Theorem fissuni 8271

Description: A finite subset of a union is covered by finitely many elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fissuni	|- ( ( A C_ U. B /\ A e. Fin ) -> E. c e. ( ~P B i^i Fin ) A C_ U. c )

Distinct variable groups:   A, c   B, c

Proof of Theorem fissuni

Dummy variables f x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 477	. . 3 |- ( ( A C_ U. B /\ A e. Fin ) -> A e. Fin )
2		dfss3 3592	. . . . 5 |- ( A C_ U. B <-> A. x e. A x e. U. B )
3		eluni2 4440	. . . . . 6 |- ( x e. U. B <-> E. z e. B x e. z )
4	3	ralbii 2980	. . . . 5 |- ( A. x e. A x e. U. B <-> A. x e. A E. z e. B x e. z )
5	2, 4	sylbb 209	. . . 4 |- ( A C_ U. B -> A. x e. A E. z e. B x e. z )
6	5	adantr 481	. . 3 |- ( ( A C_ U. B /\ A e. Fin ) -> A. x e. A E. z e. B x e. z )
7		eleq2 2690	. . . 4 |- ( z = ( f ` x ) -> ( x e. z <-> x e. ( f ` x ) ) )
8	7	ac6sfi 8204	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A E. z e. B x e. z ) -> E. f ( f : A --> B /\ A. x e. A x e. ( f ` x ) ) )
9	1, 6, 8	syl2anc 693	. 2 |- ( ( A C_ U. B /\ A e. Fin ) -> E. f ( f : A --> B /\ A. x e. A x e. ( f ` x ) ) )
10		fimass 6081	. . . . . 6 |- ( f : A --> B -> ( f " A ) C_ B )
11		vex 3203	. . . . . . . 8 |- f e. _V
12	11	imaex 7104	. . . . . . 7 |- ( f " A ) e. _V
13	12	elpw 4164	. . . . . 6 |- ( ( f " A ) e. ~P B <-> ( f " A ) C_ B )
14	10, 13	sylibr 224	. . . . 5 |- ( f : A --> B -> ( f " A ) e. ~P B )
15	14	ad2antrl 764	. . . 4 |- ( ( ( A C_ U. B /\ A e. Fin ) /\ ( f : A --> B /\ A. x e. A x e. ( f ` x ) ) ) -> ( f " A ) e. ~P B )
16		ffun 6048	. . . . . 6 |- ( f : A --> B -> Fun f )
17	16	ad2antrl 764	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ U. B /\ A e. Fin ) /\ ( f : A --> B /\ A. x e. A x e. ( f ` x ) ) ) -> Fun f )
18		simplr 792	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ U. B /\ A e. Fin ) /\ ( f : A --> B /\ A. x e. A x e. ( f ` x ) ) ) -> A e. Fin )
19		imafi 8259	. . . . 5 |- ( ( Fun f /\ A e. Fin ) -> ( f " A ) e. Fin )
20	17, 18, 19	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( A C_ U. B /\ A e. Fin ) /\ ( f : A --> B /\ A. x e. A x e. ( f ` x ) ) ) -> ( f " A ) e. Fin )
21	15, 20	elind 3798	. . 3 |- ( ( ( A C_ U. B /\ A e. Fin ) /\ ( f : A --> B /\ A. x e. A x e. ( f ` x ) ) ) -> ( f " A ) e. ( ~P B i^i Fin ) )
22		ffn 6045	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : A --> B -> f Fn A )
23	22	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f : A --> B /\ x e. A ) -> f Fn A )
24		ssid 3624	. . . . . . . . . . 11 |- A C_ A
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f : A --> B /\ x e. A ) -> A C_ A )
26		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f : A --> B /\ x e. A ) -> x e. A )
27		fnfvima 6496	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f Fn A /\ A C_ A /\ x e. A ) -> ( f ` x ) e. ( f " A ) )
28	23, 25, 26, 27	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : A --> B /\ x e. A ) -> ( f ` x ) e. ( f " A ) )
29		elssuni 4467	. . . . . . . . 9 |- ( ( f ` x ) e. ( f " A ) -> ( f ` x ) C_ U. ( f " A ) )
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( f : A --> B /\ x e. A ) -> ( f ` x ) C_ U. ( f " A ) )
31	30	sseld 3602	. . . . . . 7 |- ( ( f : A --> B /\ x e. A ) -> ( x e. ( f ` x ) -> x e. U. ( f " A ) ) )
32	31	ralimdva 2962	. . . . . 6 |- ( f : A --> B -> ( A. x e. A x e. ( f ` x ) -> A. x e. A x e. U. ( f " A ) ) )
33	32	imp 445	. . . . 5 |- ( ( f : A --> B /\ A. x e. A x e. ( f ` x ) ) -> A. x e. A x e. U. ( f " A ) )
34		dfss3 3592	. . . . 5 |- ( A C_ U. ( f " A ) <-> A. x e. A x e. U. ( f " A ) )
35	33, 34	sylibr 224	. . . 4 |- ( ( f : A --> B /\ A. x e. A x e. ( f ` x ) ) -> A C_ U. ( f " A ) )
36	35	adantl 482	. . 3 |- ( ( ( A C_ U. B /\ A e. Fin ) /\ ( f : A --> B /\ A. x e. A x e. ( f ` x ) ) ) -> A C_ U. ( f " A ) )
37		unieq 4444	. . . . 5 |- ( c = ( f " A ) -> U. c = U. ( f " A ) )
38	37	sseq2d 3633	. . . 4 |- ( c = ( f " A ) -> ( A C_ U. c <-> A C_ U. ( f " A ) ) )
39	38	rspcev 3309	. . 3 |- ( ( ( f " A ) e. ( ~P B i^i Fin ) /\ A C_ U. ( f " A ) ) -> E. c e. ( ~P B i^i Fin ) A C_ U. c )
40	21, 36, 39	syl2anc 693	. 2 |- ( ( ( A C_ U. B /\ A e. Fin ) /\ ( f : A --> B /\ A. x e. A x e. ( f ` x ) ) ) -> E. c e. ( ~P B i^i Fin ) A C_ U. c )
41	9, 40	exlimddv 1863	1 |- ( ( A C_ U. B /\ A e. Fin ) -> E. c e. ( ~P B i^i Fin ) A C_ U. c )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   "cima 5117   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888   Fincfn 7955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-fin 7959

This theorem is referenced by:  isacs3lem  17166  isnacs3  37273