Theorem fsuppun 8294

Description: The union of two finitely supported functions is finitely supported (but not necessarily a function!). (Contributed by AV, 3-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsuppun.f	|- ( ph -> F finSupp Z )
fsuppun.g	|- ( ph -> G finSupp Z )

Assertion

Ref	Expression
fsuppun	|- ( ph -> ( ( F u. G ) supp Z ) e. Fin )

Proof of Theorem fsuppun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvun 5538	. . . . . . 7 |- `' ( F u. G ) = ( `' F u. `' G )
2	1	imaeq1i 5463	. . . . . 6 |- ( `' ( F u. G ) " ( _V \ { Z } ) ) = ( ( `' F u. `' G ) " ( _V \ { Z } ) )
3		imaundir 5546	. . . . . 6 |- ( ( `' F u. `' G ) " ( _V \ { Z } ) ) = ( ( `' F " ( _V \ { Z } ) ) u. ( `' G " ( _V \ { Z } ) ) )
4	2, 3	eqtri 2644	. . . . 5 |- ( `' ( F u. G ) " ( _V \ { Z } ) ) = ( ( `' F " ( _V \ { Z } ) ) u. ( `' G " ( _V \ { Z } ) ) )
5		unexb 6958	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. _V /\ G e. _V ) <-> ( F u. G ) e. _V )
6		simpl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. _V /\ G e. _V ) -> F e. _V )
7	5, 6	sylbir 225	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F u. G ) e. _V -> F e. _V )
8		suppimacnv 7306	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. _V /\ Z e. _V ) -> ( F supp Z ) = ( `' F " ( _V \ { Z } ) ) )
9	7, 8	sylan 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F u. G ) e. _V /\ Z e. _V ) -> ( F supp Z ) = ( `' F " ( _V \ { Z } ) ) )
10	9	eqcomd 2628	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F u. G ) e. _V /\ Z e. _V ) -> ( `' F " ( _V \ { Z } ) ) = ( F supp Z ) )
11	10	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F u. G ) e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) -> ( `' F " ( _V \ { Z } ) ) = ( F supp Z ) )
12		fsuppun.f	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F finSupp Z )
13	12	fsuppimpd 8282	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F supp Z ) e. Fin )
14	13	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F u. G ) e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) -> ( F supp Z ) e. Fin )
15	11, 14	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F u. G ) e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) -> ( `' F " ( _V \ { Z } ) ) e. Fin )
16		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. _V /\ G e. _V ) -> G e. _V )
17	5, 16	sylbir 225	. . . . . . . . 9 |- ( ( F u. G ) e. _V -> G e. _V )
18		suppimacnv 7306	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. _V /\ Z e. _V ) -> ( G supp Z ) = ( `' G " ( _V \ { Z } ) ) )
19	18	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. _V /\ Z e. _V ) -> ( `' G " ( _V \ { Z } ) ) = ( G supp Z ) )
20	17, 19	sylan 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F u. G ) e. _V /\ Z e. _V ) -> ( `' G " ( _V \ { Z } ) ) = ( G supp Z ) )
21	20	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F u. G ) e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) -> ( `' G " ( _V \ { Z } ) ) = ( G supp Z ) )
22		fsuppun.g	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G finSupp Z )
23	22	fsuppimpd 8282	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G supp Z ) e. Fin )
24	23	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F u. G ) e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) -> ( G supp Z ) e. Fin )
25	21, 24	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F u. G ) e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) -> ( `' G " ( _V \ { Z } ) ) e. Fin )
26		unfi 8227	. . . . . 6 |- ( ( ( `' F " ( _V \ { Z } ) ) e. Fin /\ ( `' G " ( _V \ { Z } ) ) e. Fin ) -> ( ( `' F " ( _V \ { Z } ) ) u. ( `' G " ( _V \ { Z } ) ) ) e. Fin )
27	15, 25, 26	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( ( F u. G ) e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) -> ( ( `' F " ( _V \ { Z } ) ) u. ( `' G " ( _V \ { Z } ) ) ) e. Fin )
28	4, 27	syl5eqel 2705	. . . 4 |- ( ( ( ( F u. G ) e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) -> ( `' ( F u. G ) " ( _V \ { Z } ) ) e. Fin )
29		suppimacnv 7306	. . . . . 6 |- ( ( ( F u. G ) e. _V /\ Z e. _V ) -> ( ( F u. G ) supp Z ) = ( `' ( F u. G ) " ( _V \ { Z } ) ) )
30	29	eleq1d 2686	. . . . 5 |- ( ( ( F u. G ) e. _V /\ Z e. _V ) -> ( ( ( F u. G ) supp Z ) e. Fin <-> ( `' ( F u. G ) " ( _V \ { Z } ) ) e. Fin ) )
31	30	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( ( F u. G ) e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) -> ( ( ( F u. G ) supp Z ) e. Fin <-> ( `' ( F u. G ) " ( _V \ { Z } ) ) e. Fin ) )
32	28, 31	mpbird 247	. . 3 |- ( ( ( ( F u. G ) e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) -> ( ( F u. G ) supp Z ) e. Fin )
33	32	ex 450	. 2 |- ( ( ( F u. G ) e. _V /\ Z e. _V ) -> ( ph -> ( ( F u. G ) supp Z ) e. Fin ) )
34		supp0prc 7298	. . . 4 |- ( -. ( ( F u. G ) e. _V /\ Z e. _V ) -> ( ( F u. G ) supp Z ) = (/) )
35		0fin 8188	. . . 4 |- (/) e. Fin
36	34, 35	syl6eqel 2709	. . 3 |- ( -. ( ( F u. G ) e. _V /\ Z e. _V ) -> ( ( F u. G ) supp Z ) e. Fin )
37	36	a1d 25	. 2 |- ( -. ( ( F u. G ) e. _V /\ Z e. _V ) -> ( ph -> ( ( F u. G ) supp Z ) e. Fin ) )
38	33, 37	pm2.61i 176	1 |- ( ph -> ( ( F u. G ) supp Z ) e. Fin )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   (/)c0 3915   {csn 4177   class class class wbr 4653   `'ccnv 5113   "cima 5117  (class class class)co 6650   supp csupp 7295   Fincfn 7955   finSupp cfsupp 8275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-fsupp 8276

This theorem is referenced by:  fsuppunbi  8296  gsumzaddlem  18321