Theorem xrletri3 11985

Description: Trichotomy law for extended reals. (Contributed by FL, 2-Aug-2009.)

Assertion

Ref	Expression
xrletri3	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A = B <-> ( A <_ B /\ B <_ A ) ) )

Proof of Theorem xrletri3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlttri3 11976	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A = B <-> ( -. A < B /\ -. B < A ) ) )
2		ancom 466	. . 3 |- ( ( -. B < A /\ -. A < B ) <-> ( -. A < B /\ -. B < A ) )
3	1, 2	syl6bbr 278	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A = B <-> ( -. B < A /\ -. A < B ) ) )
4		xrlenlt 10103	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
5		xrlenlt 10103	. . . 4 |- ( ( B e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( B <_ A <-> -. A < B ) )
6	5	ancoms 469	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( B <_ A <-> -. A < B ) )
7	4, 6	anbi12d 747	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ A ) <-> ( -. B < A /\ -. A < B ) ) )
8	3, 7	bitr4d 271	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A = B <-> ( A <_ B /\ B <_ A ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080

This theorem is referenced by:  xrletrid  11986  xrmaxeq  12010  xrmineq  12011  xleadd1a  12083  xsubge0  12091  xlemul1a  12118  supxrre  12157  ixxub  12196  hashle00  13188  limsupval2  14211  pc2dvds  15583  pc11  15584  pcadd2  15594  letsr  17227  psmetsym  22115  isxmet2d  22132  xmetsym  22152  xmetgt0  22163  prdsxmetlem  22173  xblss2  22207  nmo0  22539  nmoid  22546  xrsxmet  22612  ovolssnul  23255  ovolctb  23258  ovolunnul  23268  ovoliunnul  23275  ovolicc  23291  ovolre  23293  voliunlem3  23320  volsup  23324  uniioovol  23347  uniiccvol  23348  vitalilem5  23381  ismbfd  23407  itg2itg1  23503  itg2seq  23509  itg2eqa  23512  itg2mulc  23514  itg2split  23516  itg2mono  23520  deg1add  23863  deg1mul2  23874  deg1tm  23878  umgrislfupgrlem  26017  upgr2pthnlp  26628  xeqlelt  29538  xrstos  29679  xrge0omnd  29711  metideq  29936  metider  29937  esumpad2  30118  esumrnmpt2  30130  measle0  30271  inelcarsg  30373  carsggect  30380  carsgclctun  30383  omsmeas  30385  ovoliunnfl  33451  volsupnfl  33454  iccintsng  39749  liminfval2  40000