Theorem isnacs3 37273

Description: A choice-free order equivalent to the Noetherian condition on a closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isnacs3	|- ( C e. (NoeACS ` X ) <-> ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) )

Distinct variable groups:   C, s   X, s

Proof of Theorem isnacs3

Dummy variables g h i t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nacsacs 37272	. . . 4 |- ( C e. (NoeACS ` X ) -> C e. (ACS ` X ) )
2	1	acsmred 16317	. . 3 |- ( C e. (NoeACS ` X ) -> C e. (Moore ` X ) )
3		simpll 790	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> C e. (NoeACS ` X ) )
4	1	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> C e. (ACS ` X ) )
5		elpwi 4168	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ~P C -> s C_ C )
6	5	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> s C_ C )
7		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> (toInc ` s ) e. Dirset )
8		acsdrsel 17167	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. (ACS ` X ) /\ s C_ C /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> U. s e. C )
9	4, 6, 7, 8	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> U. s e. C )
10		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- (mrCls ` C ) = (mrCls ` C )
11	10	nacsfg 37268	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ U. s e. C ) -> E. g e. ( ~P X i^i Fin ) U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) )
12	3, 9, 11	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> E. g e. ( ~P X i^i Fin ) U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) )
13	10	mrefg2 37270	. . . . . . . . 9 |- ( C e. (Moore ` X ) -> ( E. g e. ( ~P X i^i Fin ) U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) <-> E. g e. ( ~P U. s i^i Fin ) U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) ) )
14	2, 13	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( C e. (NoeACS ` X ) -> ( E. g e. ( ~P X i^i Fin ) U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) <-> E. g e. ( ~P U. s i^i Fin ) U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) ) )
15	14	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> ( E. g e. ( ~P X i^i Fin ) U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) <-> E. g e. ( ~P U. s i^i Fin ) U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) ) )
16	12, 15	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> E. g e. ( ~P U. s i^i Fin ) U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) )
17		elfpw 8268	. . . . . . . . 9 |- ( g e. ( ~P U. s i^i Fin ) <-> ( g C_ U. s /\ g e. Fin ) )
18		fissuni 8271	. . . . . . . . 9 |- ( ( g C_ U. s /\ g e. Fin ) -> E. h e. ( ~P s i^i Fin ) g C_ U. h )
19	17, 18	sylbi 207	. . . . . . . 8 |- ( g e. ( ~P U. s i^i Fin ) -> E. h e. ( ~P s i^i Fin ) g C_ U. h )
20		elfpw 8268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( h e. ( ~P s i^i Fin ) <-> ( h C_ s /\ h e. Fin ) )
21		ipodrsfi 17163	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( (toInc ` s ) e. Dirset /\ h C_ s /\ h e. Fin ) -> E. i e. s U. h C_ i )
22	21	3expb 1266	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (toInc ` s ) e. Dirset /\ ( h C_ s /\ h e. Fin ) ) -> E. i e. s U. h C_ i )
23	20, 22	sylan2b 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (toInc ` s ) e. Dirset /\ h e. ( ~P s i^i Fin ) ) -> E. i e. s U. h C_ i )
24		sstr 3611	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( g C_ U. h /\ U. h C_ i ) -> g C_ i )
25	24	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( U. h C_ i /\ g C_ U. h ) -> g C_ i )
26		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) /\ U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) ) -> U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) )
27	2	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) -> C e. (Moore ` X ) )
28		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) -> g C_ i )
29	5	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) -> s C_ C )
30		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) -> i e. s )
31	29, 30	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) -> i e. C )
32	10	mrcsscl 16280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ g C_ i /\ i e. C ) -> ( (mrCls ` C ) ` g ) C_ i )
33	27, 28, 31, 32	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) -> ( (mrCls ` C ) ` g ) C_ i )
34	33	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) /\ U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) ) -> ( (mrCls ` C ) ` g ) C_ i )
35	26, 34	eqsstrd 3639	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) /\ U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) ) -> U. s C_ i )
36		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) /\ U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) ) -> i e. s )
37		elssuni 4467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i e. s -> i C_ U. s )
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) /\ U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) ) -> i C_ U. s )
39	35, 38	eqssd 3620	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) /\ U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) ) -> U. s = i )
40	39, 36	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) /\ U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) ) -> U. s e. s )
41	40	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ ( i e. s /\ g C_ i ) ) -> ( U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) -> U. s e. s ) )
42	41	expr 643	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ i e. s ) -> ( g C_ i -> ( U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) -> U. s e. s ) ) )
43	25, 42	syl5 34	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ i e. s ) -> ( ( U. h C_ i /\ g C_ U. h ) -> ( U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) -> U. s e. s ) ) )
44	43	expd 452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ i e. s ) -> ( U. h C_ i -> ( g C_ U. h -> ( U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) -> U. s e. s ) ) ) )
45	44	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) -> ( E. i e. s U. h C_ i -> ( g C_ U. h -> ( U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) -> U. s e. s ) ) ) )
46	23, 45	syl5 34	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) -> ( ( (toInc ` s ) e. Dirset /\ h e. ( ~P s i^i Fin ) ) -> ( g C_ U. h -> ( U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) -> U. s e. s ) ) ) )
47	46	expdimp 453	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> ( h e. ( ~P s i^i Fin ) -> ( g C_ U. h -> ( U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) -> U. s e. s ) ) ) )
48	47	rexlimdv 3030	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> ( E. h e. ( ~P s i^i Fin ) g C_ U. h -> ( U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) -> U. s e. s ) ) )
49	19, 48	syl5 34	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> ( g e. ( ~P U. s i^i Fin ) -> ( U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) -> U. s e. s ) ) )
50	49	rexlimdv 3030	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> ( E. g e. ( ~P U. s i^i Fin ) U. s = ( (mrCls ` C ) ` g ) -> U. s e. s ) )
51	16, 50	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) /\ (toInc ` s ) e. Dirset ) -> U. s e. s )
52	51	ex 450	. . . 4 |- ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ s e. ~P C ) -> ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) )
53	52	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( C e. (NoeACS ` X ) -> A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) )
54	2, 53	jca 554	. 2 |- ( C e. (NoeACS ` X ) -> ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) )
55		simpl 473	. . . 4 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) -> C e. (Moore ` X ) )
56	5	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ s e. ~P C ) -> s C_ C )
57	56	sseld 3602	. . . . . . 7 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ s e. ~P C ) -> ( U. s e. s -> U. s e. C ) )
58	57	imim2d 57	. . . . . 6 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ s e. ~P C ) -> ( ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) -> ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. C ) ) )
59	58	ralimdva 2962	. . . . 5 |- ( C e. (Moore ` X ) -> ( A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) -> A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. C ) ) )
60	59	imp 445	. . . 4 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) -> A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. C ) )
61		isacs3 17174	. . . 4 |- ( C e. (ACS ` X ) <-> ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. C ) ) )
62	55, 60, 61	sylanbrc 698	. . 3 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) -> C e. (ACS ` X ) )
63	10	mrcid 16273	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ t e. C ) -> ( (mrCls ` C ) ` t ) = t )
64	63	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> ( (mrCls ` C ) ` t ) = t )
65	62	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> C e. (ACS ` X ) )
66		mress 16253	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ t e. C ) -> t C_ X )
67	66	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> t C_ X )
68	65, 10, 67	acsficld 17175	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> ( (mrCls ` C ) ` t ) = U. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) )
69	64, 68	eqtr3d 2658	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> t = U. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) )
70	10	mrcf 16269	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C e. (Moore ` X ) -> (mrCls ` C ) : ~P X --> C )
71		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (mrCls ` C ) : ~P X --> C -> (mrCls ` C ) Fn ~P X )
72	70, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. (Moore ` X ) -> (mrCls ` C ) Fn ~P X )
73	72	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ t e. C ) -> (mrCls ` C ) Fn ~P X )
74	10	mrcss 16276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ g C_ h /\ h C_ X ) -> ( (mrCls ` C ) ` g ) C_ ( (mrCls ` C ) ` h ) )
75	74	3expb 1266	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ ( g C_ h /\ h C_ X ) ) -> ( (mrCls ` C ) ` g ) C_ ( (mrCls ` C ) ` h ) )
76	75	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ t e. C ) /\ ( g C_ h /\ h C_ X ) ) -> ( (mrCls ` C ) ` g ) C_ ( (mrCls ` C ) ` h ) )
77		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12 |- t e. _V
78		fpwipodrs 17164	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t e. _V -> (toInc ` ( ~P t i^i Fin ) ) e. Dirset )
79	77, 78	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ t e. C ) -> (toInc ` ( ~P t i^i Fin ) ) e. Dirset )
80		inss1 3833	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ~P t i^i Fin ) C_ ~P t
81		sspwb 4917	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t C_ X <-> ~P t C_ ~P X )
82	66, 81	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ t e. C ) -> ~P t C_ ~P X )
83	80, 82	syl5ss 3614	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ t e. C ) -> ( ~P t i^i Fin ) C_ ~P X )
84		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . 13 |- (mrCls ` C ) e. _V
85		imaexg 7103	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (mrCls ` C ) e. _V -> ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) e. _V )
86	84, 85	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) e. _V
87	86	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ t e. C ) -> ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) e. _V )
88	73, 76, 79, 83, 87	ipodrsima 17165	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ t e. C ) -> (toInc ` ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) ) e. Dirset )
89	88	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> (toInc ` ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) ) e. Dirset )
90		imassrn 5477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) C_ ran (mrCls ` C )
91		frn 6053	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( (mrCls ` C ) : ~P X --> C -> ran (mrCls ` C ) C_ C )
92	70, 91	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( C e. (Moore ` X ) -> ran (mrCls ` C ) C_ C )
93	90, 92	syl5ss 3614	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C e. (Moore ` X ) -> ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) C_ C )
94	93	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ t e. C ) -> ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) C_ C )
95	86	elpw 4164	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) e. ~P C <-> ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) C_ C )
96	94, 95	sylibr 224	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ t e. C ) -> ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) e. ~P C )
97	96	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) e. ~P C )
98		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) )
99		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) -> (toInc ` s ) = (toInc ` ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) ) )
100	99	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s = ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) -> ( (toInc ` s ) e. Dirset <-> (toInc ` ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) ) e. Dirset ) )
101		unieq 4444	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) -> U. s = U. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) )
102		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) -> s = ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) )
103	101, 102	eleq12d 2695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s = ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) -> ( U. s e. s <-> U. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) e. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) ) )
104	100, 103	imbi12d 334	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) -> ( ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) <-> ( (toInc ` ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) ) e. Dirset -> U. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) e. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) ) ) )
105	104	rspcva 3307	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) e. ~P C /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) -> ( (toInc ` ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) ) e. Dirset -> U. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) e. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) ) )
106	97, 98, 105	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> ( (toInc ` ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) ) e. Dirset -> U. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) e. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) ) )
107	89, 106	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> U. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) e. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) )
108	69, 107	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> t e. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) )
109		fvelimab 6253	. . . . . . . . 9 |- ( ( (mrCls ` C ) Fn ~P X /\ ( ~P t i^i Fin ) C_ ~P X ) -> ( t e. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) <-> E. g e. ( ~P t i^i Fin ) ( (mrCls ` C ) ` g ) = t ) )
110	73, 83, 109	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ t e. C ) -> ( t e. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) <-> E. g e. ( ~P t i^i Fin ) ( (mrCls ` C ) ` g ) = t ) )
111	110	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> ( t e. ( (mrCls ` C ) " ( ~P t i^i Fin ) ) <-> E. g e. ( ~P t i^i Fin ) ( (mrCls ` C ) ` g ) = t ) )
112	108, 111	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> E. g e. ( ~P t i^i Fin ) ( (mrCls ` C ) ` g ) = t )
113		eqcom 2629	. . . . . . 7 |- ( t = ( (mrCls ` C ) ` g ) <-> ( (mrCls ` C ) ` g ) = t )
114	113	rexbii 3041	. . . . . 6 |- ( E. g e. ( ~P t i^i Fin ) t = ( (mrCls ` C ) ` g ) <-> E. g e. ( ~P t i^i Fin ) ( (mrCls ` C ) ` g ) = t )
115	112, 114	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> E. g e. ( ~P t i^i Fin ) t = ( (mrCls ` C ) ` g ) )
116	10	mrefg2 37270	. . . . . 6 |- ( C e. (Moore ` X ) -> ( E. g e. ( ~P X i^i Fin ) t = ( (mrCls ` C ) ` g ) <-> E. g e. ( ~P t i^i Fin ) t = ( (mrCls ` C ) ` g ) ) )
117	116	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> ( E. g e. ( ~P X i^i Fin ) t = ( (mrCls ` C ) ` g ) <-> E. g e. ( ~P t i^i Fin ) t = ( (mrCls ` C ) ` g ) ) )
118	115, 117	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) /\ t e. C ) -> E. g e. ( ~P X i^i Fin ) t = ( (mrCls ` C ) ` g ) )
119	118	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) -> A. t e. C E. g e. ( ~P X i^i Fin ) t = ( (mrCls ` C ) ` g ) )
120	10	isnacs 37267	. . 3 |- ( C e. (NoeACS ` X ) <-> ( C e. (ACS ` X ) /\ A. t e. C E. g e. ( ~P X i^i Fin ) t = ( (mrCls ` C ) ` g ) ) )
121	62, 119, 120	sylanbrc 698	. 2 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) -> C e. (NoeACS ` X ) )
122	54, 121	impbii 199	1 |- ( C e. (NoeACS ` X ) <-> ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. s ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   ran crn 5115   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888   Fincfn 7955  Moorecmre 16242  mrClscmrc 16243  ACScacs 16245  Dirsetcdrs 16927  toInccipo 17151  NoeACScnacs 37265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ocomp 15963  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-preset 16928  df-drs 16929  df-poset 16946  df-ipo 17152  df-nacs 37266

This theorem is referenced by:  nacsfix  37275