Z } ) -> z e. i )
27		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. ( X \ { Z } ) -> y e. X )
28	26, 27	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( z e. ( i \ { Z } ) /\ y e. ( X \ { Z } ) ) -> ( z e. i /\ y e. X ) )
29	1, 2, 4	idllmulcl 33819	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) /\ ( z e. i /\ y e. X ) ) -> ( y H z ) e. i )
30	1, 2, 4, 5	1idl 33825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) -> ( (GId ` H ) e. i <-> i = X ) )
31	30	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) -> ( (GId ` H ) e. i -> i = X ) )
32	31	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) /\ ( z e. i /\ y e. X ) ) -> ( (GId ` H ) e. i -> i = X ) )
33		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( y H z ) = (GId ` H ) -> ( ( y H z ) e. i <-> (GId ` H ) e. i ) )
34	33	imbi1d 331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y H z ) = (GId ` H ) -> ( ( ( y H z ) e. i -> i = X ) <-> ( (GId ` H ) e. i -> i = X ) ) )
35	32, 34	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) /\ ( z e. i /\ y e. X ) ) -> ( ( y H z ) = (GId ` H ) -> ( ( y H z ) e. i -> i = X ) ) )
36	29, 35	mpid 44	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) /\ ( z e. i /\ y e. X ) ) -> ( ( y H z ) = (GId ` H ) -> i = X ) )
37	28, 36	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) /\ ( z e. ( i \ { Z } ) /\ y e. ( X \ { Z } ) ) ) -> ( ( y H z ) = (GId ` H ) -> i = X ) )
38	37	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) /\ z e. ( i \ { Z } ) ) /\ y e. ( X \ { Z } ) ) -> ( ( y H z ) = (GId ` H ) -> i = X ) )
39	38	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) /\ z e. ( i \ { Z } ) ) -> ( E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H z ) = (GId ` H ) -> i = X ) )
40	39	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) /\ z e. ( i \ { Z } ) ) /\ E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H z ) = (GId ` H ) ) -> i = X )
41	25, 40	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) /\ z e. ( i \ { Z } ) ) /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) -> i = X )
42	41	an32s 846	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) /\ z e. ( i \ { Z } ) ) -> i = X )
43	42	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) -> ( z e. ( i \ { Z } ) -> i = X ) )
44	43	exlimdv 1861	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) -> ( E. z z e. ( i \ { Z } ) -> i = X ) )
45	16, 44	syl5 34	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) -> ( ( Z e. i /\ i =/= { Z } ) -> i = X ) )
46	8, 45	mpand 711	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. RingOps /\ i e. ( Idl ` R ) ) /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) -> ( i =/= { Z } -> i = X ) )
47	46	an32s 846	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. RingOps /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) /\ i e. ( Idl ` R ) ) -> ( i =/= { Z } -> i = X ) )
48		neor 2885	. . . . . . . 8 |- ( ( i = { Z } \/ i = X ) <-> ( i =/= { Z } -> i = X ) )
49	47, 48	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. RingOps /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) /\ i e. ( Idl ` R ) ) -> ( i = { Z } \/ i = X ) )
50	49	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( R e. RingOps /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) -> ( i e. ( Idl ` R ) -> ( i = { Z } \/ i = X ) ) )
51	1, 3	0idl 33824	. . . . . . . . 9 |- ( R e. RingOps -> { Z } e. ( Idl ` R ) )
52		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( i = { Z } -> ( i e. ( Idl ` R ) <-> { Z } e. ( Idl ` R ) ) )
53	51, 52	syl5ibrcom 237	. . . . . . . 8 |- ( R e. RingOps -> ( i = { Z } -> i e. ( Idl ` R ) ) )
54	1, 4	rngoidl 33823	. . . . . . . . 9 |- ( R e. RingOps -> X e. ( Idl ` R ) )
55		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( i = X -> ( i e. ( Idl ` R ) <-> X e. ( Idl ` R ) ) )
56	54, 55	syl5ibrcom 237	. . . . . . . 8 |- ( R e. RingOps -> ( i = X -> i e. ( Idl ` R ) ) )
57	53, 56	jaod 395	. . . . . . 7 |- ( R e. RingOps -> ( ( i = { Z } \/ i = X ) -> i e. ( Idl ` R ) ) )
58	57	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( R e. RingOps /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) -> ( ( i = { Z } \/ i = X ) -> i e. ( Idl ` R ) ) )
59	50, 58	impbid 202	. . . . 5 |- ( ( R e. RingOps /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) -> ( i e. ( Idl ` R ) <-> ( i = { Z } \/ i = X ) ) )
60		vex 3203	. . . . . 6 |- i e. _V
61	60	elpr 4198	. . . . 5 |- ( i e. { { Z } , X } <-> ( i = { Z } \/ i = X ) )
62	59, 61	syl6bbr 278	. . . 4 |- ( ( R e. RingOps /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) -> ( i e. ( Idl ` R ) <-> i e. { { Z } , X } ) )
63	62	eqrdv 2620	. . 3 |- ( ( R e. RingOps /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) -> ( Idl ` R ) = { { Z } , X } )
64	63	adantrl 752	. 2 |- ( ( R e. RingOps /\ ( (GId ` H ) =/= Z /\ A. x e. ( X \ { Z } ) E. y e. ( X \ { Z } ) ( y H x ) = (GId ` H ) ) ) -> ( Idl ` R ) = { { Z } , X } )
65	6, 64	sylbi 207	1 |- ( R e. DivRingOps -> ( Idl ` R ) = { { Z } , X } )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   {cpr 4179   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167  GIdcgi 27344   RingOpscrngo 33693   DivRingOpscdrng 33747   Idlcidl 33806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-ablo 27399  df-ass 33642  df-exid 33644  df-mgmOLD 33648  df-sgrOLD 33660  df-mndo 33666  df-rngo 33694  df-drngo 33748  df-idl 33809

This theorem is referenced by:  divrngpr  33852  isfldidl  33867