Theorem fsuppmptif 8305

Description: A function mapping an argument to either a value of a finitely supported function or zero is finitely supported. (Contributed by AV, 6-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsuppmptif.f	|- ( ph -> F : A --> B )
fsuppmptif.a	|- ( ph -> A e. V )
fsuppmptif.z	|- ( ph -> Z e. W )
fsuppmptif.s	|- ( ph -> F finSupp Z )

Assertion

Ref	Expression
fsuppmptif	|- ( ph -> ( k e. A |-> if ( k e. D , ( F ` k ) , Z ) ) finSupp Z )

Distinct variable groups:   A, k   k, F   k, Z   ph, k

Allowed substitution hints:   B( k)   D( k)   V( k)   W( k)

Proof of Theorem fsuppmptif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6201	. . . . 5 |- ( F ` k ) e. _V
2		fsuppmptif.z	. . . . . 6 |- ( ph -> Z e. W )
3	2	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> Z e. W )
4		ifexg 4157	. . . . 5 |- ( ( ( F ` k ) e. _V /\ Z e. W ) -> if ( k e. D , ( F ` k ) , Z ) e. _V )
5	1, 3, 4	sylancr 695	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. D , ( F ` k ) , Z ) e. _V )
6		eqid 2622	. . . 4 |- ( k e. A |-> if ( k e. D , ( F ` k ) , Z ) ) = ( k e. A |-> if ( k e. D , ( F ` k ) , Z ) )
7	5, 6	fmptd 6385	. . 3 |- ( ph -> ( k e. A |-> if ( k e. D , ( F ` k ) , Z ) ) : A --> _V )
8		ffun 6048	. . 3 |- ( ( k e. A |-> if ( k e. D , ( F ` k ) , Z ) ) : A --> _V -> Fun ( k e. A |-> if ( k e. D , ( F ` k ) , Z ) ) )
9	7, 8	syl 17	. 2 |- ( ph -> Fun ( k e. A |-> if ( k e. D , ( F ` k ) , Z ) ) )
10		fsuppmptif.s	. . . 4 |- ( ph -> F finSupp Z )
11	10	fsuppimpd 8282	. . 3 |- ( ph -> ( F supp Z ) e. Fin )
12		fsuppmptif.f	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : A --> B )
13		ssid 3624	. . . . . . . 8 |- ( F supp Z ) C_ ( F supp Z )
14	13	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F supp Z ) C_ ( F supp Z ) )
15		fsuppmptif.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. V )
16	12, 14, 15, 2	suppssr 7326	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( A \ ( F supp Z ) ) ) -> ( F ` k ) = Z )
17	16	ifeq1d 4104	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( A \ ( F supp Z ) ) ) -> if ( k e. D , ( F ` k ) , Z ) = if ( k e. D , Z , Z ) )
18		ifid 4125	. . . . 5 |- if ( k e. D , Z , Z ) = Z
19	17, 18	syl6eq 2672	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( A \ ( F supp Z ) ) ) -> if ( k e. D , ( F ` k ) , Z ) = Z )
20	19, 15	suppss2 7329	. . 3 |- ( ph -> ( ( k e. A |-> if ( k e. D , ( F ` k ) , Z ) ) supp Z ) C_ ( F supp Z ) )
21		ssfi 8180	. . 3 |- ( ( ( F supp Z ) e. Fin /\ ( ( k e. A |-> if ( k e. D , ( F ` k ) , Z ) ) supp Z ) C_ ( F supp Z ) ) -> ( ( k e. A |-> if ( k e. D , ( F ` k ) , Z ) ) supp Z ) e. Fin )
22	11, 20, 21	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( ( k e. A |-> if ( k e. D , ( F ` k ) , Z ) ) supp Z ) e. Fin )
23		mptexg 6484	. . . 4 |- ( A e. V -> ( k e. A |-> if ( k e. D , ( F ` k ) , Z ) ) e. _V )
24	15, 23	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( k e. A |-> if ( k e. D , ( F ` k ) , Z ) ) e. _V )
25		isfsupp 8279	. . 3 |- ( ( ( k e. A |-> if ( k e. D , ( F ` k ) , Z ) ) e. _V /\ Z e. W ) -> ( ( k e. A |-> if ( k e. D , ( F ` k ) , Z ) ) finSupp Z <-> ( Fun ( k e. A |-> if ( k e. D , ( F ` k ) , Z ) ) /\ ( ( k e. A |-> if ( k e. D , ( F ` k ) , Z ) ) supp Z ) e. Fin ) ) )
26	24, 2, 25	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( ( k e. A |-> if ( k e. D , ( F ` k ) , Z ) ) finSupp Z <-> ( Fun ( k e. A |-> if ( k e. D , ( F ` k ) , Z ) ) /\ ( ( k e. A |-> if ( k e. D , ( F ` k ) , Z ) ) supp Z ) e. Fin ) ) )
27	9, 22, 26	mpbir2and 957	1 |- ( ph -> ( k e. A |-> if ( k e. D , ( F ` k ) , Z ) ) finSupp Z )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   Fun wfun 5882   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supp csupp 7295   Fincfn 7955   finSupp cfsupp 8275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-supp 7296  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-fsupp 8276

This theorem is referenced by:  cantnflem1d  8585  gsumzsplit  18327