Theorem indexfi 8274

Description: If for every element of a finite indexing set A there exists a corresponding element of another set B, then there exists a finite subset of B consisting only of those elements which are indexed by A. Proven without the Axiom of Choice, unlike indexdom 33529. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
indexfi	|- ( ( A e. Fin /\ B e. M /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> E. c e. Fin ( c C_ B /\ A. x e. A E. y e. c ph /\ A. y e. c E. x e. A ph ) )

Distinct variable groups:   x, c, y, A   B, c, x, y   ph, c

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   M( x, y, c)

Proof of Theorem indexfi

Dummy variables f w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ z ph
2		nfsbc1v 3455	. . . . . 6 |- F/ y [. z / y ]. ph
3		sbceq1a 3446	. . . . . 6 |- ( y = z -> ( ph <-> [. z / y ]. ph ) )
4	1, 2, 3	cbvrex 3168	. . . . 5 |- ( E. y e. B ph <-> E. z e. B [. z / y ]. ph )
5	4	ralbii 2980	. . . 4 |- ( A. x e. A E. y e. B ph <-> A. x e. A E. z e. B [. z / y ]. ph )
6		dfsbcq 3437	. . . . 5 |- ( z = ( f ` x ) -> ( [. z / y ]. ph <-> [. ( f ` x ) / y ]. ph ) )
7	6	ac6sfi 8204	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A E. z e. B [. z / y ]. ph ) -> E. f ( f : A --> B /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) )
8	5, 7	sylan2b 492	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> E. f ( f : A --> B /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) )
9		simpll 790	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( f : A --> B /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) ) -> A e. Fin )
10		ffn 6045	. . . . . . 7 |- ( f : A --> B -> f Fn A )
11	10	ad2antrl 764	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( f : A --> B /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) ) -> f Fn A )
12		dffn4 6121	. . . . . 6 |- ( f Fn A <-> f : A -onto-> ran f )
13	11, 12	sylib 208	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( f : A --> B /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) ) -> f : A -onto-> ran f )
14		fofi 8252	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ f : A -onto-> ran f ) -> ran f e. Fin )
15	9, 13, 14	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( f : A --> B /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) ) -> ran f e. Fin )
16		frn 6053	. . . . 5 |- ( f : A --> B -> ran f C_ B )
17	16	ad2antrl 764	. . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( f : A --> B /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) ) -> ran f C_ B )
18		fnfvelrn 6356	. . . . . . . . 9 |- ( ( f Fn A /\ x e. A ) -> ( f ` x ) e. ran f )
19	10, 18	sylan 488	. . . . . . . 8 |- ( ( f : A --> B /\ x e. A ) -> ( f ` x ) e. ran f )
20		rspesbca 3520	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f ` x ) e. ran f /\ [. ( f ` x ) / y ]. ph ) -> E. y e. ran f ph )
21	20	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( f ` x ) e. ran f -> ( [. ( f ` x ) / y ]. ph -> E. y e. ran f ph ) )
22	19, 21	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( f : A --> B /\ x e. A ) -> ( [. ( f ` x ) / y ]. ph -> E. y e. ran f ph ) )
23	22	ralimdva 2962	. . . . . 6 |- ( f : A --> B -> ( A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph -> A. x e. A E. y e. ran f ph ) )
24	23	imp 445	. . . . 5 |- ( ( f : A --> B /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) -> A. x e. A E. y e. ran f ph )
25	24	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( f : A --> B /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) ) -> A. x e. A E. y e. ran f ph )
26		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( f : A --> B /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) ) /\ w e. A ) -> w e. A )
27		simprr 796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( f : A --> B /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) ) -> A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph )
28		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ w [. ( f ` x ) / y ]. ph
29		nfsbc1v 3455	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x [. w / x ]. [. ( f ` w ) / y ]. ph
30		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = w -> ( f ` x ) = ( f ` w ) )
31	30	sbceq1d 3440	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = w -> ( [. ( f ` x ) / y ]. ph <-> [. ( f ` w ) / y ]. ph ) )
32		sbceq1a 3446	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = w -> ( [. ( f ` w ) / y ]. ph <-> [. w / x ]. [. ( f ` w ) / y ]. ph ) )
33	31, 32	bitrd 268	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = w -> ( [. ( f ` x ) / y ]. ph <-> [. w / x ]. [. ( f ` w ) / y ]. ph ) )
34	28, 29, 33	cbvral 3167	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph <-> A. w e. A [. w / x ]. [. ( f ` w ) / y ]. ph )
35	27, 34	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( f : A --> B /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) ) -> A. w e. A [. w / x ]. [. ( f ` w ) / y ]. ph )
36	35	r19.21bi 2932	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( f : A --> B /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) ) /\ w e. A ) -> [. w / x ]. [. ( f ` w ) / y ]. ph )
37		rspesbca 3520	. . . . . . . 8 |- ( ( w e. A /\ [. w / x ]. [. ( f ` w ) / y ]. ph ) -> E. x e. A [. ( f ` w ) / y ]. ph )
38	26, 36, 37	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( f : A --> B /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) ) /\ w e. A ) -> E. x e. A [. ( f ` w ) / y ]. ph )
39	38	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( f : A --> B /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) ) -> A. w e. A E. x e. A [. ( f ` w ) / y ]. ph )
40		dfsbcq 3437	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( f ` w ) -> ( [. z / y ]. ph <-> [. ( f ` w ) / y ]. ph ) )
41	40	rexbidv 3052	. . . . . . . 8 |- ( z = ( f ` w ) -> ( E. x e. A [. z / y ]. ph <-> E. x e. A [. ( f ` w ) / y ]. ph ) )
42	41	ralrn 6362	. . . . . . 7 |- ( f Fn A -> ( A. z e. ran f E. x e. A [. z / y ]. ph <-> A. w e. A E. x e. A [. ( f ` w ) / y ]. ph ) )
43	11, 42	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( f : A --> B /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) ) -> ( A. z e. ran f E. x e. A [. z / y ]. ph <-> A. w e. A E. x e. A [. ( f ` w ) / y ]. ph ) )
44	39, 43	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( f : A --> B /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) ) -> A. z e. ran f E. x e. A [. z / y ]. ph )
45		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ z E. x e. A ph
46		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ y A
47	46, 2	nfrex 3007	. . . . . 6 |- F/ y E. x e. A [. z / y ]. ph
48	3	rexbidv 3052	. . . . . 6 |- ( y = z -> ( E. x e. A ph <-> E. x e. A [. z / y ]. ph ) )
49	45, 47, 48	cbvral 3167	. . . . 5 |- ( A. y e. ran f E. x e. A ph <-> A. z e. ran f E. x e. A [. z / y ]. ph )
50	44, 49	sylibr 224	. . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( f : A --> B /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) ) -> A. y e. ran f E. x e. A ph )
51		sseq1 3626	. . . . . 6 |- ( c = ran f -> ( c C_ B <-> ran f C_ B ) )
52		rexeq 3139	. . . . . . 7 |- ( c = ran f -> ( E. y e. c ph <-> E. y e. ran f ph ) )
53	52	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( c = ran f -> ( A. x e. A E. y e. c ph <-> A. x e. A E. y e. ran f ph ) )
54		raleq 3138	. . . . . 6 |- ( c = ran f -> ( A. y e. c E. x e. A ph <-> A. y e. ran f E. x e. A ph ) )
55	51, 53, 54	3anbi123d 1399	. . . . 5 |- ( c = ran f -> ( ( c C_ B /\ A. x e. A E. y e. c ph /\ A. y e. c E. x e. A ph ) <-> ( ran f C_ B /\ A. x e. A E. y e. ran f ph /\ A. y e. ran f E. x e. A ph ) ) )
56	55	rspcev 3309	. . . 4 |- ( ( ran f e. Fin /\ ( ran f C_ B /\ A. x e. A E. y e. ran f ph /\ A. y e. ran f E. x e. A ph ) ) -> E. c e. Fin ( c C_ B /\ A. x e. A E. y e. c ph /\ A. y e. c E. x e. A ph ) )
57	15, 17, 25, 50, 56	syl13anc 1328	. . 3 |- ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( f : A --> B /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) ) -> E. c e. Fin ( c C_ B /\ A. x e. A E. y e. c ph /\ A. y e. c E. x e. A ph ) )
58	8, 57	exlimddv 1863	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> E. c e. Fin ( c C_ B /\ A. x e. A E. y e. c ph /\ A. y e. c E. x e. A ph ) )
59	58	3adant2 1080	1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. M /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> E. c e. Fin ( c C_ B /\ A. x e. A E. y e. c ph /\ A. y e. c E. x e. A ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   [.wsbc 3435   C_ wss 3574   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888   Fincfn 7955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-fin 7959

This theorem is referenced by:  filbcmb  33535