Theorem trfg 21695

Description: The trace operation and the filGen operation are inverses to one another in some sense, with filGen growing the base set and ↾_t shrinking it. See fgtr 21694 for the converse cancellation law. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
trfg	|- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> ( ( X filGen F ) ↾t A ) = F )

Proof of Theorem trfg

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		filfbas 21652	. . . . . . 7 |- ( F e. ( Fil ` A ) -> F e. ( fBas ` A ) )
2	1	3ad2ant1 1082	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> F e. ( fBas ` A ) )
3		filsspw 21655	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( Fil ` A ) -> F C_ ~P A )
4	3	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> F C_ ~P A )
5		simp2 1062	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> A C_ X )
6		sspwb 4917	. . . . . . . 8 |- ( A C_ X <-> ~P A C_ ~P X )
7	5, 6	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> ~P A C_ ~P X )
8	4, 7	sstrd 3613	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> F C_ ~P X )
9		simp3 1063	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> X e. V )
10		fbasweak 21669	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( fBas ` A ) /\ F C_ ~P X /\ X e. V ) -> F e. ( fBas ` X ) )
11	2, 8, 9, 10	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> F e. ( fBas ` X ) )
12		fgcl 21682	. . . . 5 |- ( F e. ( fBas ` X ) -> ( X filGen F ) e. ( Fil ` X ) )
13	11, 12	syl 17	. . . 4 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> ( X filGen F ) e. ( Fil ` X ) )
14		filtop 21659	. . . . 5 |- ( F e. ( Fil ` A ) -> A e. F )
15	14	3ad2ant1 1082	. . . 4 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> A e. F )
16		restval 16087	. . . 4 |- ( ( ( X filGen F ) e. ( Fil ` X ) /\ A e. F ) -> ( ( X filGen F ) ↾t A ) = ran ( x e. ( X filGen F ) |-> ( x i^i A ) ) )
17	13, 15, 16	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> ( ( X filGen F ) ↾t A ) = ran ( x e. ( X filGen F ) |-> ( x i^i A ) ) )
18		elfg 21675	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( fBas ` X ) -> ( x e. ( X filGen F ) <-> ( x C_ X /\ E. y e. F y C_ x ) ) )
19	11, 18	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> ( x e. ( X filGen F ) <-> ( x C_ X /\ E. y e. F y C_ x ) ) )
20	19	simplbda 654	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. ( X filGen F ) ) -> E. y e. F y C_ x )
21		simpll1 1100	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. ( X filGen F ) ) /\ ( y e. F /\ y C_ x ) ) -> F e. ( Fil ` A ) )
22		simprl 794	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. ( X filGen F ) ) /\ ( y e. F /\ y C_ x ) ) -> y e. F )
23		inss2 3834	. . . . . . . 8 |- ( x i^i A ) C_ A
24	23	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. ( X filGen F ) ) /\ ( y e. F /\ y C_ x ) ) -> ( x i^i A ) C_ A )
25		simprr 796	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. ( X filGen F ) ) /\ ( y e. F /\ y C_ x ) ) -> y C_ x )
26		filelss 21656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ y e. F ) -> y C_ A )
27	26	3ad2antl1 1223	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ y e. F ) -> y C_ A )
28	27	ad2ant2r 783	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. ( X filGen F ) ) /\ ( y e. F /\ y C_ x ) ) -> y C_ A )
29	25, 28	ssind 3837	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. ( X filGen F ) ) /\ ( y e. F /\ y C_ x ) ) -> y C_ ( x i^i A ) )
30		filss 21657	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ ( y e. F /\ ( x i^i A ) C_ A /\ y C_ ( x i^i A ) ) ) -> ( x i^i A ) e. F )
31	21, 22, 24, 29, 30	syl13anc 1328	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. ( X filGen F ) ) /\ ( y e. F /\ y C_ x ) ) -> ( x i^i A ) e. F )
32	20, 31	rexlimddv 3035	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. ( X filGen F ) ) -> ( x i^i A ) e. F )
33		eqid 2622	. . . . 5 |- ( x e. ( X filGen F ) |-> ( x i^i A ) ) = ( x e. ( X filGen F ) |-> ( x i^i A ) )
34	32, 33	fmptd 6385	. . . 4 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> ( x e. ( X filGen F ) |-> ( x i^i A ) ) : ( X filGen F ) --> F )
35		frn 6053	. . . 4 |- ( ( x e. ( X filGen F ) |-> ( x i^i A ) ) : ( X filGen F ) --> F -> ran ( x e. ( X filGen F ) |-> ( x i^i A ) ) C_ F )
36	34, 35	syl 17	. . 3 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> ran ( x e. ( X filGen F ) |-> ( x i^i A ) ) C_ F )
37	17, 36	eqsstrd 3639	. 2 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> ( ( X filGen F ) ↾t A ) C_ F )
38		filelss 21656	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ x e. F ) -> x C_ A )
39	38	3ad2antl1 1223	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. F ) -> x C_ A )
40		df-ss 3588	. . . . . 6 |- ( x C_ A <-> ( x i^i A ) = x )
41	39, 40	sylib 208	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. F ) -> ( x i^i A ) = x )
42	13	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. F ) -> ( X filGen F ) e. ( Fil ` X ) )
43	15	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. F ) -> A e. F )
44		ssfg 21676	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( fBas ` X ) -> F C_ ( X filGen F ) )
45	11, 44	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> F C_ ( X filGen F ) )
46	45	sselda 3603	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. F ) -> x e. ( X filGen F ) )
47		elrestr 16089	. . . . . 6 |- ( ( ( X filGen F ) e. ( Fil ` X ) /\ A e. F /\ x e. ( X filGen F ) ) -> ( x i^i A ) e. ( ( X filGen F ) ↾t A ) )
48	42, 43, 46, 47	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. F ) -> ( x i^i A ) e. ( ( X filGen F ) ↾t A ) )
49	41, 48	eqeltrrd 2702	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. F ) -> x e. ( ( X filGen F ) ↾t A ) )
50	49	ex 450	. . 3 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> ( x e. F -> x e. ( ( X filGen F ) ↾t A ) ) )
51	50	ssrdv 3609	. 2 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> F C_ ( ( X filGen F ) ↾t A ) )
52	37, 51	eqssd 3620	1 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> ( ( X filGen F ) ↾t A ) = F )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ↾_t crest 16081   fBascfbas 19734   filGencfg 19735   Filcfil 21649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-rest 16083  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-fil 21650

This theorem is referenced by:  cmetss  23113  minveclem4a  23201