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Theorem ghmcnp 21918
Description: A group homomorphism on topological groups is continuous everywhere if it is continuous at any point. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ghmcnp.x |- X = ( Base ` G )
ghmcnp.j |- J = ( TopOpen ` G )
ghmcnp.k |- K = ( TopOpen ` H )
Assertion
Ref Expression
ghmcnp |- ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) <-> ( A e. X /\ F e. ( J Cn K ) ) ) )
Proof of Theorem ghmcnp
Dummy variables v u w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2622 . . . . . 6 |- U. J = U. J
21cnprcl 21049 . . . . 5 |- ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) -> A e. U. J )
32a1i 11 . . . 4 |- ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) -> A e. U. J ) )
4 ghmcnp.j . . . . . . . . . 10 |- J = ( TopOpen ` G )
5 ghmcnp.x . . . . . . . . . 10 |- X = ( Base ` G )
64, 5tmdtopon 21885 . . . . . . . . 9 |- ( G e. TopMnd -> J e. (TopOn ` X ) )
763ad2ant1 1082 . . . . . . . 8 |- ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
87adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
9 simpl2 1065 . . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> H e. TopMnd )
10 ghmcnp.k . . . . . . . . 9 |- K = ( TopOpen ` H )
11 eqid 2622 . . . . . . . . 9 |- ( Base ` H ) = ( Base ` H )
1210, 11tmdtopon 21885 . . . . . . . 8 |- ( H e. TopMnd -> K e. (TopOn ` ( Base ` H ) ) )
139, 12syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> K e. (TopOn ` ( Base ` H ) ) )
14 simpr 477 . . . . . . 7 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` A ) )
15 cnpf2 21054 . . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` ( Base ` H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> F : X --> ( Base ` H ) )
168, 13, 14, 15syl3anc 1326 . . . . . 6 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> F : X --> ( Base ` H ) )
1716adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ x e. X ) -> F : X --> ( Base ` H ) )
1814adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` A ) )
19 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. ( Base ` H ) |-> ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) w ) ) = ( w e. ( Base ` H ) |-> ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) w ) )
2019mptpreima 5628 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( `' ( w e. ( Base ` H ) |-> ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) w ) ) " y ) = { w e. ( Base ` H ) | ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) w ) e. y }
219adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) -> H e. TopMnd )
2216adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) -> F : X --> ( Base ` H ) )
23 simpll3 1102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) -> F e. ( G GrpHom H ) )
24 ghmgrp1 17662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( F e. ( G GrpHom H ) -> G e. Grp )
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) -> G e. Grp )
26 simprl 794 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) -> x e. X )
272adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> A e. U. J )
28 toponuni 20719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
298, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> X = U. J )
3027, 29eleqtrrd 2704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> A e. X )
3130adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) -> A e. X )
32 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( -g ` G ) = ( -g ` G )
335, 32grpsubcl 17495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( G e. Grp /\ x e. X /\ A e. X ) -> ( x ( -g ` G ) A ) e. X )
3425, 26, 31, 33syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) -> ( x ( -g ` G ) A ) e. X )
3522, 34ffvelrnd 6360 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) -> ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) e. ( Base ` H ) )
36 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( +g ` H ) = ( +g ` H )
3719, 11, 36, 10tmdlactcn 21906 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( H e. TopMnd /\ ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) e. ( Base ` H ) ) -> ( w e. ( Base ` H ) |-> ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) w ) ) e. ( K Cn K ) )
3821, 35, 37syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) -> ( w e. ( Base ` H ) |-> ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) w ) ) e. ( K Cn K ) )
39 simprrl 804 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) -> y e. K )
40 cnima 21069 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( w e. ( Base ` H ) |-> ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) w ) ) e. ( K Cn K ) /\ y e. K ) -> ( `' ( w e. ( Base ` H ) |-> ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) w ) ) " y ) e. K )
4138, 39, 40syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) -> ( `' ( w e. ( Base ` H ) |-> ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) w ) ) " y ) e. K )
4220, 41syl5eqelr 2706 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) -> { w e. ( Base ` H ) | ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) w ) e. y } e. K )
4322, 31ffvelrnd 6360 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) -> ( F ` A ) e. ( Base ` H ) )
44 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( -g ` H ) = ( -g ` H )
455, 32, 44ghmsub 17668 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ x e. X /\ A e. X ) -> ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) = ( ( F ` x ) ( -g ` H ) ( F ` A ) ) )
4623, 26, 31, 45syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) -> ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) = ( ( F ` x ) ( -g ` H ) ( F ` A ) ) )
4746oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) -> ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) ( F ` A ) ) = ( ( ( F ` x ) ( -g ` H ) ( F ` A ) ) ( +g ` H ) ( F ` A ) ) )
48 ghmgrp2 17663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F e. ( G GrpHom H ) -> H e. Grp )
4923, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) -> H e. Grp )
5022, 26ffvelrnd 6360 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) -> ( F ` x ) e. ( Base ` H ) )
5111, 36, 44grpnpcan 17507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( H e. Grp /\ ( F ` x ) e. ( Base ` H ) /\ ( F ` A ) e. ( Base ` H ) ) -> ( ( ( F ` x ) ( -g ` H ) ( F ` A ) ) ( +g ` H ) ( F ` A ) ) = ( F ` x ) )
5249, 50, 43, 51syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) -> ( ( ( F ` x ) ( -g ` H ) ( F ` A ) ) ( +g ` H ) ( F ` A ) ) = ( F ` x ) )
5347, 52eqtrd 2656 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) -> ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) ( F ` A ) ) = ( F ` x ) )
54 simprrr 805 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) -> ( F ` x ) e. y )
5553, 54eqeltrd 2701 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) -> ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) ( F ` A ) ) e. y )
56 oveq2 6658 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = ( F ` A ) -> ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) w ) = ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) ( F ` A ) ) )
5756eleq1d 2686 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = ( F ` A ) -> ( ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) w ) e. y <-> ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) ( F ` A ) ) e. y ) )
5857elrab 3363 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F ` A ) e. { w e. ( Base ` H ) | ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) w ) e. y } <-> ( ( F ` A ) e. ( Base ` H ) /\ ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) ( F ` A ) ) e. y ) )
5943, 55, 58sylanbrc 698 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) -> ( F ` A ) e. { w e. ( Base ` H ) | ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) w ) e. y } )
60 cnpimaex 21060 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ { w e. ( Base ` H ) | ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) w ) e. y } e. K /\ ( F ` A ) e. { w e. ( Base ` H ) | ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) w ) e. y } ) -> E. z e. J ( A e. z /\ ( F " z ) C_ { w e. ( Base ` H ) | ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) w ) e. y } ) )
6118, 42, 59, 60syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) -> E. z e. J ( A e. z /\ ( F " z ) C_ { w e. ( Base ` H ) | ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) w ) e. y } ) )
62 ssrab 3680 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F " z ) C_ { w e. ( Base ` H ) | ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) w ) e. y } <-> ( ( F " z ) C_ ( Base ` H ) /\ A. w e. ( F " z ) ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) w ) e. y ) )
6362simprbi 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F " z ) C_ { w e. ( Base ` H ) | ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) w ) e. y } -> A. w e. ( F " z ) ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) w ) e. y )
6422adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) /\ z e. J ) -> F : X --> ( Base ` H ) )
65 ffn 6045 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F : X --> ( Base ` H ) -> F Fn X )
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) /\ z e. J ) -> F Fn X )
678adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
68 toponss 20731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ z e. J ) -> z C_ X )
6967, 68sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) /\ z e. J ) -> z C_ X )
70 oveq2 6658 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w = ( F ` v ) -> ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) w ) = ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) ( F ` v ) ) )
7170eleq1d 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w = ( F ` v ) -> ( ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) w ) e. y <-> ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) ( F ` v ) ) e. y ) )
7271ralima 6498 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F Fn X /\ z C_ X ) -> ( A. w e. ( F " z ) ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) w ) e. y <-> A. v e. z ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) ( F ` v ) ) e. y ) )
7366, 69, 72syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) /\ z e. J ) -> ( A. w e. ( F " z ) ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) w ) e. y <-> A. v e. z ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) ( F ` v ) ) e. y ) )
7463, 73syl5ib 234 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) /\ z e. J ) -> ( ( F " z ) C_ { w e. ( Base ` H ) | ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) w ) e. y } -> A. v e. z ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) ( F ` v ) ) e. y ) )
75 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w e. X |-> ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) w ) ) = ( w e. X |-> ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) w ) )
7675mptpreima 5628 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( `' ( w e. X |-> ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) w ) ) " z ) = { w e. X | ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) w ) e. z }
77 simpl1 1064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> G e. TopMnd )
7877ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) /\ ( z e. J /\ ( A e. z /\ A. v e. z ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) ( F ` v ) ) e. y ) ) ) -> G e. TopMnd )
7925adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) /\ ( z e. J /\ ( A e. z /\ A. v e. z ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) ( F ` v ) ) e. y ) ) ) -> G e. Grp )
8031adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) /\ ( z e. J /\ ( A e. z /\ A. v e. z ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) ( F ` v ) ) e. y ) ) ) -> A e. X )
8126adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) /\ ( z e. J /\ ( A e. z /\ A. v e. z ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) ( F ` v ) ) e. y ) ) ) -> x e. X )
825, 32grpsubcl 17495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ x e. X ) -> ( A ( -g ` G ) x ) e. X )
8379, 80, 81, 82syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) /\ ( z e. J /\ ( A e. z /\ A. v e. z ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) ( F ` v ) ) e. y ) ) ) -> ( A ( -g ` G ) x ) e. X )
84 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
8575, 5, 84, 4tmdlactcn 21906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( G e. TopMnd /\ ( A ( -g ` G ) x ) e. X ) -> ( w e. X |-> ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) w ) ) e. ( J Cn J ) )
8678, 83, 85syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) /\ ( z e. J /\ ( A e. z /\ A. v e. z ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) ( F ` v ) ) e. y ) ) ) -> ( w e. X |-> ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) w ) ) e. ( J Cn J ) )
87 simprl 794 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) /\ ( z e. J /\ ( A e. z /\ A. v e. z ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) ( F ` v ) ) e. y ) ) ) -> z e. J )
88 cnima 21069 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( w e. X |-> ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) w ) ) e. ( J Cn J ) /\ z e. J ) -> ( `' ( w e. X |-> ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) w ) ) " z ) e. J )
8986, 87, 88syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) /\ ( z e. J /\ ( A e. z /\ A. v e. z ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) ( F ` v ) ) e. y ) ) ) -> ( `' ( w e. X |-> ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) w ) ) " z ) e. J )
9076, 89syl5eqelr 2706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) /\ ( z e. J /\ ( A e. z /\ A. v e. z ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) ( F ` v ) ) e. y ) ) ) -> { w e. X | ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) w ) e. z } e. J )
915, 84, 32grpnpcan 17507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ x e. X ) -> ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) x ) = A )
9279, 80, 81, 91syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) /\ ( z e. J /\ ( A e. z /\ A. v e. z ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) ( F ` v ) ) e. y ) ) ) -> ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) x ) = A )
93 simprrl 804 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) /\ ( z e. J /\ ( A e. z /\ A. v e. z ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) ( F ` v ) ) e. y ) ) ) -> A e. z )
9492, 93eqeltrd 2701 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) /\ ( z e. J /\ ( A e. z /\ A. v e. z ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) ( F ` v ) ) e. y ) ) ) -> ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) x ) e. z )
95 oveq2 6658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w = x -> ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) w ) = ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) x ) )
9695eleq1d 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w = x -> ( ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) w ) e. z <-> ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) x ) e. z ) )
9796elrab 3363 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. { w e. X | ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) w ) e. z } <-> ( x e. X /\ ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) x ) e. z ) )
9881, 94, 97sylanbrc 698 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) /\ ( z e. J /\ ( A e. z /\ A. v e. z ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) ( F ` v ) ) e. y ) ) ) -> x e. { w e. X | ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) w ) e. z } )
99 simprrr 805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) /\ ( z e. J /\ ( A e. z /\ A. v e. z ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) ( F ` v ) ) e. y ) ) ) -> A. v e. z ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) ( F ` v ) ) e. y )
100 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( v = ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) w ) -> ( F ` v ) = ( F ` ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) w ) ) )
101100oveq2d 6666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( v = ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) w ) -> ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) ( F ` v ) ) = ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) ( F ` ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) w ) ) ) )
102101eleq1d 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( v = ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) w ) -> ( ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) ( F ` v ) ) e. y <-> ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) ( F ` ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) w ) ) ) e. y ) )
103102rspccv 3306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A. v e. z ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) ( F ` v ) ) e. y -> ( ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) w ) e. z -> ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) ( F ` ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) w ) ) ) e. y ) )
10499, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) /\ ( z e. J /\ ( A e. z /\ A. v e. z ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) ( F ` v ) ) e. y ) ) ) -> ( ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) w ) e. z -> ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) ( F ` ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) w ) ) ) e. y ) )
105104adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) /\ ( z e. J /\ ( A e. z /\ A. v e. z ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) ( F ` v ) ) e. y ) ) ) /\ w e. X ) -> ( ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) w ) e. z -> ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) ( F ` ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) w ) ) ) e. y ) )
10623adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) /\ w e. X ) -> F e. ( G GrpHom H ) )
10734adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) /\ w e. X ) -> ( x ( -g ` G ) A ) e. X )
108106, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) /\ w e. X ) -> G e. Grp )
10931adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) /\ w e. X ) -> A e. X )
11026adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) /\ w e. X ) -> x e. X )
111108, 109, 110, 82syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) /\ w e. X ) -> ( A ( -g ` G ) x ) e. X )
112 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) /\ w e. X ) -> w e. X )
1135, 84grpcl 17430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( G e. Grp /\ ( A ( -g ` G ) x ) e. X /\ w e. X ) -> ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) w ) e. X )
114108, 111, 112, 113syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) /\ w e. X ) -> ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) w ) e. X )
1155, 84, 36ghmlin 17665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ ( x ( -g ` G ) A ) e. X /\ ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) w ) e. X ) -> ( F ` ( ( x ( -g ` G ) A ) ( +g ` G ) ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) w ) ) ) = ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) ( F ` ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) w ) ) ) )
116106, 107, 114, 115syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) /\ w e. X ) -> ( F ` ( ( x ( -g ` G ) A ) ( +g ` G ) ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) w ) ) ) = ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) ( F ` ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) w ) ) ) )
117 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
1185, 32, 117grpinvsub 17497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( G e. Grp /\ x e. X /\ A e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` ( x ( -g ` G ) A ) ) = ( A ( -g ` G ) x ) )
119108, 110, 109, 118syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) /\ w e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` ( x ( -g ` G ) A ) ) = ( A ( -g ` G ) x ) )
120119oveq2d 6666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) /\ w e. X ) -> ( ( x ( -g ` G ) A ) ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ) = ( ( x ( -g ` G ) A ) ( +g ` G ) ( A ( -g ` G ) x ) ) )
121 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
1225, 84, 121, 117grprinv 17469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( G e. Grp /\ ( x ( -g ` G ) A ) e. X ) -> ( ( x ( -g ` G ) A ) ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ) = ( 0g ` G ) )
123108, 107, 122syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) /\ w e. X ) -> ( ( x ( -g ` G ) A ) ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ) = ( 0g ` G ) )
124120, 123eqtr3d 2658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) /\ w e. X ) -> ( ( x ( -g ` G ) A ) ( +g ` G ) ( A ( -g ` G ) x ) ) = ( 0g ` G ) )
125124oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) /\ w e. X ) -> ( ( ( x ( -g ` G ) A ) ( +g ` G ) ( A ( -g ` G ) x ) ) ( +g ` G ) w ) = ( ( 0g ` G ) ( +g ` G ) w ) )
1265, 84grpass 17431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( x ( -g ` G ) A ) e. X /\ ( A ( -g ` G ) x ) e. X /\ w e. X ) ) -> ( ( ( x ( -g ` G ) A ) ( +g ` G ) ( A ( -g ` G ) x ) ) ( +g ` G ) w ) = ( ( x ( -g ` G ) A ) ( +g ` G ) ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) w ) ) )
127108, 107, 111, 112, 126syl13anc 1328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) /\ w e. X ) -> ( ( ( x ( -g ` G ) A ) ( +g ` G ) ( A ( -g ` G ) x ) ) ( +g ` G ) w ) = ( ( x ( -g ` G ) A ) ( +g ` G ) ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) w ) ) )
1285, 84, 121grplid 17452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( G e. Grp /\ w e. X ) -> ( ( 0g ` G ) ( +g ` G ) w ) = w )
129108, 112, 128syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) /\ w e. X ) -> ( ( 0g ` G ) ( +g ` G ) w ) = w )
130125, 127, 1293eqtr3d 2664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) /\ w e. X ) -> ( ( x ( -g ` G ) A ) ( +g ` G ) ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) w ) ) = w )
131130fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) /\ w e. X ) -> ( F ` ( ( x ( -g ` G ) A ) ( +g ` G ) ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) w ) ) ) = ( F ` w ) )
132116, 131eqtr3d 2658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) /\ w e. X ) -> ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) ( F ` ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) w ) ) ) = ( F ` w ) )
133132adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) /\ ( z e. J /\ ( A e. z /\ A. v e. z ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) ( F ` v ) ) e. y ) ) ) /\ w e. X ) -> ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) ( F ` ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) w ) ) ) = ( F ` w ) )
134133eleq1d 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) /\ ( z e. J /\ ( A e. z /\ A. v e. z ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) ( F ` v ) ) e. y ) ) ) /\ w e. X ) -> ( ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) ( F ` ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) w ) ) ) e. y <-> ( F ` w ) e. y ) )
135105, 134sylibd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) /\ ( z e. J /\ ( A e. z /\ A. v e. z ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) ( F ` v ) ) e. y ) ) ) /\ w e. X ) -> ( ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) w ) e. z -> ( F ` w ) e. y ) )
136135ralrimiva 2966 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) /\ ( z e. J /\ ( A e. z /\ A. v e. z ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) ( F ` v ) ) e. y ) ) ) -> A. w e. X ( ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) w ) e. z -> ( F ` w ) e. y ) )
137 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( v = w -> ( F ` v ) = ( F ` w ) )
138137eleq1d 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( v = w -> ( ( F ` v ) e. y <-> ( F ` w ) e. y ) )
139138ralrab2 3372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. v e. { w e. X | ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) w ) e. z } ( F ` v ) e. y <-> A. w e. X ( ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) w ) e. z -> ( F ` w ) e. y ) )
140136, 139sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) /\ ( z e. J /\ ( A e. z /\ A. v e. z ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) ( F ` v ) ) e. y ) ) ) -> A. v e. { w e. X | ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) w ) e. z } ( F ` v ) e. y )
14122adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) /\ ( z e. J /\ ( A e. z /\ A. v e. z ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) ( F ` v ) ) e. y ) ) ) -> F : X --> ( Base ` H ) )
142 ffun 6048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( F : X --> ( Base ` H ) -> Fun F )
143141, 142syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) /\ ( z e. J /\ ( A e. z /\ A. v e. z ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) ( F ` v ) ) e. y ) ) ) -> Fun F )
144 ssrab2 3687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- { w e. X | ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) w ) e. z } C_ X
145 fdm 6051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( F : X --> ( Base ` H ) -> dom F = X )
146141, 145syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) /\ ( z e. J /\ ( A e. z /\ A. v e. z ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) ( F ` v ) ) e. y ) ) ) -> dom F = X )
147144, 146syl5sseqr 3654 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) /\ ( z e. J /\ ( A e. z /\ A. v e. z ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) ( F ` v ) ) e. y ) ) ) -> { w e. X | ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) w ) e. z } C_ dom F )
148 funimass4 6247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( Fun F /\ { w e. X | ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) w ) e. z } C_ dom F ) -> ( ( F " { w e. X | ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) w ) e. z } ) C_ y <-> A. v e. { w e. X | ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) w ) e. z } ( F ` v ) e. y ) )
149143, 147, 148syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) /\ ( z e. J /\ ( A e. z /\ A. v e. z ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) ( F ` v ) ) e. y ) ) ) -> ( ( F " { w e. X | ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) w ) e. z } ) C_ y <-> A. v e. { w e. X | ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) w ) e. z } ( F ` v ) e. y ) )
150140, 149mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) /\ ( z e. J /\ ( A e. z /\ A. v e. z ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) ( F ` v ) ) e. y ) ) ) -> ( F " { w e. X | ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) w ) e. z } ) C_ y )
151 eleq2 2690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( u = { w e. X | ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) w ) e. z } -> ( x e. u <-> x e. { w e. X | ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) w ) e. z } ) )
152 imaeq2 5462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( u = { w e. X | ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) w ) e. z } -> ( F " u ) = ( F " { w e. X | ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) w ) e. z } ) )
153152sseq1d 3632 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( u = { w e. X | ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) w ) e. z } -> ( ( F " u ) C_ y <-> ( F " { w e. X | ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) w ) e. z } ) C_ y ) )
154151, 153anbi12d 747 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u = { w e. X | ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) w ) e. z } -> ( ( x e. u /\ ( F " u ) C_ y ) <-> ( x e. { w e. X | ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) w ) e. z } /\ ( F " { w e. X | ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) w ) e. z } ) C_ y ) ) )
155154rspcev 3309 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( { w e. X | ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) w ) e. z } e. J /\ ( x e. { w e. X | ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) w ) e. z } /\ ( F " { w e. X | ( ( A ( -g ` G ) x ) ( +g ` G ) w ) e. z } ) C_ y ) ) -> E. u e. J ( x e. u /\ ( F " u ) C_ y ) )
15690, 98, 150, 155syl12anc 1324 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) /\ ( z e. J /\ ( A e. z /\ A. v e. z ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) ( F ` v ) ) e. y ) ) ) -> E. u e. J ( x e. u /\ ( F " u ) C_ y ) )
157156expr 643 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) /\ z e. J ) -> ( ( A e. z /\ A. v e. z ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) ( F ` v ) ) e. y ) -> E. u e. J ( x e. u /\ ( F " u ) C_ y ) ) )
15874, 157sylan2d 499 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) /\ z e. J ) -> ( ( A e. z /\ ( F " z ) C_ { w e. ( Base ` H ) | ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) w ) e. y } ) -> E. u e. J ( x e. u /\ ( F " u ) C_ y ) ) )
159158rexlimdva 3031 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) -> ( E. z e. J ( A e. z /\ ( F " z ) C_ { w e. ( Base ` H ) | ( ( F ` ( x ( -g ` G ) A ) ) ( +g ` H ) w ) e. y } ) -> E. u e. J ( x e. u /\ ( F " u ) C_ y ) ) )
16061, 159mpd 15 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. X /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) ) -> E. u e. J ( x e. u /\ ( F " u ) C_ y ) )
161160anassrs 680 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ x e. X ) /\ ( y e. K /\ ( F ` x ) e. y ) ) -> E. u e. J ( x e. u /\ ( F " u ) C_ y ) )
162161expr 643 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ x e. X ) /\ y e. K ) -> ( ( F ` x ) e. y -> E. u e. J ( x e. u /\ ( F " u ) C_ y ) ) )
163162ralrimiva 2966 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ x e. X ) -> A. y e. K ( ( F ` x ) e. y -> E. u e. J ( x e. u /\ ( F " u ) C_ y ) ) )
1648adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ x e. X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
16513adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ x e. X ) -> K e. (TopOn ` ( Base ` H ) ) )
166 simpr 477 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ x e. X ) -> x e. X )
167 iscnp 21041 . . . . . . . . 9 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` ( Base ` H ) ) /\ x e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` x ) <-> ( F : X --> ( Base ` H ) /\ A. y e. K ( ( F ` x ) e. y -> E. u e. J ( x e. u /\ ( F " u ) C_ y ) ) ) ) )
168164, 165, 166, 167syl3anc 1326 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ x e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` x ) <-> ( F : X --> ( Base ` H ) /\ A. y e. K ( ( F ` x ) e. y -> E. u e. J ( x e. u /\ ( F " u ) C_ y ) ) ) ) )
16917, 163, 168mpbir2and 957 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ x e. X ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` x ) )
170169ralrimiva 2966 . . . . . 6 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) )
171 cncnp 21084 . . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` ( Base ` H ) ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> ( Base ` H ) /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) )
1728, 13, 171syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> ( Base ` H ) /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) )
17316, 170, 172mpbir2and 957 . . . . 5 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> F e. ( J Cn K ) )
174173ex 450 . . . 4 |- ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) -> F e. ( J Cn K ) ) )
1753, 174jcad 555 . . 3 |- ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) -> ( A e. U. J /\ F e. ( J Cn K ) ) ) )
1761cncnpi 21082 . . . 4 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. U. J ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` A ) )
177176ancoms 469 . . 3 |- ( ( A e. U. J /\ F e. ( J Cn K ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` A ) )
178175, 177impbid1 215 . 2 |- ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) <-> ( A e. U. J /\ F e. ( J Cn K ) ) ) )
1797, 28syl 17 . . . 4 |- ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) -> X = U. J )
180179eleq2d 2687 . . 3 |- ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) -> ( A e. X <-> A e. U. J ) )
181180anbi1d 741 . 2 |- ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) -> ( ( A e. X /\ F e. ( J Cn K ) ) <-> ( A e. U. J /\ F e. ( J Cn K ) ) ) )
182178, 181bitr4d 271 1 |- ( ( G e. TopMnd /\ H e. TopMnd /\ F e. ( G GrpHom H ) ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) <-> ( A e. X /\ F e. ( J Cn K ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   "cima 5117   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   TopOpenctopn 16082   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422   invgcminusg 17423   -gcsg 17424   GrpHom cghm 17657  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028   CnP ccnp 21029  TopMndctmd 21874
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859  df-0g 16102  df-topgen 16104  df-plusf 17241  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-ghm 17658  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-tx 21365  df-tmd 21876
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