Theorem fimaxre 10968

Description: A finite set of real numbers has a maximum. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
fimaxre	|- ( ( A C_ RR /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A A. y e. A y <_ x )

Distinct variable group:   x, A, y

Proof of Theorem fimaxre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltso 10118	. . . 4 |- < Or RR
2		soss 5053	. . . 4 |- ( A C_ RR -> ( < Or RR -> < Or A ) )
3	1, 2	mpi 20	. . 3 |- ( A C_ RR -> < Or A )
4		fimaxg 8207	. . 3 |- ( ( < Or A /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A A. y e. A ( x =/= y -> y < x ) )
5	3, 4	syl3an1 1359	. 2 |- ( ( A C_ RR /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A A. y e. A ( x =/= y -> y < x ) )
6		ssel 3597	. . . . . . . . 9 |- ( A C_ RR -> ( x e. A -> x e. RR ) )
7		ssel 3597	. . . . . . . . 9 |- ( A C_ RR -> ( y e. A -> y e. RR ) )
8	6, 7	anim12d 586	. . . . . . . 8 |- ( A C_ RR -> ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( x e. RR /\ y e. RR ) ) )
9	8	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ RR /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( x e. RR /\ y e. RR ) )
10		leloe 10124	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. RR /\ x e. RR ) -> ( y <_ x <-> ( y < x \/ y = x ) ) )
11	10	ancoms 469	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( y <_ x <-> ( y < x \/ y = x ) ) )
12		equcom 1945	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = x <-> x = y )
13	12	orbi2i 541	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y < x \/ y = x ) <-> ( y < x \/ x = y ) )
14		orcom 402	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y < x \/ x = y ) <-> ( x = y \/ y < x ) )
15		neor 2885	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = y \/ y < x ) <-> ( x =/= y -> y < x ) )
16	13, 14, 15	3bitri 286	. . . . . . . . 9 |- ( ( y < x \/ y = x ) <-> ( x =/= y -> y < x ) )
17	11, 16	syl6bb 276	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( y <_ x <-> ( x =/= y -> y < x ) ) )
18	17	biimprd 238	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( x =/= y -> y < x ) -> y <_ x ) )
19	9, 18	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( A C_ RR /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( x =/= y -> y < x ) -> y <_ x ) )
20	19	anassrs 680	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ RR /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( ( x =/= y -> y < x ) -> y <_ x ) )
21	20	ralimdva 2962	. . . 4 |- ( ( A C_ RR /\ x e. A ) -> ( A. y e. A ( x =/= y -> y < x ) -> A. y e. A y <_ x ) )
22	21	reximdva 3017	. . 3 |- ( A C_ RR -> ( E. x e. A A. y e. A ( x =/= y -> y < x ) -> E. x e. A A. y e. A y <_ x ) )
23	22	3ad2ant1 1082	. 2 |- ( ( A C_ RR /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> ( E. x e. A A. y e. A ( x =/= y -> y < x ) -> E. x e. A A. y e. A y <_ x ) )
24	5, 23	mpd 15	1 |- ( ( A C_ RR /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A A. y e. A y <_ x )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   Or wor 5034   Fincfn 7955   RRcr 9935   < clt 10074   <_ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080

This theorem is referenced by:  fimaxre2  10969  fiminre  10972  0ram2  15725  0ramcl  15727  prmgaplem3  15757  ballotlemfc0  30554  ballotlemfcc  30555  filbcmb  33535