Theorem genpnmax 9829

Description: An operation on positive reals has no largest member. (Contributed by NM, 10-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
genp.1	|- F = ( w e. P. , v e. P. |-> { x | E. y e. w E. z e. v x = ( y G z ) } )
genp.2	|- ( ( y e. Q. /\ z e. Q. ) -> ( y G z ) e. Q. )
genpnmax.2	|- ( v e. Q. -> ( z <Q w <-> ( v G z ) <Q ( v G w ) ) )
genpnmax.3	|- ( z G w ) = ( w G z )

Assertion

Ref	Expression
genpnmax	|- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( f e. ( A F B ) -> E. x e. ( A F B ) f <Q x ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, f, A   x, B, y, z, f   x, w, v, G, y, z, f   f, F, x, y

Allowed substitution hints:   A( w, v)   B( w, v)   F( z, w, v)

Proof of Theorem genpnmax

Dummy variables g h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		genp.1	. . 3 |- F = ( w e. P. , v e. P. |-> { x | E. y e. w E. z e. v x = ( y G z ) } )
2		genp.2	. . 3 |- ( ( y e. Q. /\ z e. Q. ) -> ( y G z ) e. Q. )
3	1, 2	genpelv 9822	. 2 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( f e. ( A F B ) <-> E. g e. A E. h e. B f = ( g G h ) ) )
4		prnmax 9817	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. P. /\ g e. A ) -> E. y e. A g <Q y )
5	4	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. P. /\ g e. A ) /\ ( B e. P. /\ h e. B ) ) -> E. y e. A g <Q y )
6	1, 2	genpprecl 9823	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( ( y e. A /\ h e. B ) -> ( y G h ) e. ( A F B ) ) )
7	6	exp4b 632	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. P. -> ( B e. P. -> ( y e. A -> ( h e. B -> ( y G h ) e. ( A F B ) ) ) ) )
8	7	com34 91	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. P. -> ( B e. P. -> ( h e. B -> ( y e. A -> ( y G h ) e. ( A F B ) ) ) ) )
9	8	imp32 449	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. P. /\ ( B e. P. /\ h e. B ) ) -> ( y e. A -> ( y G h ) e. ( A F B ) ) )
10		elprnq 9813	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. P. /\ h e. B ) -> h e. Q. )
11		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- g e. _V
12		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- y e. _V
13		genpnmax.2	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( v e. Q. -> ( z <Q w <-> ( v G z ) <Q ( v G w ) ) )
14		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- h e. _V
15		genpnmax.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z G w ) = ( w G z )
16	11, 12, 13, 14, 15	caovord2 6846	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( h e. Q. -> ( g <Q y <-> ( g G h ) <Q ( y G h ) ) )
17	16	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h e. Q. -> ( g <Q y -> ( g G h ) <Q ( y G h ) ) )
18	10, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. P. /\ h e. B ) -> ( g <Q y -> ( g G h ) <Q ( y G h ) ) )
19	18	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. P. /\ ( B e. P. /\ h e. B ) ) -> ( g <Q y -> ( g G h ) <Q ( y G h ) ) )
20	9, 19	anim12d 586	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. P. /\ ( B e. P. /\ h e. B ) ) -> ( ( y e. A /\ g <Q y ) -> ( ( y G h ) e. ( A F B ) /\ ( g G h ) <Q ( y G h ) ) ) )
21		breq2 4657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( y G h ) -> ( ( g G h ) <Q x <-> ( g G h ) <Q ( y G h ) ) )
22	21	rspcev 3309	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y G h ) e. ( A F B ) /\ ( g G h ) <Q ( y G h ) ) -> E. x e. ( A F B ) ( g G h ) <Q x )
23	20, 22	syl6 35	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. P. /\ ( B e. P. /\ h e. B ) ) -> ( ( y e. A /\ g <Q y ) -> E. x e. ( A F B ) ( g G h ) <Q x ) )
24	23	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. P. /\ g e. A ) /\ ( B e. P. /\ h e. B ) ) -> ( ( y e. A /\ g <Q y ) -> E. x e. ( A F B ) ( g G h ) <Q x ) )
25	24	expd 452	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. P. /\ g e. A ) /\ ( B e. P. /\ h e. B ) ) -> ( y e. A -> ( g <Q y -> E. x e. ( A F B ) ( g G h ) <Q x ) ) )
26	25	rexlimdv 3030	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. P. /\ g e. A ) /\ ( B e. P. /\ h e. B ) ) -> ( E. y e. A g <Q y -> E. x e. ( A F B ) ( g G h ) <Q x ) )
27	5, 26	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. P. /\ g e. A ) /\ ( B e. P. /\ h e. B ) ) -> E. x e. ( A F B ) ( g G h ) <Q x )
28	27	an4s 869	. . . . 5 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( g e. A /\ h e. B ) ) -> E. x e. ( A F B ) ( g G h ) <Q x )
29		breq1 4656	. . . . . 6 |- ( f = ( g G h ) -> ( f <Q x <-> ( g G h ) <Q x ) )
30	29	rexbidv 3052	. . . . 5 |- ( f = ( g G h ) -> ( E. x e. ( A F B ) f <Q x <-> E. x e. ( A F B ) ( g G h ) <Q x ) )
31	28, 30	syl5ibr 236	. . . 4 |- ( f = ( g G h ) -> ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( g e. A /\ h e. B ) ) -> E. x e. ( A F B ) f <Q x ) )
32	31	expdcom 455	. . 3 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( ( g e. A /\ h e. B ) -> ( f = ( g G h ) -> E. x e. ( A F B ) f <Q x ) ) )
33	32	rexlimdvv 3037	. 2 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( E. g e. A E. h e. B f = ( g G h ) -> E. x e. ( A F B ) f <Q x ) )
34	3, 33	sylbid 230	1 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( f e. ( A F B ) -> E. x e. ( A F B ) f <Q x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   E.wrex 2913   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   Q.cnq 9674   <Q cltq 9680   P.cnp 9681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-ni 9694  df-nq 9734  df-np 9803

This theorem is referenced by:  genpcl  9830