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Theorem cfilfcls 23072
Description: Similar to ultrafilters (uffclsflim 21835), the cluster points and limit points of a Cauchy filter coincide. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cfilfcls.1 |- J = ( MetOpen ` D )
cfilfcls.2 |- X = dom dom D
Assertion
Ref Expression
cfilfcls |- ( F e. (CauFil ` D ) -> ( J fClus F ) = ( J fLim F ) )
Proof of Theorem cfilfcls
Dummy variables x y z f r d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2622 . . . . . . . 8 |- U. J = U. J
21fclselbas 21820 . . . . . . 7 |- ( x e. ( J fClus F ) -> x e. U. J )
32adantl 482 . . . . . 6 |- ( ( F e. (CauFil ` D ) /\ x e. ( J fClus F ) ) -> x e. U. J )
4 df-cfil 23053 . . . . . . . . . . . . 13 |- CauFil = ( d e. U. ran *Met |-> { f e. ( Fil ` dom dom d ) | A. x e. RR+ E. y e. f ( d " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) } )
54dmmptss 5631 . . . . . . . . . . . 12 |- dom CauFil C_ U. ran *Met
6 elfvdm 6220 . . . . . . . . . . . 12 |- ( F e. (CauFil ` D ) -> D e. dom CauFil )
75, 6sseldi 3601 . . . . . . . . . . 11 |- ( F e. (CauFil ` D ) -> D e. U. ran *Met )
8 xmetunirn 22142 . . . . . . . . . . 11 |- ( D e. U. ran *Met <-> D e. ( *Met ` dom dom D ) )
97, 8sylib 208 . . . . . . . . . 10 |- ( F e. (CauFil ` D ) -> D e. ( *Met ` dom dom D ) )
10 cfilfcls.2 . . . . . . . . . . 11 |- X = dom dom D
1110fveq2i 6194 . . . . . . . . . 10 |- ( *Met ` X ) = ( *Met ` dom dom D )
129, 11syl6eleqr 2712 . . . . . . . . 9 |- ( F e. (CauFil ` D ) -> D e. ( *Met ` X ) )
1312adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( F e. (CauFil ` D ) /\ x e. ( J fClus F ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
14 cfilfcls.1 . . . . . . . . 9 |- J = ( MetOpen ` D )
1514mopntopon 22244 . . . . . . . 8 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
1613, 15syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( F e. (CauFil ` D ) /\ x e. ( J fClus F ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
17 toponuni 20719 . . . . . . 7 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
1816, 17syl 17 . . . . . 6 |- ( ( F e. (CauFil ` D ) /\ x e. ( J fClus F ) ) -> X = U. J )
193, 18eleqtrrd 2704 . . . . 5 |- ( ( F e. (CauFil ` D ) /\ x e. ( J fClus F ) ) -> x e. X )
2014mopni2 22298 . . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. J /\ x e. y ) -> E. r e. RR+ ( x ( ball ` D ) r ) C_ y )
21203expb 1266 . . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. J /\ x e. y ) ) -> E. r e. RR+ ( x ( ball ` D ) r ) C_ y )
2213, 21sylan 488 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. (CauFil ` D ) /\ x e. ( J fClus F ) ) /\ ( y e. J /\ x e. y ) ) -> E. r e. RR+ ( x ( ball ` D ) r ) C_ y )
23 cfilfil 23065 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. (CauFil ` D ) ) -> F e. ( Fil ` X ) )
2412, 23mpancom 703 . . . . . . . . . . 11 |- ( F e. (CauFil ` D ) -> F e. ( Fil ` X ) )
2524adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. (CauFil ` D ) /\ x e. ( J fClus F ) ) -> F e. ( Fil ` X ) )
2625ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. (CauFil ` D ) /\ x e. ( J fClus F ) ) /\ ( y e. J /\ x e. y ) ) /\ ( r e. RR+ /\ ( x ( ball ` D ) r ) C_ y ) ) -> F e. ( Fil ` X ) )
2713adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. (CauFil ` D ) /\ x e. ( J fClus F ) ) /\ r e. RR+ ) -> D e. ( *Met ` X ) )
28 simpll 790 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. (CauFil ` D ) /\ x e. ( J fClus F ) ) /\ r e. RR+ ) -> F e. (CauFil ` D ) )
29 rphalfcl 11858 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( r e. RR+ -> ( r / 2 ) e. RR+ )
3029adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F e. (CauFil ` D ) /\ x e. ( J fClus F ) ) /\ r e. RR+ ) -> ( r / 2 ) e. RR+ )
31 rphalfcl 11858 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( r / 2 ) e. RR+ -> ( ( r / 2 ) / 2 ) e. RR+ )
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. (CauFil ` D ) /\ x e. ( J fClus F ) ) /\ r e. RR+ ) -> ( ( r / 2 ) / 2 ) e. RR+ )
33 cfil3i 23067 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. (CauFil ` D ) /\ ( ( r / 2 ) / 2 ) e. RR+ ) -> E. y e. X ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) e. F )
3427, 28, 32, 33syl3anc 1326 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. (CauFil ` D ) /\ x e. ( J fClus F ) ) /\ r e. RR+ ) -> E. y e. X ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) e. F )
3525ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. (CauFil ` D ) /\ x e. ( J fClus F ) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( y e. X /\ ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) e. F ) ) -> F e. ( Fil ` X ) )
36 simprr 796 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. (CauFil ` D ) /\ x e. ( J fClus F ) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( y e. X /\ ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) e. F ) ) -> ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) e. F )
3727adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. (CauFil ` D ) /\ x e. ( J fClus F ) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( y e. X /\ ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) e. F ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
3819ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. (CauFil ` D ) /\ x e. ( J fClus F ) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( y e. X /\ ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) e. F ) ) -> x e. X )
39 rpxr 11840 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( r e. RR+ -> r e. RR* )
4039ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. (CauFil ` D ) /\ x e. ( J fClus F ) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( y e. X /\ ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) e. F ) ) -> r e. RR* )
41 blssm 22223 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ r e. RR* ) -> ( x ( ball ` D ) r ) C_ X )
4237, 38, 40, 41syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. (CauFil ` D ) /\ x e. ( J fClus F ) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( y e. X /\ ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) e. F ) ) -> ( x ( ball ` D ) r ) C_ X )
43 simpllr 799 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F e. (CauFil ` D ) /\ x e. ( J fClus F ) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( y e. X /\ ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) e. F ) ) -> x e. ( J fClus F ) )
4430adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( F e. (CauFil ` D ) /\ x e. ( J fClus F ) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( y e. X /\ ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) e. F ) ) -> ( r / 2 ) e. RR+ )
45 rpxr 11840 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( r / 2 ) e. RR+ -> ( r / 2 ) e. RR* )
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( F e. (CauFil ` D ) /\ x e. ( J fClus F ) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( y e. X /\ ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) e. F ) ) -> ( r / 2 ) e. RR* )
4714blopn 22305 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ ( r / 2 ) e. RR* ) -> ( x ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) e. J )
4837, 38, 46, 47syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F e. (CauFil ` D ) /\ x e. ( J fClus F ) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( y e. X /\ ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) e. F ) ) -> ( x ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) e. J )
49 blcntr 22218 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ ( r / 2 ) e. RR+ ) -> x e. ( x ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) )
5037, 38, 44, 49syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F e. (CauFil ` D ) /\ x e. ( J fClus F ) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( y e. X /\ ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) e. F ) ) -> x e. ( x ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) )
51 fclsopni 21819 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ( J fClus F ) /\ ( ( x ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) e. J /\ x e. ( x ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) /\ ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) e. F ) ) -> ( ( x ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) i^i ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) ) =/= (/) )
5243, 48, 50, 36, 51syl13anc 1328 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F e. (CauFil ` D ) /\ x e. ( J fClus F ) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( y e. X /\ ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) e. F ) ) -> ( ( x ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) i^i ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) ) =/= (/) )
53 n0 3931 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) i^i ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) ) =/= (/) <-> E. z z e. ( ( x ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) i^i ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) ) )
5452, 53sylib 208 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. (CauFil ` D ) /\ x e. ( J fClus F ) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( y e. X /\ ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) e. F ) ) -> E. z z e. ( ( x ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) i^i ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) ) )
55 elin 3796 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. ( ( x ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) i^i ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) ) <-> ( z e. ( x ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) /\ z e. ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) ) )
5637adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( F e. (CauFil ` D ) /\ x e. ( J fClus F ) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( y e. X /\ ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) e. F ) ) /\ ( z e. ( x ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) /\ z e. ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
57 simplrl 800 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( F e. (CauFil ` D ) /\ x e. ( J fClus F ) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( y e. X /\ ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) e. F ) ) /\ ( z e. ( x ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) /\ z e. ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) ) ) -> y e. X )
5844adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( F e. (CauFil ` D ) /\ x e. ( J fClus F ) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( y e. X /\ ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) e. F ) ) /\ ( z e. ( x ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) /\ z e. ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) ) ) -> ( r / 2 ) e. RR+ )
5958rpred 11872 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( F e. (CauFil ` D ) /\ x e. ( J fClus F ) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( y e. X /\ ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) e. F ) ) /\ ( z e. ( x ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) /\ z e. ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) ) ) -> ( r / 2 ) e. RR )
60 simprr 796 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( F e. (CauFil ` D ) /\ x e. ( J fClus F ) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( y e. X /\ ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) e. F ) ) /\ ( z e. ( x ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) /\ z e. ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) ) ) -> z e. ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) )
61 blhalf 22210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( ( r / 2 ) e. RR /\ z e. ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) ) ) -> ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) C_ ( z ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) )
6256, 57, 59, 60, 61syl22anc 1327 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( F e. (CauFil ` D ) /\ x e. ( J fClus F ) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( y e. X /\ ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) e. F ) ) /\ ( z e. ( x ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) /\ z e. ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) ) ) -> ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) C_ ( z ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) )
63 blssm 22223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ ( r / 2 ) e. RR* ) -> ( x ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) C_ X )
6437, 38, 46, 63syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( F e. (CauFil ` D ) /\ x e. ( J fClus F ) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( y e. X /\ ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) e. F ) ) -> ( x ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) C_ X )
6564sselda 3603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( F e. (CauFil ` D ) /\ x e. ( J fClus F ) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( y e. X /\ ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) e. F ) ) /\ z e. ( x ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) ) -> z e. X )
6665adantrr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( F e. (CauFil ` D ) /\ x e. ( J fClus F ) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( y e. X /\ ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) e. F ) ) /\ ( z e. ( x ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) /\ z e. ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) ) ) -> z e. X )
67 simpllr 799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( F e. (CauFil ` D ) /\ x e. ( J fClus F ) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( y e. X /\ ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) e. F ) ) /\ ( z e. ( x ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) /\ z e. ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) ) ) -> r e. RR+ )
6867rpred 11872 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( F e. (CauFil ` D ) /\ x e. ( J fClus F ) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( y e. X /\ ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) e. F ) ) /\ ( z e. ( x ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) /\ z e. ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) ) ) -> r e. RR )
69 simprl 794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( F e. (CauFil ` D ) /\ x e. ( J fClus F ) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( y e. X /\ ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) e. F ) ) /\ ( z e. ( x ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) /\ z e. ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) ) ) -> z e. ( x ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) )
7058, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( F e. (CauFil ` D ) /\ x e. ( J fClus F ) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( y e. X /\ ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) e. F ) ) /\ ( z e. ( x ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) /\ z e. ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) ) ) -> ( r / 2 ) e. RR* )
7138adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( F e. (CauFil ` D ) /\ x e. ( J fClus F ) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( y e. X /\ ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) e. F ) ) /\ ( z e. ( x ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) /\ z e. ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) ) ) -> x e. X )
72 blcom 22199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( r / 2 ) e. RR* ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( z e. ( x ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) <-> x e. ( z ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) ) )
7356, 70, 71, 66, 72syl22anc 1327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( F e. (CauFil ` D ) /\ x e. ( J fClus F ) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( y e. X /\ ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) e. F ) ) /\ ( z e. ( x ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) /\ z e. ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) ) ) -> ( z e. ( x ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) <-> x e. ( z ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) ) )
7469, 73mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( F e. (CauFil ` D ) /\ x e. ( J fClus F ) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( y e. X /\ ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) e. F ) ) /\ ( z e. ( x ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) /\ z e. ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) ) ) -> x e. ( z ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) )
75 blhalf 22210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ z e. X ) /\ ( r e. RR /\ x e. ( z ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) ) ) -> ( z ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) C_ ( x ( ball ` D ) r ) )
7656, 66, 68, 74, 75syl22anc 1327 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( F e. (CauFil ` D ) /\ x e. ( J fClus F ) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( y e. X /\ ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) e. F ) ) /\ ( z e. ( x ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) /\ z e. ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) ) ) -> ( z ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) C_ ( x ( ball ` D ) r ) )
7762, 76sstrd 3613 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( F e. (CauFil ` D ) /\ x e. ( J fClus F ) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( y e. X /\ ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) e. F ) ) /\ ( z e. ( x ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) /\ z e. ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) ) ) -> ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) C_ ( x ( ball ` D ) r ) )
7877ex 450 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F e. (CauFil ` D ) /\ x e. ( J fClus F ) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( y e. X /\ ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) e. F ) ) -> ( ( z e. ( x ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) /\ z e. ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) ) -> ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) C_ ( x ( ball ` D ) r ) ) )
7955, 78syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F e. (CauFil ` D ) /\ x e. ( J fClus F ) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( y e. X /\ ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) e. F ) ) -> ( z e. ( ( x ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) i^i ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) ) -> ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) C_ ( x ( ball ` D ) r ) ) )
8079exlimdv 1861 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. (CauFil ` D ) /\ x e. ( J fClus F ) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( y e. X /\ ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) e. F ) ) -> ( E. z z e. ( ( x ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) i^i ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) ) -> ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) C_ ( x ( ball ` D ) r ) ) )
8154, 80mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. (CauFil ` D ) /\ x e. ( J fClus F ) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( y e. X /\ ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) e. F ) ) -> ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) C_ ( x ( ball ` D ) r ) )
82 filss 21657 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) e. F /\ ( x ( ball ` D ) r ) C_ X /\ ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) C_ ( x ( ball ` D ) r ) ) ) -> ( x ( ball ` D ) r ) e. F )
8335, 36, 42, 81, 82syl13anc 1328 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. (CauFil ` D ) /\ x e. ( J fClus F ) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( y e. X /\ ( y ( ball ` D ) ( ( r / 2 ) / 2 ) ) e. F ) ) -> ( x ( ball ` D ) r ) e. F )
8434, 83rexlimddv 3035 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. (CauFil ` D ) /\ x e. ( J fClus F ) ) /\ r e. RR+ ) -> ( x ( ball ` D ) r ) e. F )
8584ad2ant2r 783 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. (CauFil ` D ) /\ x e. ( J fClus F ) ) /\ ( y e. J /\ x e. y ) ) /\ ( r e. RR+ /\ ( x ( ball ` D ) r ) C_ y ) ) -> ( x ( ball ` D ) r ) e. F )
86 toponss 20731 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) -> y C_ X )
8786adantrr 753 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( y e. J /\ x e. y ) ) -> y C_ X )
8816, 87sylan 488 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. (CauFil ` D ) /\ x e. ( J fClus F ) ) /\ ( y e. J /\ x e. y ) ) -> y C_ X )
8988adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. (CauFil ` D ) /\ x e. ( J fClus F ) ) /\ ( y e. J /\ x e. y ) ) /\ ( r e. RR+ /\ ( x ( ball ` D ) r ) C_ y ) ) -> y C_ X )
90 simprr 796 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. (CauFil ` D ) /\ x e. ( J fClus F ) ) /\ ( y e. J /\ x e. y ) ) /\ ( r e. RR+ /\ ( x ( ball ` D ) r ) C_ y ) ) -> ( x ( ball ` D ) r ) C_ y )
91 filss 21657 . . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( ( x ( ball ` D ) r ) e. F /\ y C_ X /\ ( x ( ball ` D ) r ) C_ y ) ) -> y e. F )
9226, 85, 89, 90, 91syl13anc 1328 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. (CauFil ` D ) /\ x e. ( J fClus F ) ) /\ ( y e. J /\ x e. y ) ) /\ ( r e. RR+ /\ ( x ( ball ` D ) r ) C_ y ) ) -> y e. F )
9322, 92rexlimddv 3035 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. (CauFil ` D ) /\ x e. ( J fClus F ) ) /\ ( y e. J /\ x e. y ) ) -> y e. F )
9493expr 643 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. (CauFil ` D ) /\ x e. ( J fClus F ) ) /\ y e. J ) -> ( x e. y -> y e. F ) )
9594ralrimiva 2966 . . . . 5 |- ( ( F e. (CauFil ` D ) /\ x e. ( J fClus F ) ) -> A. y e. J ( x e. y -> y e. F ) )
96 flimopn 21779 . . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) -> ( x e. ( J fLim F ) <-> ( x e. X /\ A. y e. J ( x e. y -> y e. F ) ) ) )
9716, 25, 96syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ( F e. (CauFil ` D ) /\ x e. ( J fClus F ) ) -> ( x e. ( J fLim F ) <-> ( x e. X /\ A. y e. J ( x e. y -> y e. F ) ) ) )
9819, 95, 97mpbir2and 957 . . . 4 |- ( ( F e. (CauFil ` D ) /\ x e. ( J fClus F ) ) -> x e. ( J fLim F ) )
9998ex 450 . . 3 |- ( F e. (CauFil ` D ) -> ( x e. ( J fClus F ) -> x e. ( J fLim F ) ) )
10099ssrdv 3609 . 2 |- ( F e. (CauFil ` D ) -> ( J fClus F ) C_ ( J fLim F ) )
101 flimfcls 21830 . . 3 |- ( J fLim F ) C_ ( J fClus F )
102101a1i 11 . 2 |- ( F e. (CauFil ` D ) -> ( J fLim F ) C_ ( J fClus F ) )
103100, 102eqssd 3620 1 |- ( F e. (CauFil ` D ) -> ( J fClus F ) = ( J fLim F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U.cuni 4436   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   RR*cxr 10073   / cdiv 10684   2c2 11070   RR+crp 11832   [,)cico 12177   *Metcxmt 19731   ballcbl 19733   MetOpencmopn 19736  TopOnctopon 20715   Filcfil 21649   fLim cflim 21738   fClus cfcls 21740  CauFilccfil 23050
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ico 12181  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-fil 21650  df-flim 21743  df-fcls 21745  df-cfil 23053
This theorem is referenced by:  relcmpcmet  23115
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