Theorem isacs3lem 17166

Description: An algebraic closure system satisfies isacs3 17174. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isacs3lem	|- ( C e. (ACS ` X ) -> ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. C ) ) )

Distinct variable groups:   C, s   X, s

Proof of Theorem isacs3lem

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		acsmre 16313	. 2 |- ( C e. (ACS ` X ) -> C e. (Moore ` X ) )
2		mresspw 16252	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. (Moore ` X ) -> C C_ ~P X )
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. (ACS ` X ) -> C C_ ~P X )
4		sspwb 4917	. . . . . . . . . 10 |- ( C C_ ~P X <-> ~P C C_ ~P ~P X )
5	3, 4	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( C e. (ACS ` X ) -> ~P C C_ ~P ~P X )
6	5	sselda 3603	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. (ACS ` X ) /\ s e. ~P C ) -> s e. ~P ~P X )
7	6	elpwid 4170	. . . . . . 7 |- ( ( C e. (ACS ` X ) /\ s e. ~P C ) -> s C_ ~P X )
8		sspwuni 4611	. . . . . . 7 |- ( s C_ ~P X <-> U. s C_ X )
9	7, 8	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ( C e. (ACS ` X ) /\ s e. ~P C ) -> U. s C_ X )
10	9	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( C e. (ACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> U. s C_ X )
11		inss1 3833	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ~P U. s i^i Fin ) C_ ~P U. s
12	11	sseli 3599	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ~P U. s i^i Fin ) -> x e. ~P U. s )
13	12	elpwid 4170	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( ~P U. s i^i Fin ) -> x C_ U. s )
14		inss2 3834	. . . . . . . . . . 11 |- ( ~P U. s i^i Fin ) C_ Fin
15	14	sseli 3599	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( ~P U. s i^i Fin ) -> x e. Fin )
16		fissuni 8271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x C_ U. s /\ x e. Fin ) -> E. y e. ( ~P s i^i Fin ) x C_ U. y )
17	13, 15, 16	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ~P U. s i^i Fin ) -> E. y e. ( ~P s i^i Fin ) x C_ U. y )
18	17	ad2antll 765	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. (ACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( (toInc ` s ) e. Dirset /\ x e. ( ~P U. s i^i Fin ) ) ) -> E. y e. ( ~P s i^i Fin ) x C_ U. y )
19	1	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. (ACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( (toInc ` s ) e. Dirset /\ x e. ( ~P U. s i^i Fin ) ) ) /\ ( y e. ( ~P s i^i Fin ) /\ x C_ U. y ) ) -> C e. (Moore ` X ) )
20		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- (mrCls ` C ) = (mrCls ` C )
21		simprr 796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. (ACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( (toInc ` s ) e. Dirset /\ x e. ( ~P U. s i^i Fin ) ) ) /\ ( y e. ( ~P s i^i Fin ) /\ x C_ U. y ) ) -> x C_ U. y )
22		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ~P s i^i Fin ) C_ ~P s
23	22	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( ~P s i^i Fin ) -> y e. ~P s )
24	23	elpwid 4170	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( ~P s i^i Fin ) -> y C_ s )
25	24	unissd 4462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( ~P s i^i Fin ) -> U. y C_ U. s )
26	25	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( C e. (ACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( (toInc ` s ) e. Dirset /\ x e. ( ~P U. s i^i Fin ) ) ) /\ ( y e. ( ~P s i^i Fin ) /\ x C_ U. y ) ) -> U. y C_ U. s )
27	9	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( C e. (ACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( (toInc ` s ) e. Dirset /\ x e. ( ~P U. s i^i Fin ) ) ) /\ ( y e. ( ~P s i^i Fin ) /\ x C_ U. y ) ) -> U. s C_ X )
28	26, 27	sstrd 3613	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. (ACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( (toInc ` s ) e. Dirset /\ x e. ( ~P U. s i^i Fin ) ) ) /\ ( y e. ( ~P s i^i Fin ) /\ x C_ U. y ) ) -> U. y C_ X )
29	19, 20, 21, 28	mrcssd 16284	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. (ACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( (toInc ` s ) e. Dirset /\ x e. ( ~P U. s i^i Fin ) ) ) /\ ( y e. ( ~P s i^i Fin ) /\ x C_ U. y ) ) -> ( (mrCls ` C ) ` x ) C_ ( (mrCls ` C ) ` U. y ) )
30		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( (toInc ` s ) e. Dirset /\ y e. ( ~P s i^i Fin ) ) -> (toInc ` s ) e. Dirset )
31	24	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( (toInc ` s ) e. Dirset /\ y e. ( ~P s i^i Fin ) ) -> y C_ s )
32		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ~P s i^i Fin ) C_ Fin
33	32	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. ( ~P s i^i Fin ) -> y e. Fin )
34	33	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( (toInc ` s ) e. Dirset /\ y e. ( ~P s i^i Fin ) ) -> y e. Fin )
35		ipodrsfi 17163	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( (toInc ` s ) e. Dirset /\ y C_ s /\ y e. Fin ) -> E. x e. s U. y C_ x )
36	30, 31, 34, 35	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( (toInc ` s ) e. Dirset /\ y e. ( ~P s i^i Fin ) ) -> E. x e. s U. y C_ x )
37	36	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( C e. (ACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( (toInc ` s ) e. Dirset /\ y e. ( ~P s i^i Fin ) ) ) -> E. x e. s U. y C_ x )
38	1	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( C e. (ACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( (toInc ` s ) e. Dirset /\ y e. ( ~P s i^i Fin ) ) ) /\ ( x e. s /\ U. y C_ x ) ) -> C e. (Moore ` X ) )
39		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( C e. (ACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( (toInc ` s ) e. Dirset /\ y e. ( ~P s i^i Fin ) ) ) /\ ( x e. s /\ U. y C_ x ) ) -> U. y C_ x )
40		elpwi 4168	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( s e. ~P C -> s C_ C )
41	40	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( C e. (ACS ` X ) /\ s e. ~P C ) -> s C_ C )
42	41	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( C e. (ACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( (toInc ` s ) e. Dirset /\ y e. ( ~P s i^i Fin ) ) ) /\ ( x e. s /\ U. y C_ x ) ) -> s C_ C )
43		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( C e. (ACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( (toInc ` s ) e. Dirset /\ y e. ( ~P s i^i Fin ) ) ) /\ ( x e. s /\ U. y C_ x ) ) -> x e. s )
44	42, 43	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( C e. (ACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( (toInc ` s ) e. Dirset /\ y e. ( ~P s i^i Fin ) ) ) /\ ( x e. s /\ U. y C_ x ) ) -> x e. C )
45	20	mrcsscl 16280	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ U. y C_ x /\ x e. C ) -> ( (mrCls ` C ) ` U. y ) C_ x )
46	38, 39, 44, 45	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( C e. (ACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( (toInc ` s ) e. Dirset /\ y e. ( ~P s i^i Fin ) ) ) /\ ( x e. s /\ U. y C_ x ) ) -> ( (mrCls ` C ) ` U. y ) C_ x )
47		elssuni 4467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. s -> x C_ U. s )
48	47	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( C e. (ACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( (toInc ` s ) e. Dirset /\ y e. ( ~P s i^i Fin ) ) ) /\ ( x e. s /\ U. y C_ x ) ) -> x C_ U. s )
49	46, 48	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( C e. (ACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( (toInc ` s ) e. Dirset /\ y e. ( ~P s i^i Fin ) ) ) /\ ( x e. s /\ U. y C_ x ) ) -> ( (mrCls ` C ) ` U. y ) C_ U. s )
50	37, 49	rexlimddv 3035	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( C e. (ACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( (toInc ` s ) e. Dirset /\ y e. ( ~P s i^i Fin ) ) ) -> ( (mrCls ` C ) ` U. y ) C_ U. s )
51	50	anassrs 680	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( C e. (ACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) /\ y e. ( ~P s i^i Fin ) ) -> ( (mrCls ` C ) ` U. y ) C_ U. s )
52	51	adantrr 753	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. (ACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) /\ ( y e. ( ~P s i^i Fin ) /\ x C_ U. y ) ) -> ( (mrCls ` C ) ` U. y ) C_ U. s )
53	52	adantlrr 757	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. (ACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( (toInc ` s ) e. Dirset /\ x e. ( ~P U. s i^i Fin ) ) ) /\ ( y e. ( ~P s i^i Fin ) /\ x C_ U. y ) ) -> ( (mrCls ` C ) ` U. y ) C_ U. s )
54	29, 53	sstrd 3613	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. (ACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( (toInc ` s ) e. Dirset /\ x e. ( ~P U. s i^i Fin ) ) ) /\ ( y e. ( ~P s i^i Fin ) /\ x C_ U. y ) ) -> ( (mrCls ` C ) ` x ) C_ U. s )
55	18, 54	rexlimddv 3035	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. (ACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( (toInc ` s ) e. Dirset /\ x e. ( ~P U. s i^i Fin ) ) ) -> ( (mrCls ` C ) ` x ) C_ U. s )
56	55	anassrs 680	. . . . . 6 |- ( ( ( ( C e. (ACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) /\ x e. ( ~P U. s i^i Fin ) ) -> ( (mrCls ` C ) ` x ) C_ U. s )
57	56	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ( ( C e. (ACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> A. x e. ( ~P U. s i^i Fin ) ( (mrCls ` C ) ` x ) C_ U. s )
58	20	acsfiel 16315	. . . . . 6 |- ( C e. (ACS ` X ) -> ( U. s e. C <-> ( U. s C_ X /\ A. x e. ( ~P U. s i^i Fin ) ( (mrCls ` C ) ` x ) C_ U. s ) ) )
59	58	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( C e. (ACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> ( U. s e. C <-> ( U. s C_ X /\ A. x e. ( ~P U. s i^i Fin ) ( (mrCls ` C ) ` x ) C_ U. s ) ) )
60	10, 57, 59	mpbir2and 957	. . . 4 |- ( ( ( C e. (ACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> U. s e. C )
61	60	ex 450	. . 3 |- ( ( C e. (ACS ` X ) /\ s e. ~P C ) -> ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. C ) )
62	61	ralrimiva 2966	. 2 |- ( C e. (ACS ` X ) -> A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. C ) )
63	1, 62	jca 554	1 |- ( C e. (ACS ` X ) -> ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   ` cfv 5888   Fincfn 7955  Moorecmre 16242  mrClscmrc 16243  ACScacs 16245  Dirsetcdrs 16927  toInccipo 17151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ocomp 15963  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-preset 16928  df-drs 16929  df-poset 16946  df-ipo 17152

This theorem is referenced by:  acsdrsel  17167  acsdrscl  17170  acsficl  17171  isacs5  17172  isacs4  17173  isacs3  17174