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Theorem flimfnfcls 21832
Description: A filter converges to a point iff every finer filter clusters there. Along with fclsfnflim 21831, this theorem illustrates the duality between convergence and clustering. (Contributed by Jeff Hankins, 12-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
flimfnfcls.x |- X = U. J
Assertion
Ref Expression
flimfnfcls |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( A e. ( J fLim F ) <-> A. g e. ( Fil ` X ) ( F C_ g -> A e. ( J fClus g ) ) ) )
Distinct variable groups:   A, g   g, F   g, J   g, X
Proof of Theorem flimfnfcls
Dummy variables o x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 flimfcls 21830 . . . . 5 |- ( J fLim g ) C_ ( J fClus g )
2 flimtop 21769 . . . . . . . . 9 |- ( A e. ( J fLim F ) -> J e. Top )
3 flimfnfcls.x . . . . . . . . . 10 |- X = U. J
43toptopon 20722 . . . . . . . . 9 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )
52, 4sylib 208 . . . . . . . 8 |- ( A e. ( J fLim F ) -> J e. (TopOn ` X ) )
65ad2antrr 762 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( J fLim F ) /\ g e. ( Fil ` X ) ) /\ F C_ g ) -> J e. (TopOn ` X ) )
7 simplr 792 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( J fLim F ) /\ g e. ( Fil ` X ) ) /\ F C_ g ) -> g e. ( Fil ` X ) )
8 simpr 477 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( J fLim F ) /\ g e. ( Fil ` X ) ) /\ F C_ g ) -> F C_ g )
9 flimss2 21776 . . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ g e. ( Fil ` X ) /\ F C_ g ) -> ( J fLim F ) C_ ( J fLim g ) )
106, 7, 8, 9syl3anc 1326 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( J fLim F ) /\ g e. ( Fil ` X ) ) /\ F C_ g ) -> ( J fLim F ) C_ ( J fLim g ) )
11 simpll 790 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( J fLim F ) /\ g e. ( Fil ` X ) ) /\ F C_ g ) -> A e. ( J fLim F ) )
1210, 11sseldd 3604 . . . . 5 |- ( ( ( A e. ( J fLim F ) /\ g e. ( Fil ` X ) ) /\ F C_ g ) -> A e. ( J fLim g ) )
131, 12sseldi 3601 . . . 4 |- ( ( ( A e. ( J fLim F ) /\ g e. ( Fil ` X ) ) /\ F C_ g ) -> A e. ( J fClus g ) )
1413ex 450 . . 3 |- ( ( A e. ( J fLim F ) /\ g e. ( Fil ` X ) ) -> ( F C_ g -> A e. ( J fClus g ) ) )
1514ralrimiva 2966 . 2 |- ( A e. ( J fLim F ) -> A. g e. ( Fil ` X ) ( F C_ g -> A e. ( J fClus g ) ) )
16 sseq2 3627 . . . . . 6 |- ( g = F -> ( F C_ g <-> F C_ F ) )
17 oveq2 6658 . . . . . . 7 |- ( g = F -> ( J fClus g ) = ( J fClus F ) )
1817eleq2d 2687 . . . . . 6 |- ( g = F -> ( A e. ( J fClus g ) <-> A e. ( J fClus F ) ) )
1916, 18imbi12d 334 . . . . 5 |- ( g = F -> ( ( F C_ g -> A e. ( J fClus g ) ) <-> ( F C_ F -> A e. ( J fClus F ) ) ) )
2019rspcv 3305 . . . 4 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( A. g e. ( Fil ` X ) ( F C_ g -> A e. ( J fClus g ) ) -> ( F C_ F -> A e. ( J fClus F ) ) ) )
21 ssid 3624 . . . . . 6 |- F C_ F
22 id 22 . . . . . 6 |- ( ( F C_ F -> A e. ( J fClus F ) ) -> ( F C_ F -> A e. ( J fClus F ) ) )
2321, 22mpi 20 . . . . 5 |- ( ( F C_ F -> A e. ( J fClus F ) ) -> A e. ( J fClus F ) )
24 fclstop 21815 . . . . . 6 |- ( A e. ( J fClus F ) -> J e. Top )
253fclselbas 21820 . . . . . 6 |- ( A e. ( J fClus F ) -> A e. X )
2624, 25jca 554 . . . . 5 |- ( A e. ( J fClus F ) -> ( J e. Top /\ A e. X ) )
2723, 26syl 17 . . . 4 |- ( ( F C_ F -> A e. ( J fClus F ) ) -> ( J e. Top /\ A e. X ) )
2820, 27syl6 35 . . 3 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( A. g e. ( Fil ` X ) ( F C_ g -> A e. ( J fClus g ) ) -> ( J e. Top /\ A e. X ) ) )
29 disjdif 4040 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( o i^i ( X \ o ) ) = (/)
30 simpll 790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ ( o e. J /\ ( A e. o /\ -. o e. F ) ) ) -> F e. ( Fil ` X ) )
31 simplrl 800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ ( o e. J /\ ( A e. o /\ -. o e. F ) ) ) -> J e. Top )
323topopn 20711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( J e. Top -> X e. J )
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ ( o e. J /\ ( A e. o /\ -. o e. F ) ) ) -> X e. J )
34 pwexg 4850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( X e. J -> ~P X e. _V )
35 rabexg 4812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ~P X e. _V -> { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } e. _V )
3633, 34, 353syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ ( o e. J /\ ( A e. o /\ -. o e. F ) ) ) -> { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } e. _V )
37 unexg 6959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } e. _V ) -> ( F u. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) e. _V )
3830, 36, 37syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ ( o e. J /\ ( A e. o /\ -. o e. F ) ) ) -> ( F u. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) e. _V )
39 ssfii 8325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( F u. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) e. _V -> ( F u. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) C_ ( fi ` ( F u. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) ) )
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ ( o e. J /\ ( A e. o /\ -. o e. F ) ) ) -> ( F u. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) C_ ( fi ` ( F u. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) ) )
41 filsspw 21655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> F C_ ~P X )
42 ssrab2 3687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } C_ ~P X
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } C_ ~P X )
4441, 43unssd 3789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( F u. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) C_ ~P X )
4544ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ ( o e. J /\ ( A e. o /\ -. o e. F ) ) ) -> ( F u. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) C_ ~P X )
46 ssun2 3777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } C_ ( F u. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } )
47 difss 3737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( X \ o ) C_ X
48 elpw2g 4827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( X e. J -> ( ( X \ o ) e. ~P X <-> ( X \ o ) C_ X ) )
4933, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ ( o e. J /\ ( A e. o /\ -. o e. F ) ) ) -> ( ( X \ o ) e. ~P X <-> ( X \ o ) C_ X ) )
5047, 49mpbiri 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ ( o e. J /\ ( A e. o /\ -. o e. F ) ) ) -> ( X \ o ) e. ~P X )
51 ssid 3624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( X \ o ) C_ ( X \ o )
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ ( o e. J /\ ( A e. o /\ -. o e. F ) ) ) -> ( X \ o ) C_ ( X \ o ) )
53 sseq2 3627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( x = ( X \ o ) -> ( ( X \ o ) C_ x <-> ( X \ o ) C_ ( X \ o ) ) )
5453elrab 3363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( X \ o ) e. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } <-> ( ( X \ o ) e. ~P X /\ ( X \ o ) C_ ( X \ o ) ) )
5550, 52, 54sylanbrc 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ ( o e. J /\ ( A e. o /\ -. o e. F ) ) ) -> ( X \ o ) e. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } )
5646, 55sseldi 3601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ ( o e. J /\ ( A e. o /\ -. o e. F ) ) ) -> ( X \ o ) e. ( F u. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) )
57 ne0i 3921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( X \ o ) e. ( F u. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) -> ( F u. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) =/= (/) )
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ ( o e. J /\ ( A e. o /\ -. o e. F ) ) ) -> ( F u. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) =/= (/) )
59 sseq2 3627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( x = z -> ( ( X \ o ) C_ x <-> ( X \ o ) C_ z ) )
6059elrab 3363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( z e. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } <-> ( z e. ~P X /\ ( X \ o ) C_ z ) )
6160simprbi 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( z e. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } -> ( X \ o ) C_ z )
6261ad2antll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ ( o e. J /\ ( A e. o /\ -. o e. F ) ) ) /\ ( y e. F /\ z e. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) ) -> ( X \ o ) C_ z )
63 sslin 3839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( X \ o ) C_ z -> ( y i^i ( X \ o ) ) C_ ( y i^i z ) )
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ ( o e. J /\ ( A e. o /\ -. o e. F ) ) ) /\ ( y e. F /\ z e. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) ) -> ( y i^i ( X \ o ) ) C_ ( y i^i z ) )
65 simprrr 805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ ( o e. J /\ ( A e. o /\ -. o e. F ) ) ) -> -. o e. F )
6665adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ ( o e. J /\ ( A e. o /\ -. o e. F ) ) ) /\ ( y e. F /\ z e. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) ) -> -. o e. F )
67 inssdif0 3947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( y i^i X ) C_ o <-> ( y i^i ( X \ o ) ) = (/) )
68 simplll 798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ ( o e. J /\ ( A e. o /\ -. o e. F ) ) ) /\ ( y e. F /\ z e. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) ) -> F e. ( Fil ` X ) )
69 simprl 794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ ( o e. J /\ ( A e. o /\ -. o e. F ) ) ) /\ ( y e. F /\ z e. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) ) -> y e. F )
70 filelss 21656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ y e. F ) -> y C_ X )
7168, 69, 70syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ ( o e. J /\ ( A e. o /\ -. o e. F ) ) ) /\ ( y e. F /\ z e. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) ) -> y C_ X )
72 df-ss 3588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( y C_ X <-> ( y i^i X ) = y )
7371, 72sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ ( o e. J /\ ( A e. o /\ -. o e. F ) ) ) /\ ( y e. F /\ z e. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) ) -> ( y i^i X ) = y )
7473sseq1d 3632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ ( o e. J /\ ( A e. o /\ -. o e. F ) ) ) /\ ( y e. F /\ z e. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) ) -> ( ( y i^i X ) C_ o <-> y C_ o ) )
7530ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ ( o e. J /\ ( A e. o /\ -. o e. F ) ) ) /\ ( y e. F /\ z e. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) ) /\ y C_ o ) -> F e. ( Fil ` X ) )
76 simplrl 800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ ( o e. J /\ ( A e. o /\ -. o e. F ) ) ) /\ ( y e. F /\ z e. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) ) /\ y C_ o ) -> y e. F )
77 elssuni 4467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( o e. J -> o C_ U. J )
7877, 3syl6sseqr 3652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( o e. J -> o C_ X )
7978ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ ( o e. J /\ ( A e. o /\ -. o e. F ) ) ) -> o C_ X )
8079ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ ( o e. J /\ ( A e. o /\ -. o e. F ) ) ) /\ ( y e. F /\ z e. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) ) /\ y C_ o ) -> o C_ X )
81 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ ( o e. J /\ ( A e. o /\ -. o e. F ) ) ) /\ ( y e. F /\ z e. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) ) /\ y C_ o ) -> y C_ o )
82 filss 21657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( y e. F /\ o C_ X /\ y C_ o ) ) -> o e. F )
8375, 76, 80, 81, 82syl13anc 1328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ ( o e. J /\ ( A e. o /\ -. o e. F ) ) ) /\ ( y e. F /\ z e. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) ) /\ y C_ o ) -> o e. F )
8483ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ ( o e. J /\ ( A e. o /\ -. o e. F ) ) ) /\ ( y e. F /\ z e. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) ) -> ( y C_ o -> o e. F ) )
8574, 84sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ ( o e. J /\ ( A e. o /\ -. o e. F ) ) ) /\ ( y e. F /\ z e. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) ) -> ( ( y i^i X ) C_ o -> o e. F ) )
8667, 85syl5bir 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ ( o e. J /\ ( A e. o /\ -. o e. F ) ) ) /\ ( y e. F /\ z e. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) ) -> ( ( y i^i ( X \ o ) ) = (/) -> o e. F ) )
8786necon3bd 2808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ ( o e. J /\ ( A e. o /\ -. o e. F ) ) ) /\ ( y e. F /\ z e. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) ) -> ( -. o e. F -> ( y i^i ( X \ o ) ) =/= (/) ) )
8866, 87mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ ( o e. J /\ ( A e. o /\ -. o e. F ) ) ) /\ ( y e. F /\ z e. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) ) -> ( y i^i ( X \ o ) ) =/= (/) )
89 ssn0 3976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( y i^i ( X \ o ) ) C_ ( y i^i z ) /\ ( y i^i ( X \ o ) ) =/= (/) ) -> ( y i^i z ) =/= (/) )
9064, 88, 89syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ ( o e. J /\ ( A e. o /\ -. o e. F ) ) ) /\ ( y e. F /\ z e. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) ) -> ( y i^i z ) =/= (/) )
9190ralrimivva 2971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ ( o e. J /\ ( A e. o /\ -. o e. F ) ) ) -> A. y e. F A. z e. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ( y i^i z ) =/= (/) )
92 filfbas 21652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> F e. ( fBas ` X ) )
9330, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ ( o e. J /\ ( A e. o /\ -. o e. F ) ) ) -> F e. ( fBas ` X ) )
9447a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ ( o e. J /\ ( A e. o /\ -. o e. F ) ) ) -> ( X \ o ) C_ X )
95 filtop 21659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> X e. F )
9630, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ ( o e. J /\ ( A e. o /\ -. o e. F ) ) ) -> X e. F )
97 eleq1 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( o = X -> ( o e. F <-> X e. F ) )
9896, 97syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ ( o e. J /\ ( A e. o /\ -. o e. F ) ) ) -> ( o = X -> o e. F ) )
9998necon3bd 2808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ ( o e. J /\ ( A e. o /\ -. o e. F ) ) ) -> ( -. o e. F -> o =/= X ) )
10065, 99mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ ( o e. J /\ ( A e. o /\ -. o e. F ) ) ) -> o =/= X )
101 pssdifn0 3944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( o C_ X /\ o =/= X ) -> ( X \ o ) =/= (/) )
10279, 100, 101syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ ( o e. J /\ ( A e. o /\ -. o e. F ) ) ) -> ( X \ o ) =/= (/) )
103 supfil 21699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( X e. J /\ ( X \ o ) C_ X /\ ( X \ o ) =/= (/) ) -> { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } e. ( Fil ` X ) )
10433, 94, 102, 103syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ ( o e. J /\ ( A e. o /\ -. o e. F ) ) ) -> { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } e. ( Fil ` X ) )
105 filfbas 21652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } e. ( Fil ` X ) -> { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } e. ( fBas ` X ) )
106104, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ ( o e. J /\ ( A e. o /\ -. o e. F ) ) ) -> { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } e. ( fBas ` X ) )
107 fbunfip 21673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } e. ( fBas ` X ) ) -> ( -. (/) e. ( fi ` ( F u. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) ) <-> A. y e. F A. z e. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ( y i^i z ) =/= (/) ) )
10893, 106, 107syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ ( o e. J /\ ( A e. o /\ -. o e. F ) ) ) -> ( -. (/) e. ( fi ` ( F u. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) ) <-> A. y e. F A. z e. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ( y i^i z ) =/= (/) ) )
10991, 108mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ ( o e. J /\ ( A e. o /\ -. o e. F ) ) ) -> -. (/) e. ( fi ` ( F u. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) ) )
110 fsubbas 21671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( X e. F -> ( ( fi ` ( F u. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) ) e. ( fBas ` X ) <-> ( ( F u. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) C_ ~P X /\ ( F u. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) =/= (/) /\ -. (/) e. ( fi ` ( F u. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) ) ) ) )
11196, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ ( o e. J /\ ( A e. o /\ -. o e. F ) ) ) -> ( ( fi ` ( F u. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) ) e. ( fBas ` X ) <-> ( ( F u. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) C_ ~P X /\ ( F u. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) =/= (/) /\ -. (/) e. ( fi ` ( F u. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) ) ) ) )
11245, 58, 109, 111mpbir3and 1245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ ( o e. J /\ ( A e. o /\ -. o e. F ) ) ) -> ( fi ` ( F u. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) ) e. ( fBas ` X ) )
113 ssfg 21676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( fi ` ( F u. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) ) e. ( fBas ` X ) -> ( fi ` ( F u. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) ) C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) ) ) )
114112, 113syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ ( o e. J /\ ( A e. o /\ -. o e. F ) ) ) -> ( fi ` ( F u. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) ) C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) ) ) )
11540, 114sstrd 3613 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ ( o e. J /\ ( A e. o /\ -. o e. F ) ) ) -> ( F u. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) ) ) )
116115unssad 3790 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ ( o e. J /\ ( A e. o /\ -. o e. F ) ) ) -> F C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) ) ) )
117 fgcl 21682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( fi ` ( F u. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) ) e. ( fBas ` X ) -> ( X filGen ( fi ` ( F u. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) ) ) e. ( Fil ` X ) )
118112, 117syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ ( o e. J /\ ( A e. o /\ -. o e. F ) ) ) -> ( X filGen ( fi ` ( F u. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) ) ) e. ( Fil ` X ) )
119 sseq2 3627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( g = ( X filGen ( fi ` ( F u. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) ) ) -> ( F C_ g <-> F C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) ) ) ) )
120 oveq2 6658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( g = ( X filGen ( fi ` ( F u. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) ) ) -> ( J fClus g ) = ( J fClus ( X filGen ( fi ` ( F u. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) ) ) ) )
121120eleq2d 2687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( g = ( X filGen ( fi ` ( F u. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) ) ) -> ( A e. ( J fClus g ) <-> A e. ( J fClus ( X filGen ( fi ` ( F u. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) ) ) ) ) )
122119, 121imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( g = ( X filGen ( fi ` ( F u. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) ) ) -> ( ( F C_ g -> A e. ( J fClus g ) ) <-> ( F C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) ) ) -> A e. ( J fClus ( X filGen ( fi ` ( F u. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) ) ) ) ) ) )
123122rspcv 3305 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( X filGen ( fi ` ( F u. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) ) ) e. ( Fil ` X ) -> ( A. g e. ( Fil ` X ) ( F C_ g -> A e. ( J fClus g ) ) -> ( F C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) ) ) -> A e. ( J fClus ( X filGen ( fi ` ( F u. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) ) ) ) ) ) )
124118, 123syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ ( o e. J /\ ( A e. o /\ -. o e. F ) ) ) -> ( A. g e. ( Fil ` X ) ( F C_ g -> A e. ( J fClus g ) ) -> ( F C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) ) ) -> A e. ( J fClus ( X filGen ( fi ` ( F u. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) ) ) ) ) ) )
125116, 124mpid 44 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ ( o e. J /\ ( A e. o /\ -. o e. F ) ) ) -> ( A. g e. ( Fil ` X ) ( F C_ g -> A e. ( J fClus g ) ) -> A e. ( J fClus ( X filGen ( fi ` ( F u. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) ) ) ) ) )
126 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ ( o e. J /\ ( A e. o /\ -. o e. F ) ) ) /\ A e. ( J fClus ( X filGen ( fi ` ( F u. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) ) ) ) ) -> A e. ( J fClus ( X filGen ( fi ` ( F u. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) ) ) ) )
127 simplrl 800 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ ( o e. J /\ ( A e. o /\ -. o e. F ) ) ) /\ A e. ( J fClus ( X filGen ( fi ` ( F u. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) ) ) ) ) -> o e. J )
128 simprrl 804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ ( o e. J /\ ( A e. o /\ -. o e. F ) ) ) -> A e. o )
129128adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ ( o e. J /\ ( A e. o /\ -. o e. F ) ) ) /\ A e. ( J fClus ( X filGen ( fi ` ( F u. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) ) ) ) ) -> A e. o )
130115, 56sseldd 3604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ ( o e. J /\ ( A e. o /\ -. o e. F ) ) ) -> ( X \ o ) e. ( X filGen ( fi ` ( F u. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) ) ) )
131130adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ ( o e. J /\ ( A e. o /\ -. o e. F ) ) ) /\ A e. ( J fClus ( X filGen ( fi ` ( F u. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) ) ) ) ) -> ( X \ o ) e. ( X filGen ( fi ` ( F u. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) ) ) )
132 fclsopni 21819 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. ( J fClus ( X filGen ( fi ` ( F u. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) ) ) ) /\ ( o e. J /\ A e. o /\ ( X \ o ) e. ( X filGen ( fi ` ( F u. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) ) ) ) ) -> ( o i^i ( X \ o ) ) =/= (/) )
133126, 127, 129, 131, 132syl13anc 1328 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ ( o e. J /\ ( A e. o /\ -. o e. F ) ) ) /\ A e. ( J fClus ( X filGen ( fi ` ( F u. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) ) ) ) ) -> ( o i^i ( X \ o ) ) =/= (/) )
134133ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ ( o e. J /\ ( A e. o /\ -. o e. F ) ) ) -> ( A e. ( J fClus ( X filGen ( fi ` ( F u. { x e. ~P X | ( X \ o ) C_ x } ) ) ) ) -> ( o i^i ( X \ o ) ) =/= (/) ) )
135125, 134syld 47 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ ( o e. J /\ ( A e. o /\ -. o e. F ) ) ) -> ( A. g e. ( Fil ` X ) ( F C_ g -> A e. ( J fClus g ) ) -> ( o i^i ( X \ o ) ) =/= (/) ) )
136135necon2bd 2810 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ ( o e. J /\ ( A e. o /\ -. o e. F ) ) ) -> ( ( o i^i ( X \ o ) ) = (/) -> -. A. g e. ( Fil ` X ) ( F C_ g -> A e. ( J fClus g ) ) ) )
13729, 136mpi 20 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ ( o e. J /\ ( A e. o /\ -. o e. F ) ) ) -> -. A. g e. ( Fil ` X ) ( F C_ g -> A e. ( J fClus g ) ) )
138137anassrs 680 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ o e. J ) /\ ( A e. o /\ -. o e. F ) ) -> -. A. g e. ( Fil ` X ) ( F C_ g -> A e. ( J fClus g ) ) )
139138expr 643 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ o e. J ) /\ A e. o ) -> ( -. o e. F -> -. A. g e. ( Fil ` X ) ( F C_ g -> A e. ( J fClus g ) ) ) )
140139con4d 114 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ o e. J ) /\ A e. o ) -> ( A. g e. ( Fil ` X ) ( F C_ g -> A e. ( J fClus g ) ) -> o e. F ) )
141140ex 450 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ o e. J ) -> ( A e. o -> ( A. g e. ( Fil ` X ) ( F C_ g -> A e. ( J fClus g ) ) -> o e. F ) ) )
142141com23 86 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) /\ o e. J ) -> ( A. g e. ( Fil ` X ) ( F C_ g -> A e. ( J fClus g ) ) -> ( A e. o -> o e. F ) ) )
143142ralrimdva 2969 . . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) -> ( A. g e. ( Fil ` X ) ( F C_ g -> A e. ( J fClus g ) ) -> A. o e. J ( A e. o -> o e. F ) ) )
144 simprr 796 . . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) -> A e. X )
145143, 144jctild 566 . . . . . 6 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) -> ( A. g e. ( Fil ` X ) ( F C_ g -> A e. ( J fClus g ) ) -> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> o e. F ) ) ) )
146 simprl 794 . . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) -> J e. Top )
147146, 4sylib 208 . . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
148 simpl 473 . . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) -> F e. ( Fil ` X ) )
149 flimopn 21779 . . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) -> ( A e. ( J fLim F ) <-> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> o e. F ) ) ) )
150147, 148, 149syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) -> ( A e. ( J fLim F ) <-> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> o e. F ) ) ) )
151145, 150sylibrd 249 . . . . 5 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( J e. Top /\ A e. X ) ) -> ( A. g e. ( Fil ` X ) ( F C_ g -> A e. ( J fClus g ) ) -> A e. ( J fLim F ) ) )
152151ex 450 . . . 4 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( ( J e. Top /\ A e. X ) -> ( A. g e. ( Fil ` X ) ( F C_ g -> A e. ( J fClus g ) ) -> A e. ( J fLim F ) ) ) )
153152com23 86 . . 3 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( A. g e. ( Fil ` X ) ( F C_ g -> A e. ( J fClus g ) ) -> ( ( J e. Top /\ A e. X ) -> A e. ( J fLim F ) ) ) )
15428, 153mpdd 43 . 2 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( A. g e. ( Fil ` X ) ( F C_ g -> A e. ( J fClus g ) ) -> A e. ( J fLim F ) ) )
15515, 154impbid2 216 1 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( A e. ( J fLim F ) <-> A. g e. ( Fil ` X ) ( F C_ g -> A e. ( J fClus g ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ficfi 8316   fBascfbas 19734   filGencfg 19735   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Filcfil 21649   fLim cflim 21738   fClus cfcls 21740
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-fi 8317  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-top 20699  df-topon 20716  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-fil 21650  df-flim 21743  df-fcls 21745
This theorem is referenced by:  cnpfcf  21845
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