Theorem frrlem5c 31786

Description: Lemma for founded recursion. The union of a subclass of B is a function. (Contributed by Paul Chapman, 29-Apr-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
frrlem5.1	|- R Fr A
frrlem5.2	|- R Se A
frrlem5.3	|- B = { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) }

Assertion

Ref	Expression
frrlem5c	|- ( C C_ B -> Fun U. C )

Distinct variable groups:   A, f, x, y   f, G, x, y   R, f, x, y   x, B

Allowed substitution hints:   B( y, f)   C( x, y, f)

Proof of Theorem frrlem5c

Dummy variables g h u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniss 4458	. 2 |- ( C C_ B -> U. C C_ U. B )
2		ssid 3624	. . . 4 |- B C_ B
3		frrlem5.1	. . . . 5 |- R Fr A
4		frrlem5.2	. . . . 5 |- R Se A
5		frrlem5.3	. . . . 5 |- B = { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) }
6	3, 4, 5	frrlem5b 31785	. . . 4 |- ( B C_ B -> Rel U. B )
7	2, 6	ax-mp 5	. . 3 |- Rel U. B
8		eluni 4439	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , u >. e. U. B <-> E. g ( <. x , u >. e. g /\ g e. B ) )
9		df-br 4654	. . . . . . . . 9 |- ( x U. B u <-> <. x , u >. e. U. B )
10		df-br 4654	. . . . . . . . . . 11 |- ( x g u <-> <. x , u >. e. g )
11	10	anbi1i 731	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x g u /\ g e. B ) <-> ( <. x , u >. e. g /\ g e. B ) )
12	11	exbii 1774	. . . . . . . . 9 |- ( E. g ( x g u /\ g e. B ) <-> E. g ( <. x , u >. e. g /\ g e. B ) )
13	8, 9, 12	3bitr4i 292	. . . . . . . 8 |- ( x U. B u <-> E. g ( x g u /\ g e. B ) )
14		eluni 4439	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , v >. e. U. B <-> E. h ( <. x , v >. e. h /\ h e. B ) )
15		df-br 4654	. . . . . . . . 9 |- ( x U. B v <-> <. x , v >. e. U. B )
16		df-br 4654	. . . . . . . . . . 11 |- ( x h v <-> <. x , v >. e. h )
17	16	anbi1i 731	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x h v /\ h e. B ) <-> ( <. x , v >. e. h /\ h e. B ) )
18	17	exbii 1774	. . . . . . . . 9 |- ( E. h ( x h v /\ h e. B ) <-> E. h ( <. x , v >. e. h /\ h e. B ) )
19	14, 15, 18	3bitr4i 292	. . . . . . . 8 |- ( x U. B v <-> E. h ( x h v /\ h e. B ) )
20	13, 19	anbi12i 733	. . . . . . 7 |- ( ( x U. B u /\ x U. B v ) <-> ( E. g ( x g u /\ g e. B ) /\ E. h ( x h v /\ h e. B ) ) )
21		eeanv 2182	. . . . . . 7 |- ( E. g E. h ( ( x g u /\ g e. B ) /\ ( x h v /\ h e. B ) ) <-> ( E. g ( x g u /\ g e. B ) /\ E. h ( x h v /\ h e. B ) ) )
22	20, 21	bitr4i 267	. . . . . 6 |- ( ( x U. B u /\ x U. B v ) <-> E. g E. h ( ( x g u /\ g e. B ) /\ ( x h v /\ h e. B ) ) )
23	3, 4, 5	frrlem5 31784	. . . . . . . . 9 |- ( ( g e. B /\ h e. B ) -> ( ( x g u /\ x h v ) -> u = v ) )
24	23	impcom 446	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x g u /\ x h v ) /\ ( g e. B /\ h e. B ) ) -> u = v )
25	24	an4s 869	. . . . . . 7 |- ( ( ( x g u /\ g e. B ) /\ ( x h v /\ h e. B ) ) -> u = v )
26	25	exlimivv 1860	. . . . . 6 |- ( E. g E. h ( ( x g u /\ g e. B ) /\ ( x h v /\ h e. B ) ) -> u = v )
27	22, 26	sylbi 207	. . . . 5 |- ( ( x U. B u /\ x U. B v ) -> u = v )
28	27	ax-gen 1722	. . . 4 |- A. v ( ( x U. B u /\ x U. B v ) -> u = v )
29	28	gen2 1723	. . 3 |- A. x A. u A. v ( ( x U. B u /\ x U. B v ) -> u = v )
30		dffun2 5898	. . 3 |- ( Fun U. B <-> ( Rel U. B /\ A. x A. u A. v ( ( x U. B u /\ x U. B v ) -> u = v ) ) )
31	7, 29, 30	mpbir2an 955	. 2 |- Fun U. B
32		funss 5907	. 2 |- ( U. C C_ U. B -> ( Fun U. B -> Fun U. C ) )
33	1, 31, 32	mpisyl 21	1 |- ( C C_ B -> Fun U. C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   C_ wss 3574   <.cop 4183   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   Fr wfr 5070   Se wse 5071   |` cres 5116   Rel wrel 5119   Predcpred 5679   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   ` cfv 5888  (class class class)co 6650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-trpred 31718

This theorem is referenced by:  frrlem10  31791