Theorem grpinvinv 17482

Description: Double inverse law for groups. Lemma 2.2.1(c) of [Herstein] p. 55. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvinv.b	|- B = ( Base ` G )
grpinvinv.n	|- N = ( invg ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpinvinv	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` ( N ` X ) ) = X )

Proof of Theorem grpinvinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvinv.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
2		grpinvinv.n	. . . . 5 |- N = ( invg ` G )
3	1, 2	grpinvcl 17467	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) e. B )
4		eqid 2622	. . . . 5 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
5		eqid 2622	. . . . 5 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
6	1, 4, 5, 2	grprinv 17469	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( N ` X ) e. B ) -> ( ( N ` X ) ( +g ` G ) ( N ` ( N ` X ) ) ) = ( 0g ` G ) )
7	3, 6	syldan 487	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( ( N ` X ) ( +g ` G ) ( N ` ( N ` X ) ) ) = ( 0g ` G ) )
8	1, 4, 5, 2	grplinv 17468	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( ( N ` X ) ( +g ` G ) X ) = ( 0g ` G ) )
9	7, 8	eqtr4d 2659	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( ( N ` X ) ( +g ` G ) ( N ` ( N ` X ) ) ) = ( ( N ` X ) ( +g ` G ) X ) )
10		simpl 473	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> G e. Grp )
11	1, 2	grpinvcl 17467	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( N ` X ) e. B ) -> ( N ` ( N ` X ) ) e. B )
12	3, 11	syldan 487	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` ( N ` X ) ) e. B )
13		simpr 477	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> X e. B )
14	1, 4	grplcan 17477	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( N ` ( N ` X ) ) e. B /\ X e. B /\ ( N ` X ) e. B ) ) -> ( ( ( N ` X ) ( +g ` G ) ( N ` ( N ` X ) ) ) = ( ( N ` X ) ( +g ` G ) X ) <-> ( N ` ( N ` X ) ) = X ) )
15	10, 12, 13, 3, 14	syl13anc 1328	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( ( ( N ` X ) ( +g ` G ) ( N ` ( N ` X ) ) ) = ( ( N ` X ) ( +g ` G ) X ) <-> ( N ` ( N ` X ) ) = X ) )
16	9, 15	mpbid 222	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` ( N ` X ) ) = X )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422   invgcminusg 17423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426

This theorem is referenced by:  grpinv11  17484  grpinvnz  17486  grpsubinv  17488  grpinvsub  17497  grpsubeq0  17501  grpnpcan  17507  mulgneg  17560  mulgnegneg  17561  mulginvinv  17566  mulgdir  17573  mulgass  17579  eqger  17644  frgpuptinv  18184  ablsub2inv  18216  mulgdi  18232  invghm  18239  ringm2neg  18598  unitinvinv  18675  unitnegcl  18681  irrednegb  18711  abvneg  18834  lspsnneg  19006  islindf4  20177  tgpconncomp  21916  archirngz  29743  archiabllem1b  29746  baerlem5amN  37005  baerlem5bmN  37006  baerlem5abmN  37007