Theorem frrlem10 31791

Description: Lemma for founded recursion. The union of all acceptable functions is a function. (Contributed by Paul Chapman, 21-Apr-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
frrlem10.1	|- R Fr A
frrlem10.2	|- R Se A
frrlem10.3	|- B = { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) }
frrlem10.4	|- F = U. B

Assertion

Ref	Expression
frrlem10	|- Fun F

Distinct variable groups:   A, f, x, y   x, F   f, G, x, y   R, f, x, y   x, B

Allowed substitution hints:   B( y, f)   F( y, f)

Proof of Theorem frrlem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3624	. . 3 |- B C_ B
2		frrlem10.1	. . . 4 |- R Fr A
3		frrlem10.2	. . . 4 |- R Se A
4		frrlem10.3	. . . 4 |- B = { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) }
5	2, 3, 4	frrlem5c 31786	. . 3 |- ( B C_ B -> Fun U. B )
6	1, 5	ax-mp 5	. 2 |- Fun U. B
7		frrlem10.4	. . 3 |- F = U. B
8	7	funeqi 5909	. 2 |- ( Fun F <-> Fun U. B )
9	6, 8	mpbir 221	1 |- Fun F

Syntax hints:   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   {cab 2608   A.wral 2912   C_ wss 3574   U.cuni 4436   Fr wfr 5070   Se wse 5071   |` cres 5116   Predcpred 5679   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   ` cfv 5888  (class class class)co 6650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-trpred 31718

This theorem is referenced by:  frrlem11  31792