Theorem cantnflem1d 8585

Description: Lemma for cantnf 8590. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2015.) (Revised by AV, 2-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfs.s	|- S = dom ( A CNF B )
cantnfs.a	|- ( ph -> A e. On )
cantnfs.b	|- ( ph -> B e. On )
oemapval.t	|- T = { <. x , y >. | E. z e. B ( ( x ` z ) e. ( y ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) }
oemapval.f	|- ( ph -> F e. S )
oemapval.g	|- ( ph -> G e. S )
oemapvali.r	|- ( ph -> F T G )
oemapvali.x	|- X = U. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) }
cantnflem1.o	|- O = OrdIso ( _E , ( G supp (/) ) )
cantnflem1.h	|- H = seq𝜔 ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o ( O ` k ) ) .o ( G ` ( O ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) )

Assertion

Ref	Expression
cantnflem1d	|- ( ph -> ( ( A CNF B ) ` ( x e. B |-> if ( x C_ X , ( F ` x ) , (/) ) ) ) e. ( H ` suc ( `' O ` X ) ) )

Distinct variable groups:   k, c, w, x, y, z, B   A, c, k, w, x, y, z   T, c, k   k, F, w, x, y, z   S, c, k, x, y, z   G, c, k, w, x, y, z   x, H, y   k, O, w, x, y, z   ph, k, x, y, z   k, X, w, x, y, z   F, c   ph, c

Allowed substitution hints:   ph( w)   S( w)   T( x, y, z, w)   H( z, w, k, c)   O( c)   X( c)

Proof of Theorem cantnflem1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cantnfs.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. On )
2		cantnfs.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. On )
3		cantnfs.s	. . . . . . . . 9 |- S = dom ( A CNF B )
4		oemapval.t	. . . . . . . . 9 |- T = { <. x , y >. | E. z e. B ( ( x ` z ) e. ( y ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) }
5		oemapval.f	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F e. S )
6		oemapval.g	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G e. S )
7		oemapvali.r	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F T G )
8		oemapvali.x	. . . . . . . . 9 |- X = U. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) }
9	3, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8	oemapvali 8581	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( X e. B /\ ( F ` X ) e. ( G ` X ) /\ A. w e. B ( X e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) )
10	9	simp1d 1073	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. B )
11		onelon 5748	. . . . . . 7 |- ( ( B e. On /\ X e. B ) -> X e. On )
12	2, 10, 11	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. On )
13		oecl 7617	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ X e. On ) -> ( A ^o X ) e. On )
14	1, 12, 13	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( A ^o X ) e. On )
15	3, 1, 2	cantnfs 8563	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G e. S <-> ( G : B --> A /\ G finSupp (/) ) ) )
16	6, 15	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G : B --> A /\ G finSupp (/) ) )
17	16	simpld 475	. . . . . . 7 |- ( ph -> G : B --> A )
18	17, 10	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G ` X ) e. A )
19		onelon 5748	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ ( G ` X ) e. A ) -> ( G ` X ) e. On )
20	1, 18, 19	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( G ` X ) e. On )
21		omcl 7616	. . . . 5 |- ( ( ( A ^o X ) e. On /\ ( G ` X ) e. On ) -> ( ( A ^o X ) .o ( G ` X ) ) e. On )
22	14, 20, 21	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A ^o X ) .o ( G ` X ) ) e. On )
23		suppssdm 7308	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G supp (/) ) C_ dom G
24		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G : B --> A -> dom G = B )
25	17, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> dom G = B )
26	23, 25	syl5sseq 3653	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( G supp (/) ) C_ B )
27	2, 26	ssexd 4805	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( G supp (/) ) e. _V )
28		cantnflem1.o	. . . . . . . . . . . 12 |- O = OrdIso ( _E , ( G supp (/) ) )
29	3, 1, 2, 28, 6	cantnfcl 8564	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( _E We ( G supp (/) ) /\ dom O e. om ) )
30	29	simpld 475	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> _E We ( G supp (/) ) )
31	28	oiiso 8442	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G supp (/) ) e. _V /\ _E We ( G supp (/) ) ) -> O Isom _E , _E ( dom O , ( G supp (/) ) ) )
32	27, 30, 31	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> O Isom _E , _E ( dom O , ( G supp (/) ) ) )
33		isof1o 6573	. . . . . . . . 9 |- ( O Isom _E , _E ( dom O , ( G supp (/) ) ) -> O : dom O -1-1-onto-> ( G supp (/) ) )
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> O : dom O -1-1-onto-> ( G supp (/) ) )
35		f1ocnv 6149	. . . . . . . 8 |- ( O : dom O -1-1-onto-> ( G supp (/) ) -> `' O : ( G supp (/) ) -1-1-onto-> dom O )
36		f1of 6137	. . . . . . . 8 |- ( `' O : ( G supp (/) ) -1-1-onto-> dom O -> `' O : ( G supp (/) ) --> dom O )
37	34, 35, 36	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ph -> `' O : ( G supp (/) ) --> dom O )
38	3, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8	cantnflem1a 8582	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. ( G supp (/) ) )
39	37, 38	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ph -> ( `' O ` X ) e. dom O )
40	29	simprd 479	. . . . . 6 |- ( ph -> dom O e. om )
41		elnn 7075	. . . . . 6 |- ( ( ( `' O ` X ) e. dom O /\ dom O e. om ) -> ( `' O ` X ) e. om )
42	39, 40, 41	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( `' O ` X ) e. om )
43		cantnflem1.h	. . . . . . 7 |- H = seq𝜔 ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o ( O ` k ) ) .o ( G ` ( O ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) )
44	43	cantnfvalf 8562	. . . . . 6 |- H : om --> On
45	44	ffvelrni 6358	. . . . 5 |- ( ( `' O ` X ) e. om -> ( H ` ( `' O ` X ) ) e. On )
46	42, 45	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( H ` ( `' O ` X ) ) e. On )
47		oaword1 7632	. . . 4 |- ( ( ( ( A ^o X ) .o ( G ` X ) ) e. On /\ ( H ` ( `' O ` X ) ) e. On ) -> ( ( A ^o X ) .o ( G ` X ) ) C_ ( ( ( A ^o X ) .o ( G ` X ) ) +o ( H ` ( `' O ` X ) ) ) )
48	22, 46, 47	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( ( A ^o X ) .o ( G ` X ) ) C_ ( ( ( A ^o X ) .o ( G ` X ) ) +o ( H ` ( `' O ` X ) ) ) )
49	3, 1, 2, 28, 6, 43	cantnfsuc 8567	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( `' O ` X ) e. om ) -> ( H ` suc ( `' O ` X ) ) = ( ( ( A ^o ( O ` ( `' O ` X ) ) ) .o ( G ` ( O ` ( `' O ` X ) ) ) ) +o ( H ` ( `' O ` X ) ) ) )
50	42, 49	mpdan 702	. . . 4 |- ( ph -> ( H ` suc ( `' O ` X ) ) = ( ( ( A ^o ( O ` ( `' O ` X ) ) ) .o ( G ` ( O ` ( `' O ` X ) ) ) ) +o ( H ` ( `' O ` X ) ) ) )
51		f1ocnvfv2 6533	. . . . . . . 8 |- ( ( O : dom O -1-1-onto-> ( G supp (/) ) /\ X e. ( G supp (/) ) ) -> ( O ` ( `' O ` X ) ) = X )
52	34, 38, 51	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( O ` ( `' O ` X ) ) = X )
53	52	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A ^o ( O ` ( `' O ` X ) ) ) = ( A ^o X ) )
54	52	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G ` ( O ` ( `' O ` X ) ) ) = ( G ` X ) )
55	53, 54	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A ^o ( O ` ( `' O ` X ) ) ) .o ( G ` ( O ` ( `' O ` X ) ) ) ) = ( ( A ^o X ) .o ( G ` X ) ) )
56	55	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( A ^o ( O ` ( `' O ` X ) ) ) .o ( G ` ( O ` ( `' O ` X ) ) ) ) +o ( H ` ( `' O ` X ) ) ) = ( ( ( A ^o X ) .o ( G ` X ) ) +o ( H ` ( `' O ` X ) ) ) )
57	50, 56	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ph -> ( H ` suc ( `' O ` X ) ) = ( ( ( A ^o X ) .o ( G ` X ) ) +o ( H ` ( `' O ` X ) ) ) )
58	48, 57	sseqtr4d 3642	. 2 |- ( ph -> ( ( A ^o X ) .o ( G ` X ) ) C_ ( H ` suc ( `' O ` X ) ) )
59		onss 6990	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. On -> B C_ On )
60	2, 59	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B C_ On )
61	60	sselda 3603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> x e. On )
62	12	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> X e. On )
63		onsseleq 5765	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. On /\ X e. On ) -> ( x C_ X <-> ( x e. X \/ x = X ) ) )
64	61, 62, 63	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( x C_ X <-> ( x e. X \/ x = X ) ) )
65		orcom 402	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. X \/ x = X ) <-> ( x = X \/ x e. X ) )
66	64, 65	syl6bb 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( x C_ X <-> ( x = X \/ x e. X ) ) )
67	66	ifbid 4108	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> if ( x C_ X , ( F ` x ) , (/) ) = if ( ( x = X \/ x e. X ) , ( F ` x ) , (/) ) )
68	67	mpteq2dva 4744	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. B |-> if ( x C_ X , ( F ` x ) , (/) ) ) = ( x e. B |-> if ( ( x = X \/ x e. X ) , ( F ` x ) , (/) ) ) )
69	68	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A CNF B ) ` ( x e. B |-> if ( x C_ X , ( F ` x ) , (/) ) ) ) = ( ( A CNF B ) ` ( x e. B |-> if ( ( x = X \/ x e. X ) , ( F ` x ) , (/) ) ) ) )
70	3, 1, 2	cantnfs 8563	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( F e. S <-> ( F : B --> A /\ F finSupp (/) ) ) )
71	5, 70	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F : B --> A /\ F finSupp (/) ) )
72	71	simpld 475	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : B --> A )
73	72	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> ( F ` y ) e. A )
74		ne0i 3921	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G ` X ) e. A -> A =/= (/) )
75	18, 74	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A =/= (/) )
76		on0eln0 5780	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. On -> ( (/) e. A <-> A =/= (/) ) )
77	1, 76	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( (/) e. A <-> A =/= (/) ) )
78	75, 77	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> (/) e. A )
79	78	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> (/) e. A )
80	73, 79	ifcld 4131	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> if ( y e. X , ( F ` y ) , (/) ) e. A )
81		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( y e. B |-> if ( y e. X , ( F ` y ) , (/) ) ) = ( y e. B |-> if ( y e. X , ( F ` y ) , (/) ) )
82	80, 81	fmptd 6385	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( y e. B |-> if ( y e. X , ( F ` y ) , (/) ) ) : B --> A )
83		0ex 4790	. . . . . . . . 9 |- (/) e. _V
84	83	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (/) e. _V )
85	71	simprd 479	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F finSupp (/) )
86	72, 2, 84, 85	fsuppmptif 8305	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( y e. B |-> if ( y e. X , ( F ` y ) , (/) ) ) finSupp (/) )
87	3, 1, 2	cantnfs 8563	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( y e. B |-> if ( y e. X , ( F ` y ) , (/) ) ) e. S <-> ( ( y e. B |-> if ( y e. X , ( F ` y ) , (/) ) ) : B --> A /\ ( y e. B |-> if ( y e. X , ( F ` y ) , (/) ) ) finSupp (/) ) ) )
88	82, 86, 87	mpbir2and 957	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. B |-> if ( y e. X , ( F ` y ) , (/) ) ) e. S )
89	72, 10	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` X ) e. A )
90		eldifn 3733	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( B \ X ) -> -. y e. X )
91	90	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( B \ X ) ) -> -. y e. X )
92	91	iffalsed 4097	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( B \ X ) ) -> if ( y e. X , ( F ` y ) , (/) ) = (/) )
93	92, 2	suppss2 7329	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( y e. B |-> if ( y e. X , ( F ` y ) , (/) ) ) supp (/) ) C_ X )
94		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = X -> ( F ` x ) = ( F ` X ) )
95	94	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. B /\ x = X ) -> ( F ` x ) = ( F ` X ) )
96	95	ifeq1da 4116	. . . . . . . . 9 |- ( x e. B -> if ( x = X , ( F ` x ) , ( ( y e. B |-> if ( y e. X , ( F ` y ) , (/) ) ) ` x ) ) = if ( x = X , ( F ` X ) , ( ( y e. B |-> if ( y e. X , ( F ` y ) , (/) ) ) ` x ) ) )
97		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = x -> ( y e. X <-> x e. X ) )
98		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = x -> ( F ` y ) = ( F ` x ) )
99	97, 98	ifbieq1d 4109	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = x -> if ( y e. X , ( F ` y ) , (/) ) = if ( x e. X , ( F ` x ) , (/) ) )
100		fvex 6201	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F ` x ) e. _V
101	100, 83	ifex 4156	. . . . . . . . . . 11 |- if ( x e. X , ( F ` x ) , (/) ) e. _V
102	99, 81, 101	fvmpt 6282	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. B -> ( ( y e. B |-> if ( y e. X , ( F ` y ) , (/) ) ) ` x ) = if ( x e. X , ( F ` x ) , (/) ) )
103	102	ifeq2d 4105	. . . . . . . . 9 |- ( x e. B -> if ( x = X , ( F ` x ) , ( ( y e. B |-> if ( y e. X , ( F ` y ) , (/) ) ) ` x ) ) = if ( x = X , ( F ` x ) , if ( x e. X , ( F ` x ) , (/) ) ) )
104	96, 103	eqtr3d 2658	. . . . . . . 8 |- ( x e. B -> if ( x = X , ( F ` X ) , ( ( y e. B |-> if ( y e. X , ( F ` y ) , (/) ) ) ` x ) ) = if ( x = X , ( F ` x ) , if ( x e. X , ( F ` x ) , (/) ) ) )
105		ifor 4135	. . . . . . . 8 |- if ( ( x = X \/ x e. X ) , ( F ` x ) , (/) ) = if ( x = X , ( F ` x ) , if ( x e. X , ( F ` x ) , (/) ) )
106	104, 105	syl6reqr 2675	. . . . . . 7 |- ( x e. B -> if ( ( x = X \/ x e. X ) , ( F ` x ) , (/) ) = if ( x = X , ( F ` X ) , ( ( y e. B |-> if ( y e. X , ( F ` y ) , (/) ) ) ` x ) ) )
107	106	mpteq2ia 4740	. . . . . 6 |- ( x e. B |-> if ( ( x = X \/ x e. X ) , ( F ` x ) , (/) ) ) = ( x e. B |-> if ( x = X , ( F ` X ) , ( ( y e. B |-> if ( y e. X , ( F ` y ) , (/) ) ) ` x ) ) )
108	3, 1, 2, 88, 10, 89, 93, 107	cantnfp1 8578	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. B |-> if ( ( x = X \/ x e. X ) , ( F ` x ) , (/) ) ) e. S /\ ( ( A CNF B ) ` ( x e. B |-> if ( ( x = X \/ x e. X ) , ( F ` x ) , (/) ) ) ) = ( ( ( A ^o X ) .o ( F ` X ) ) +o ( ( A CNF B ) ` ( y e. B |-> if ( y e. X , ( F ` y ) , (/) ) ) ) ) ) )
109	108	simprd 479	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A CNF B ) ` ( x e. B |-> if ( ( x = X \/ x e. X ) , ( F ` x ) , (/) ) ) ) = ( ( ( A ^o X ) .o ( F ` X ) ) +o ( ( A CNF B ) ` ( y e. B |-> if ( y e. X , ( F ` y ) , (/) ) ) ) ) )
110	69, 109	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ph -> ( ( A CNF B ) ` ( x e. B |-> if ( x C_ X , ( F ` x ) , (/) ) ) ) = ( ( ( A ^o X ) .o ( F ` X ) ) +o ( ( A CNF B ) ` ( y e. B |-> if ( y e. X , ( F ` y ) , (/) ) ) ) ) )
111		onelon 5748	. . . . . . 7 |- ( ( A e. On /\ ( F ` X ) e. A ) -> ( F ` X ) e. On )
112	1, 89, 111	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` X ) e. On )
113		omsuc 7606	. . . . . 6 |- ( ( ( A ^o X ) e. On /\ ( F ` X ) e. On ) -> ( ( A ^o X ) .o suc ( F ` X ) ) = ( ( ( A ^o X ) .o ( F ` X ) ) +o ( A ^o X ) ) )
114	14, 112, 113	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A ^o X ) .o suc ( F ` X ) ) = ( ( ( A ^o X ) .o ( F ` X ) ) +o ( A ^o X ) ) )
115		eloni 5733	. . . . . . . 8 |- ( ( G ` X ) e. On -> Ord ( G ` X ) )
116	20, 115	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> Ord ( G ` X ) )
117	9	simp2d 1074	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` X ) e. ( G ` X ) )
118		ordsucss 7018	. . . . . . 7 |- ( Ord ( G ` X ) -> ( ( F ` X ) e. ( G ` X ) -> suc ( F ` X ) C_ ( G ` X ) ) )
119	116, 117, 118	sylc 65	. . . . . 6 |- ( ph -> suc ( F ` X ) C_ ( G ` X ) )
120		suceloni 7013	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` X ) e. On -> suc ( F ` X ) e. On )
121	112, 120	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> suc ( F ` X ) e. On )
122		omwordi 7651	. . . . . . 7 |- ( ( suc ( F ` X ) e. On /\ ( G ` X ) e. On /\ ( A ^o X ) e. On ) -> ( suc ( F ` X ) C_ ( G ` X ) -> ( ( A ^o X ) .o suc ( F ` X ) ) C_ ( ( A ^o X ) .o ( G ` X ) ) ) )
123	121, 20, 14, 122	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ph -> ( suc ( F ` X ) C_ ( G ` X ) -> ( ( A ^o X ) .o suc ( F ` X ) ) C_ ( ( A ^o X ) .o ( G ` X ) ) ) )
124	119, 123	mpd 15	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A ^o X ) .o suc ( F ` X ) ) C_ ( ( A ^o X ) .o ( G ` X ) ) )
125	114, 124	eqsstr3d 3640	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( A ^o X ) .o ( F ` X ) ) +o ( A ^o X ) ) C_ ( ( A ^o X ) .o ( G ` X ) ) )
126	3, 1, 2, 88, 78, 12, 93	cantnflt2 8570	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A CNF B ) ` ( y e. B |-> if ( y e. X , ( F ` y ) , (/) ) ) ) e. ( A ^o X ) )
127		onelon 5748	. . . . . . 7 |- ( ( ( A ^o X ) e. On /\ ( ( A CNF B ) ` ( y e. B |-> if ( y e. X , ( F ` y ) , (/) ) ) ) e. ( A ^o X ) ) -> ( ( A CNF B ) ` ( y e. B |-> if ( y e. X , ( F ` y ) , (/) ) ) ) e. On )
128	14, 126, 127	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( A CNF B ) ` ( y e. B |-> if ( y e. X , ( F ` y ) , (/) ) ) ) e. On )
129		omcl 7616	. . . . . . 7 |- ( ( ( A ^o X ) e. On /\ ( F ` X ) e. On ) -> ( ( A ^o X ) .o ( F ` X ) ) e. On )
130	14, 112, 129	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( A ^o X ) .o ( F ` X ) ) e. On )
131		oaord 7627	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A CNF B ) ` ( y e. B |-> if ( y e. X , ( F ` y ) , (/) ) ) ) e. On /\ ( A ^o X ) e. On /\ ( ( A ^o X ) .o ( F ` X ) ) e. On ) -> ( ( ( A CNF B ) ` ( y e. B |-> if ( y e. X , ( F ` y ) , (/) ) ) ) e. ( A ^o X ) <-> ( ( ( A ^o X ) .o ( F ` X ) ) +o ( ( A CNF B ) ` ( y e. B |-> if ( y e. X , ( F ` y ) , (/) ) ) ) ) e. ( ( ( A ^o X ) .o ( F ` X ) ) +o ( A ^o X ) ) ) )
132	128, 14, 130, 131	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( A CNF B ) ` ( y e. B |-> if ( y e. X , ( F ` y ) , (/) ) ) ) e. ( A ^o X ) <-> ( ( ( A ^o X ) .o ( F ` X ) ) +o ( ( A CNF B ) ` ( y e. B |-> if ( y e. X , ( F ` y ) , (/) ) ) ) ) e. ( ( ( A ^o X ) .o ( F ` X ) ) +o ( A ^o X ) ) ) )
133	126, 132	mpbid 222	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( A ^o X ) .o ( F ` X ) ) +o ( ( A CNF B ) ` ( y e. B |-> if ( y e. X , ( F ` y ) , (/) ) ) ) ) e. ( ( ( A ^o X ) .o ( F ` X ) ) +o ( A ^o X ) ) )
134	125, 133	sseldd 3604	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( A ^o X ) .o ( F ` X ) ) +o ( ( A CNF B ) ` ( y e. B |-> if ( y e. X , ( F ` y ) , (/) ) ) ) ) e. ( ( A ^o X ) .o ( G ` X ) ) )
135	110, 134	eqeltrd 2701	. 2 |- ( ph -> ( ( A CNF B ) ` ( x e. B |-> if ( x C_ X , ( F ` x ) , (/) ) ) ) e. ( ( A ^o X ) .o ( G ` X ) ) )
136	58, 135	sseldd 3604	1 |- ( ph -> ( ( A CNF B ) ` ( x e. B |-> if ( x C_ X , ( F ` x ) , (/) ) ) ) e. ( H ` suc ( `' O ` X ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   {copab 4712   |-> cmpt 4729   _E cep 5028   We wwe 5072   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   Ord word 5722   Oncon0 5723   suc csuc 5725   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   Isom wiso 5889  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   omcom 7065   supp csupp 7295  seq_𝜔cseqom 7542   +o coa 7557   .o comu 7558   ^o coe 7559   finSupp cfsupp 8275  OrdIsocoi 8414   CNF ccnf 8558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-seqom 7543  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-oexp 7566  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-cnf 8559

This theorem is referenced by:  cantnflem1  8586