Theorem hfninf 32293

Description: om is not hereditarily finite. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hfninf	|- -. om e. Hf

Proof of Theorem hfninf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elirr 8505	. . 3 |- -. om e. om
2		elhf2g 32283	. . . 4 |- ( om e. Hf -> ( om e. Hf <-> ( rank ` om ) e. om ) )
3		ordom 7074	. . . . . . 7 |- Ord om
4		elong 5731	. . . . . . 7 |- ( om e. Hf -> ( om e. On <-> Ord om ) )
5	3, 4	mpbiri 248	. . . . . 6 |- ( om e. Hf -> om e. On )
6		r111 8638	. . . . . . . . 9 |- R1 : On -1-1-> _V
7		f1dm 6105	. . . . . . . . 9 |- ( R1 : On -1-1-> _V -> dom R1 = On )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- dom R1 = On
9	8	eleq2i 2693	. . . . . . 7 |- ( om e. dom R1 <-> om e. On )
10		rankonid 8692	. . . . . . 7 |- ( om e. dom R1 <-> ( rank ` om ) = om )
11	9, 10	bitr3i 266	. . . . . 6 |- ( om e. On <-> ( rank ` om ) = om )
12	5, 11	sylib 208	. . . . 5 |- ( om e. Hf -> ( rank ` om ) = om )
13	12	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( om e. Hf -> ( ( rank ` om ) e. om <-> om e. om ) )
14	2, 13	bitrd 268	. . 3 |- ( om e. Hf -> ( om e. Hf <-> om e. om ) )
15	1, 14	mtbiri 317	. 2 |- ( om e. Hf -> -. om e. Hf )
16		pm2.01 180	. 2 |- ( ( om e. Hf -> -. om e. Hf ) -> -. om e. Hf )
17	15, 16	ax-mp 5	1 |- -. om e. Hf

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   dom cdm 5114   Ord word 5722   Oncon0 5723   -1-1->wf1 5885   ` cfv 5888   omcom 7065   R1cr1 8625   rankcrnk 8626   Hf chf 32279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-reg 8497  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-r1 8627  df-rank 8628  df-hf 32280

This theorem is referenced by: (None)