Theorem grudomon 9639

Description: Each ordinal that is comparable with an element of the universe is in the universe. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
grudomon	|- ( ( U e. Univ /\ A e. On /\ ( B e. U /\ A ~<_ B ) ) -> A e. U )

Proof of Theorem grudomon

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( x ~<_ B <-> y ~<_ B ) )
2		eleq1 2689	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( x e. U <-> y e. U ) )
3	1, 2	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( ( x ~<_ B -> x e. U ) <-> ( y ~<_ B -> y e. U ) ) )
4	3	imbi2d 330	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> ( x ~<_ B -> x e. U ) ) <-> ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> ( y ~<_ B -> y e. U ) ) ) )
5		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> ( x ~<_ B <-> A ~<_ B ) )
6		eleq1 2689	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> ( x e. U <-> A e. U ) )
7	5, 6	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( x = A -> ( ( x ~<_ B -> x e. U ) <-> ( A ~<_ B -> A e. U ) ) )
8	7	imbi2d 330	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> ( x ~<_ B -> x e. U ) ) <-> ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> ( A ~<_ B -> A e. U ) ) ) )
9		r19.21v 2960	. . . . . . 7 |- ( A. y e. x ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> ( y ~<_ B -> y e. U ) ) <-> ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> A. y e. x ( y ~<_ B -> y e. U ) ) )
10		simpl1 1064	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) -> x e. On )
11		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- x e. _V
12		onelss 5766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. On -> ( y e. x -> y C_ x ) )
13	12	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. On /\ y e. x ) -> y C_ x )
14		ssdomg 8001	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. _V -> ( y C_ x -> y ~<_ x ) )
15	11, 13, 14	mpsyl 68	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. On /\ y e. x ) -> y ~<_ x )
16	10, 15	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) /\ y e. x ) -> y ~<_ x )
17		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) /\ y e. x ) -> x ~<_ B )
18		domtr 8009	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y ~<_ x /\ x ~<_ B ) -> y ~<_ B )
19	16, 17, 18	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) /\ y e. x ) -> y ~<_ B )
20		pm2.27 42	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y ~<_ B -> ( ( y ~<_ B -> y e. U ) -> y e. U ) )
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) /\ y e. x ) -> ( ( y ~<_ B -> y e. U ) -> y e. U ) )
22	21	ralimdva 2962	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) -> ( A. y e. x ( y ~<_ B -> y e. U ) -> A. y e. x y e. U ) )
23		dfss3 3592	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x C_ U <-> A. y e. x y e. U )
24		domeng 7969	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( B e. U -> ( x ~<_ B <-> E. y ( x ~~ y /\ y C_ B ) ) )
25	24	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) -> ( x ~<_ B <-> E. y ( x ~~ y /\ y C_ B ) ) )
26	25	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) -> E. y ( x ~~ y /\ y C_ B ) )
27		simpl2 1065	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) -> U e. Univ )
28		gruss 9618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( U e. Univ /\ B e. U /\ y C_ B ) -> y e. U )
29	28	3expia 1267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> ( y C_ B -> y e. U ) )
30	29	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) -> ( y C_ B -> y e. U ) )
31	30	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) -> ( y C_ B -> y e. U ) )
32		ensym 8005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x ~~ y -> y ~~ x )
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) -> ( x ~~ y -> y ~~ x ) )
34	31, 33	anim12d 586	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) -> ( ( y C_ B /\ x ~~ y ) -> ( y e. U /\ y ~~ x ) ) )
35	34	ancomsd 470	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) -> ( ( x ~~ y /\ y C_ B ) -> ( y e. U /\ y ~~ x ) ) )
36	35	eximdv 1846	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) -> ( E. y ( x ~~ y /\ y C_ B ) -> E. y ( y e. U /\ y ~~ x ) ) )
37		gruen 9634	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( U e. Univ /\ x C_ U /\ ( y e. U /\ y ~~ x ) ) -> x e. U )
38	37	3com23 1271	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( U e. Univ /\ ( y e. U /\ y ~~ x ) /\ x C_ U ) -> x e. U )
39	38	3exp 1264	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( U e. Univ -> ( ( y e. U /\ y ~~ x ) -> ( x C_ U -> x e. U ) ) )
40	39	exlimdv 1861	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( U e. Univ -> ( E. y ( y e. U /\ y ~~ x ) -> ( x C_ U -> x e. U ) ) )
41	27, 36, 40	sylsyld 61	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) -> ( E. y ( x ~~ y /\ y C_ B ) -> ( x C_ U -> x e. U ) ) )
42	26, 41	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) -> ( x C_ U -> x e. U ) )
43	23, 42	syl5bir 233	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) -> ( A. y e. x y e. U -> x e. U ) )
44	22, 43	syld 47	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) -> ( A. y e. x ( y ~<_ B -> y e. U ) -> x e. U ) )
45	44	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) -> ( x ~<_ B -> ( A. y e. x ( y ~<_ B -> y e. U ) -> x e. U ) ) )
46	45	com23 86	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) -> ( A. y e. x ( y ~<_ B -> y e. U ) -> ( x ~<_ B -> x e. U ) ) )
47	46	3expib 1268	. . . . . . . 8 |- ( x e. On -> ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> ( A. y e. x ( y ~<_ B -> y e. U ) -> ( x ~<_ B -> x e. U ) ) ) )
48	47	a2d 29	. . . . . . 7 |- ( x e. On -> ( ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> A. y e. x ( y ~<_ B -> y e. U ) ) -> ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> ( x ~<_ B -> x e. U ) ) ) )
49	9, 48	syl5bi 232	. . . . . 6 |- ( x e. On -> ( A. y e. x ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> ( y ~<_ B -> y e. U ) ) -> ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> ( x ~<_ B -> x e. U ) ) ) )
50	4, 8, 49	tfis3 7057	. . . . 5 |- ( A e. On -> ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> ( A ~<_ B -> A e. U ) ) )
51	50	com3l 89	. . . 4 |- ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> ( A ~<_ B -> ( A e. On -> A e. U ) ) )
52	51	impr 649	. . 3 |- ( ( U e. Univ /\ ( B e. U /\ A ~<_ B ) ) -> ( A e. On -> A e. U ) )
53	52	3impia 1261	. 2 |- ( ( U e. Univ /\ ( B e. U /\ A ~<_ B ) /\ A e. On ) -> A e. U )
54	53	3com23 1271	1 |- ( ( U e. Univ /\ A e. On /\ ( B e. U /\ A ~<_ B ) ) -> A e. U )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   Oncon0 5723   ~~ cen 7952   ~<_ cdom 7953   Univcgru 9612

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-gru 9613

This theorem is referenced by:  gruina  9640  grur1  9642