Theorem frrlem11 31792

Description: Lemma for founded recursion. Here, we calculate the value of F (the union of all acceptable functions). (Contributed by Paul Chapman, 21-Apr-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
frrlem10.1	|- R Fr A
frrlem10.2	|- R Se A
frrlem10.3	|- B = { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) }
frrlem10.4	|- F = U. B

Assertion

Ref	Expression
frrlem11	|- ( y e. dom F -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, f, x, y   x, F   f, G, x, y   R, f, x, y   x, B   f, F

Allowed substitution hints:   B( y, f)   F( y)

Proof of Theorem frrlem11

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3203	. . 3 |- y e. _V
2	1	eldm2 5322	. 2 |- ( y e. dom F <-> E. z <. y , z >. e. F )
3		frrlem10.4	. . . . . . 7 |- F = U. B
4		frrlem10.3	. . . . . . . 8 |- B = { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) }
5	4	unieqi 4445	. . . . . . 7 |- U. B = U. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) }
6	3, 5	eqtri 2644	. . . . . 6 |- F = U. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) }
7	6	eleq2i 2693	. . . . 5 |- ( <. y , z >. e. F <-> <. y , z >. e. U. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) } )
8		eluniab 4447	. . . . 5 |- ( <. y , z >. e. U. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) } <-> E. f ( <. y , z >. e. f /\ E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) ) )
9	7, 8	bitri 264	. . . 4 |- ( <. y , z >. e. F <-> E. f ( <. y , z >. e. f /\ E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) ) )
10	4	abeq2i 2735	. . . . . . . 8 |- ( f e. B <-> E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) )
11		elssuni 4467	. . . . . . . . 9 |- ( f e. B -> f C_ U. B )
12	11, 3	syl6sseqr 3652	. . . . . . . 8 |- ( f e. B -> f C_ F )
13	10, 12	sylbir 225	. . . . . . 7 |- ( E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) -> f C_ F )
14		fnop 5994	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f Fn x /\ <. y , z >. e. f ) -> y e. x )
15	14	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( f Fn x -> ( <. y , z >. e. f -> y e. x ) )
16		rsp 2929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) -> ( y e. x -> ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) )
17	16	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) -> ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) )
18		rsp 2929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x -> ( y e. x -> Pred ( R , A , y ) C_ x ) )
19		fndm 5990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( f Fn x -> dom f = x )
20		sseq2 3627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( dom f = x -> ( Pred ( R , A , y ) C_ dom f <-> Pred ( R , A , y ) C_ x ) )
21		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( dom f = x -> ( y e. dom f <-> y e. x ) )
22	20, 21	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( dom f = x -> ( ( Pred ( R , A , y ) C_ dom f /\ y e. dom f ) <-> ( Pred ( R , A , y ) C_ x /\ y e. x ) ) )
23	19, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( f Fn x -> ( ( Pred ( R , A , y ) C_ dom f /\ y e. dom f ) <-> ( Pred ( R , A , y ) C_ x /\ y e. x ) ) )
24	23	biimprd 238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( f Fn x -> ( ( Pred ( R , A , y ) C_ x /\ y e. x ) -> ( Pred ( R , A , y ) C_ dom f /\ y e. dom f ) ) )
25	24	expd 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( f Fn x -> ( Pred ( R , A , y ) C_ x -> ( y e. x -> ( Pred ( R , A , y ) C_ dom f /\ y e. dom f ) ) ) )
26	25	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( Pred ( R , A , y ) C_ x /\ f Fn x ) -> ( y e. x -> ( Pred ( R , A , y ) C_ dom f /\ y e. dom f ) ) )
27		frrlem10.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- R Fr A
28		frrlem10.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- R Se A
29	27, 28, 4, 3	frrlem10 31791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- Fun F
30		funssfv 6209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( Fun F /\ f C_ F /\ y e. dom f ) -> ( F ` y ) = ( f ` y ) )
31	30	3adant3l 1322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( Fun F /\ f C_ F /\ ( Pred ( R , A , y ) C_ dom f /\ y e. dom f ) ) -> ( F ` y ) = ( f ` y ) )
32		fun2ssres 5931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( Fun F /\ f C_ F /\ Pred ( R , A , y ) C_ dom f ) -> ( F |` Pred ( R , A , y ) ) = ( f |` Pred ( R , A , y ) ) )
33	32	3adant3r 1323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( Fun F /\ f C_ F /\ ( Pred ( R , A , y ) C_ dom f /\ y e. dom f ) ) -> ( F |` Pred ( R , A , y ) ) = ( f |` Pred ( R , A , y ) ) )
34	33	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( Fun F /\ f C_ F /\ ( Pred ( R , A , y ) C_ dom f /\ y e. dom f ) ) -> ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) )
35	31, 34	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( Fun F /\ f C_ F /\ ( Pred ( R , A , y ) C_ dom f /\ y e. dom f ) ) -> ( ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) <-> ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) )
36	35	biimprd 238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( Fun F /\ f C_ F /\ ( Pred ( R , A , y ) C_ dom f /\ y e. dom f ) ) -> ( ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) )
37	29, 36	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( f C_ F /\ ( Pred ( R , A , y ) C_ dom f /\ y e. dom f ) ) -> ( ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) )
38	37	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( Pred ( R , A , y ) C_ dom f /\ y e. dom f ) -> ( f C_ F -> ( ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) )
39	38	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( Pred ( R , A , y ) C_ dom f /\ y e. dom f ) -> ( ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) )
40	26, 39	syl6com 37	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y e. x -> ( ( Pred ( R , A , y ) C_ x /\ f Fn x ) -> ( ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) ) )
41	40	expd 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y e. x -> ( Pred ( R , A , y ) C_ x -> ( f Fn x -> ( ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) ) ) )
42	41	com34 91	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. x -> ( Pred ( R , A , y ) C_ x -> ( ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) -> ( f Fn x -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) ) ) )
43	18, 42	sylcom 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x -> ( y e. x -> ( ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) -> ( f Fn x -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) ) ) )
44	43	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) -> ( y e. x -> ( ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) -> ( f Fn x -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) ) ) )
45	44	com14 96	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f Fn x -> ( y e. x -> ( ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) -> ( ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) ) ) )
46	17, 45	syl7 74	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f Fn x -> ( y e. x -> ( ( y e. x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) -> ( ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) ) ) )
47	46	exp4a 633	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f Fn x -> ( y e. x -> ( y e. x -> ( A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) -> ( ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) ) ) ) )
48	47	pm2.43d 53	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f Fn x -> ( y e. x -> ( A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) -> ( ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) ) ) )
49	48	com34 91	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f Fn x -> ( y e. x -> ( ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) -> ( A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) ) ) )
50	49	imp 445	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f Fn x /\ y e. x ) -> ( ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) -> ( A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) ) )
51	50	expd 452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f Fn x /\ y e. x ) -> ( x C_ A -> ( A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x -> ( A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) ) ) )
52	51	3impd 1281	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f Fn x /\ y e. x ) -> ( ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) )
53	52	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( f Fn x -> ( y e. x -> ( ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) ) )
54	15, 53	syldc 48	. . . . . . . . 9 |- ( <. y , z >. e. f -> ( f Fn x -> ( ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) ) )
55	54	impd 447	. . . . . . . 8 |- ( <. y , z >. e. f -> ( ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) )
56	55	exlimdv 1861	. . . . . . 7 |- ( <. y , z >. e. f -> ( E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) )
57	13, 56	mpdi 45	. . . . . 6 |- ( <. y , z >. e. f -> ( E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) )
58	57	imp 445	. . . . 5 |- ( ( <. y , z >. e. f /\ E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) ) -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) )
59	58	exlimiv 1858	. . . 4 |- ( E. f ( <. y , z >. e. f /\ E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) ) -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) )
60	9, 59	sylbi 207	. . 3 |- ( <. y , z >. e. F -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) )
61	60	exlimiv 1858	. 2 |- ( E. z <. y , z >. e. F -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) )
62	2, 61	sylbi 207	1 |- ( y e. dom F -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   C_ wss 3574   <.cop 4183   U.cuni 4436   Fr wfr 5070   Se wse 5071   dom cdm 5114   |` cres 5116   Predcpred 5679   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   ` cfv 5888  (class class class)co 6650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-trpred 31718

This theorem is referenced by: (None)