Theorem frr3g 31779

Description: Functions defined by founded recursion are identical up to relation, domain, and characteristic function. General version of frr3. (Contributed by Scott Fenton, 10-Feb-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
frr3g	|- ( ( ( R Fr A /\ R Se A ) /\ ( F Fn A /\ A. y e. A ( F ` y ) = ( y H ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) /\ ( G Fn A /\ A. y e. A ( G ` y ) = ( y H ( G |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) -> F = G )

Distinct variable groups:   y, A   y, F   y, G   y, H   y, R

Proof of Theorem frr3g

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ra4v 3524	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. w e. Pred ( R , A , z ) ( ( ( F Fn A /\ G Fn A ) /\ ( A. y e. A ( F ` y ) = ( y H ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) /\ A. y e. A ( G ` y ) = ( y H ( G |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) -> ( ( ( F Fn A /\ G Fn A ) /\ ( A. y e. A ( F ` y ) = ( y H ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) /\ A. y e. A ( G ` y ) = ( y H ( G |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) -> A. w e. Pred ( R , A , z ) ( F ` w ) = ( G ` w ) ) )
2		r19.26 3064	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. y e. A ( ( F ` y ) = ( y H ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) /\ ( G ` y ) = ( y H ( G |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) <-> ( A. y e. A ( F ` y ) = ( y H ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) /\ A. y e. A ( G ` y ) = ( y H ( G |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) )
3	2	anbi2i 730	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F Fn A /\ G Fn A ) /\ A. y e. A ( ( F ` y ) = ( y H ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) /\ ( G ` y ) = ( y H ( G |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) <-> ( ( F Fn A /\ G Fn A ) /\ ( A. y e. A ( F ` y ) = ( y H ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) /\ A. y e. A ( G ` y ) = ( y H ( G |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) )
4		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = z -> ( F ` y ) = ( F ` z ) )
5		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = z -> y = z )
6		predeq3 5684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = z -> Pred ( R , A , y ) = Pred ( R , A , z ) )
7	6	reseq2d 5396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = z -> ( F |` Pred ( R , A , y ) ) = ( F |` Pred ( R , A , z ) ) )
8	5, 7	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = z -> ( y H ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) = ( z H ( F |` Pred ( R , A , z ) ) ) )
9	4, 8	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = z -> ( ( F ` y ) = ( y H ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) <-> ( F ` z ) = ( z H ( F |` Pred ( R , A , z ) ) ) ) )
10		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = z -> ( G ` y ) = ( G ` z ) )
11	6	reseq2d 5396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = z -> ( G |` Pred ( R , A , y ) ) = ( G |` Pred ( R , A , z ) ) )
12	5, 11	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = z -> ( y H ( G |` Pred ( R , A , y ) ) ) = ( z H ( G |` Pred ( R , A , z ) ) ) )
13	10, 12	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = z -> ( ( G ` y ) = ( y H ( G |` Pred ( R , A , y ) ) ) <-> ( G ` z ) = ( z H ( G |` Pred ( R , A , z ) ) ) ) )
14	9, 13	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = z -> ( ( ( F ` y ) = ( y H ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) /\ ( G ` y ) = ( y H ( G |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) <-> ( ( F ` z ) = ( z H ( F |` Pred ( R , A , z ) ) ) /\ ( G ` z ) = ( z H ( G |` Pred ( R , A , z ) ) ) ) ) )
15	14	rspcva 3307	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. A /\ A. y e. A ( ( F ` y ) = ( y H ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) /\ ( G ` y ) = ( y H ( G |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) -> ( ( F ` z ) = ( z H ( F |` Pred ( R , A , z ) ) ) /\ ( G ` z ) = ( z H ( G |` Pred ( R , A , z ) ) ) ) )
16		eqtr3 2643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( z H ( G |` Pred ( R , A , z ) ) ) = ( z H ( F |` Pred ( R , A , z ) ) ) /\ ( F ` z ) = ( z H ( F |` Pred ( R , A , z ) ) ) ) -> ( z H ( G |` Pred ( R , A , z ) ) ) = ( F ` z ) )
17	16	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( z H ( G |` Pred ( R , A , z ) ) ) = ( z H ( F |` Pred ( R , A , z ) ) ) /\ ( F ` z ) = ( z H ( F |` Pred ( R , A , z ) ) ) ) -> ( F ` z ) = ( z H ( G |` Pred ( R , A , z ) ) ) )
18		eqtr3 2643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( F ` z ) = ( z H ( G |` Pred ( R , A , z ) ) ) /\ ( G ` z ) = ( z H ( G |` Pred ( R , A , z ) ) ) ) -> ( F ` z ) = ( G ` z ) )
19	18	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( F ` z ) = ( z H ( G |` Pred ( R , A , z ) ) ) -> ( ( G ` z ) = ( z H ( G |` Pred ( R , A , z ) ) ) -> ( F ` z ) = ( G ` z ) ) )
20	17, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( z H ( G |` Pred ( R , A , z ) ) ) = ( z H ( F |` Pred ( R , A , z ) ) ) /\ ( F ` z ) = ( z H ( F |` Pred ( R , A , z ) ) ) ) -> ( ( G ` z ) = ( z H ( G |` Pred ( R , A , z ) ) ) -> ( F ` z ) = ( G ` z ) ) )
21	20	expimpd 629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( z H ( G |` Pred ( R , A , z ) ) ) = ( z H ( F |` Pred ( R , A , z ) ) ) -> ( ( ( F ` z ) = ( z H ( F |` Pred ( R , A , z ) ) ) /\ ( G ` z ) = ( z H ( G |` Pred ( R , A , z ) ) ) ) -> ( F ` z ) = ( G ` z ) ) )
22		predss 5687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- Pred ( R , A , z ) C_ A
23		fvreseq 6319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( F Fn A /\ G Fn A ) /\ Pred ( R , A , z ) C_ A ) -> ( ( F |` Pred ( R , A , z ) ) = ( G |` Pred ( R , A , z ) ) <-> A. w e. Pred ( R , A , z ) ( F ` w ) = ( G ` w ) ) )
24	22, 23	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( F Fn A /\ G Fn A ) -> ( ( F |` Pred ( R , A , z ) ) = ( G |` Pred ( R , A , z ) ) <-> A. w e. Pred ( R , A , z ) ( F ` w ) = ( G ` w ) ) )
25	24	biimpar 502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( F Fn A /\ G Fn A ) /\ A. w e. Pred ( R , A , z ) ( F ` w ) = ( G ` w ) ) -> ( F |` Pred ( R , A , z ) ) = ( G |` Pred ( R , A , z ) ) )
26	25	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( F Fn A /\ G Fn A ) /\ A. w e. Pred ( R , A , z ) ( F ` w ) = ( G ` w ) ) -> ( z H ( F |` Pred ( R , A , z ) ) ) = ( z H ( G |` Pred ( R , A , z ) ) ) )
27	26	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( F Fn A /\ G Fn A ) /\ A. w e. Pred ( R , A , z ) ( F ` w ) = ( G ` w ) ) -> ( z H ( G |` Pred ( R , A , z ) ) ) = ( z H ( F |` Pred ( R , A , z ) ) ) )
28	21, 27	syl11 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F ` z ) = ( z H ( F |` Pred ( R , A , z ) ) ) /\ ( G ` z ) = ( z H ( G |` Pred ( R , A , z ) ) ) ) -> ( ( ( F Fn A /\ G Fn A ) /\ A. w e. Pred ( R , A , z ) ( F ` w ) = ( G ` w ) ) -> ( F ` z ) = ( G ` z ) ) )
29	28	expd 452	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F ` z ) = ( z H ( F |` Pred ( R , A , z ) ) ) /\ ( G ` z ) = ( z H ( G |` Pred ( R , A , z ) ) ) ) -> ( ( F Fn A /\ G Fn A ) -> ( A. w e. Pred ( R , A , z ) ( F ` w ) = ( G ` w ) -> ( F ` z ) = ( G ` z ) ) ) )
30	15, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. A /\ A. y e. A ( ( F ` y ) = ( y H ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) /\ ( G ` y ) = ( y H ( G |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) -> ( ( F Fn A /\ G Fn A ) -> ( A. w e. Pred ( R , A , z ) ( F ` w ) = ( G ` w ) -> ( F ` z ) = ( G ` z ) ) ) )
31	30	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. A -> ( A. y e. A ( ( F ` y ) = ( y H ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) /\ ( G ` y ) = ( y H ( G |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) -> ( ( F Fn A /\ G Fn A ) -> ( A. w e. Pred ( R , A , z ) ( F ` w ) = ( G ` w ) -> ( F ` z ) = ( G ` z ) ) ) ) )
32	31	com23 86	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. A -> ( ( F Fn A /\ G Fn A ) -> ( A. y e. A ( ( F ` y ) = ( y H ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) /\ ( G ` y ) = ( y H ( G |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) -> ( A. w e. Pred ( R , A , z ) ( F ` w ) = ( G ` w ) -> ( F ` z ) = ( G ` z ) ) ) ) )
33	32	impd 447	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. A -> ( ( ( F Fn A /\ G Fn A ) /\ A. y e. A ( ( F ` y ) = ( y H ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) /\ ( G ` y ) = ( y H ( G |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) -> ( A. w e. Pred ( R , A , z ) ( F ` w ) = ( G ` w ) -> ( F ` z ) = ( G ` z ) ) ) )
34	3, 33	syl5bir 233	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. A -> ( ( ( F Fn A /\ G Fn A ) /\ ( A. y e. A ( F ` y ) = ( y H ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) /\ A. y e. A ( G ` y ) = ( y H ( G |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) -> ( A. w e. Pred ( R , A , z ) ( F ` w ) = ( G ` w ) -> ( F ` z ) = ( G ` z ) ) ) )
35	34	a2d 29	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. A -> ( ( ( ( F Fn A /\ G Fn A ) /\ ( A. y e. A ( F ` y ) = ( y H ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) /\ A. y e. A ( G ` y ) = ( y H ( G |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) -> A. w e. Pred ( R , A , z ) ( F ` w ) = ( G ` w ) ) -> ( ( ( F Fn A /\ G Fn A ) /\ ( A. y e. A ( F ` y ) = ( y H ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) /\ A. y e. A ( G ` y ) = ( y H ( G |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) -> ( F ` z ) = ( G ` z ) ) ) )
36	1, 35	syl5 34	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. A -> ( A. w e. Pred ( R , A , z ) ( ( ( F Fn A /\ G Fn A ) /\ ( A. y e. A ( F ` y ) = ( y H ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) /\ A. y e. A ( G ` y ) = ( y H ( G |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) -> ( ( ( F Fn A /\ G Fn A ) /\ ( A. y e. A ( F ` y ) = ( y H ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) /\ A. y e. A ( G ` y ) = ( y H ( G |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) -> ( F ` z ) = ( G ` z ) ) ) )
37		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = w -> ( F ` z ) = ( F ` w ) )
38		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = w -> ( G ` z ) = ( G ` w ) )
39	37, 38	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = w -> ( ( F ` z ) = ( G ` z ) <-> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) )
40	39	imbi2d 330	. . . . . . . . . 10 |- ( z = w -> ( ( ( ( F Fn A /\ G Fn A ) /\ ( A. y e. A ( F ` y ) = ( y H ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) /\ A. y e. A ( G ` y ) = ( y H ( G |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) -> ( F ` z ) = ( G ` z ) ) <-> ( ( ( F Fn A /\ G Fn A ) /\ ( A. y e. A ( F ` y ) = ( y H ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) /\ A. y e. A ( G ` y ) = ( y H ( G |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) )
41	36, 40	frins2g 31746	. . . . . . . . 9 |- ( ( R Fr A /\ R Se A ) -> A. z e. A ( ( ( F Fn A /\ G Fn A ) /\ ( A. y e. A ( F ` y ) = ( y H ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) /\ A. y e. A ( G ` y ) = ( y H ( G |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) -> ( F ` z ) = ( G ` z ) ) )
42		rsp 2929	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. A ( ( ( F Fn A /\ G Fn A ) /\ ( A. y e. A ( F ` y ) = ( y H ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) /\ A. y e. A ( G ` y ) = ( y H ( G |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) -> ( F ` z ) = ( G ` z ) ) -> ( z e. A -> ( ( ( F Fn A /\ G Fn A ) /\ ( A. y e. A ( F ` y ) = ( y H ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) /\ A. y e. A ( G ` y ) = ( y H ( G |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) -> ( F ` z ) = ( G ` z ) ) ) )
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( R Fr A /\ R Se A ) -> ( z e. A -> ( ( ( F Fn A /\ G Fn A ) /\ ( A. y e. A ( F ` y ) = ( y H ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) /\ A. y e. A ( G ` y ) = ( y H ( G |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) -> ( F ` z ) = ( G ` z ) ) ) )
44	43	com3r 87	. . . . . . 7 |- ( ( ( F Fn A /\ G Fn A ) /\ ( A. y e. A ( F ` y ) = ( y H ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) /\ A. y e. A ( G ` y ) = ( y H ( G |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) -> ( ( R Fr A /\ R Se A ) -> ( z e. A -> ( F ` z ) = ( G ` z ) ) ) )
45	44	an4s 869	. . . . . 6 |- ( ( ( F Fn A /\ A. y e. A ( F ` y ) = ( y H ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) /\ ( G Fn A /\ A. y e. A ( G ` y ) = ( y H ( G |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) -> ( ( R Fr A /\ R Se A ) -> ( z e. A -> ( F ` z ) = ( G ` z ) ) ) )
46	45	com12 32	. . . . 5 |- ( ( R Fr A /\ R Se A ) -> ( ( ( F Fn A /\ A. y e. A ( F ` y ) = ( y H ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) /\ ( G Fn A /\ A. y e. A ( G ` y ) = ( y H ( G |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) -> ( z e. A -> ( F ` z ) = ( G ` z ) ) ) )
47	46	3impib 1262	. . . 4 |- ( ( ( R Fr A /\ R Se A ) /\ ( F Fn A /\ A. y e. A ( F ` y ) = ( y H ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) /\ ( G Fn A /\ A. y e. A ( G ` y ) = ( y H ( G |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) -> ( z e. A -> ( F ` z ) = ( G ` z ) ) )
48	47	ralrimiv 2965	. . 3 |- ( ( ( R Fr A /\ R Se A ) /\ ( F Fn A /\ A. y e. A ( F ` y ) = ( y H ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) /\ ( G Fn A /\ A. y e. A ( G ` y ) = ( y H ( G |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) -> A. z e. A ( F ` z ) = ( G ` z ) )
49		eqid 2622	. . 3 |- A = A
50	48, 49	jctil 560	. 2 |- ( ( ( R Fr A /\ R Se A ) /\ ( F Fn A /\ A. y e. A ( F ` y ) = ( y H ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) /\ ( G Fn A /\ A. y e. A ( G ` y ) = ( y H ( G |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) -> ( A = A /\ A. z e. A ( F ` z ) = ( G ` z ) ) )
51		eqfnfv2 6312	. . . 4 |- ( ( F Fn A /\ G Fn A ) -> ( F = G <-> ( A = A /\ A. z e. A ( F ` z ) = ( G ` z ) ) ) )
52	51	ad2ant2r 783	. . 3 |- ( ( ( F Fn A /\ A. y e. A ( F ` y ) = ( y H ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) /\ ( G Fn A /\ A. y e. A ( G ` y ) = ( y H ( G |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) -> ( F = G <-> ( A = A /\ A. z e. A ( F ` z ) = ( G ` z ) ) ) )
53	52	3adant1 1079	. 2 |- ( ( ( R Fr A /\ R Se A ) /\ ( F Fn A /\ A. y e. A ( F ` y ) = ( y H ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) /\ ( G Fn A /\ A. y e. A ( G ` y ) = ( y H ( G |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) -> ( F = G <-> ( A = A /\ A. z e. A ( F ` z ) = ( G ` z ) ) ) )
54	50, 53	mpbird 247	1 |- ( ( ( R Fr A /\ R Se A ) /\ ( F Fn A /\ A. y e. A ( F ` y ) = ( y H ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) /\ ( G Fn A /\ A. y e. A ( G ` y ) = ( y H ( G |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) -> F = G )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   Fr wfr 5070   Se wse 5071   |` cres 5116   Predcpred 5679   Fn wfn 5883   ` cfv 5888  (class class class)co 6650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-trpred 31718

This theorem is referenced by:  frrlem5  31784