Theorem hartogslem2 8448

Description: Lemma for hartogs 8449. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
hartogslem.2	|- F = { <. r , y >. | ( ( ( dom r C_ A /\ ( _I |` dom r ) C_ r /\ r C_ ( dom r X. dom r ) ) /\ ( r \ _I ) We dom r ) /\ y = dom OrdIso ( ( r \ _I ) , dom r ) ) }
hartogslem.3	|- R = { <. s , t >. | E. w e. y E. z e. y ( ( s = ( f ` w ) /\ t = ( f ` z ) ) /\ w _E z ) }

Assertion

Ref	Expression
hartogslem2	|- ( A e. V -> { x e. On | x ~<_ A } e. _V )

Distinct variable groups:   f, s, t, w, y, z   f, r, x, A, y   R, r, x   V, r, y

Allowed substitution hints:   A( z, w, t, s)   R( y, z, w, t, f, s)   F( x, y, z, w, t, f, s, r)   V( x, z, w, t, f, s)

Proof of Theorem hartogslem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hartogslem.2	. . . 4 |- F = { <. r , y >. | ( ( ( dom r C_ A /\ ( _I |` dom r ) C_ r /\ r C_ ( dom r X. dom r ) ) /\ ( r \ _I ) We dom r ) /\ y = dom OrdIso ( ( r \ _I ) , dom r ) ) }
2		hartogslem.3	. . . 4 |- R = { <. s , t >. | E. w e. y E. z e. y ( ( s = ( f ` w ) /\ t = ( f ` z ) ) /\ w _E z ) }
3	1, 2	hartogslem1 8447	. . 3 |- ( dom F C_ ~P ( A X. A ) /\ Fun F /\ ( A e. V -> ran F = { x e. On | x ~<_ A } ) )
4	3	simp3i 1072	. 2 |- ( A e. V -> ran F = { x e. On | x ~<_ A } )
5	3	simp2i 1071	. . . 4 |- Fun F
6	3	simp1i 1070	. . . . 5 |- dom F C_ ~P ( A X. A )
7		sqxpexg 6963	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ( A X. A ) e. _V )
8		pwexg 4850	. . . . . 6 |- ( ( A X. A ) e. _V -> ~P ( A X. A ) e. _V )
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 |- ( A e. V -> ~P ( A X. A ) e. _V )
10		ssexg 4804	. . . . 5 |- ( ( dom F C_ ~P ( A X. A ) /\ ~P ( A X. A ) e. _V ) -> dom F e. _V )
11	6, 9, 10	sylancr 695	. . . 4 |- ( A e. V -> dom F e. _V )
12		funex 6482	. . . 4 |- ( ( Fun F /\ dom F e. _V ) -> F e. _V )
13	5, 11, 12	sylancr 695	. . 3 |- ( A e. V -> F e. _V )
14		rnexg 7098	. . 3 |- ( F e. _V -> ran F e. _V )
15	13, 14	syl 17	. 2 |- ( A e. V -> ran F e. _V )
16	4, 15	eqeltrrd 2702	1 |- ( A e. V -> { x e. On | x ~<_ A } e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   {copab 4712   _I cid 5023   _E cep 5028   We wwe 5072   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   Oncon0 5723   Fun wfun 5882   ` cfv 5888   ~<_ cdom 7953  OrdIsocoi 8414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-en 7956  df-dom 7957  df-oi 8415

This theorem is referenced by:  hartogs  8449