Theorem inf3lem2 8526

Description: Lemma for our Axiom of Infinity => standard Axiom of Infinity. See inf3 8532 for detailed description. (Contributed by NM, 28-Oct-1996.)

Hypotheses

Ref	Expression
inf3lem.1	|- G = ( y e. _V |-> { w e. x | ( w i^i x ) C_ y } )
inf3lem.2	|- F = ( rec ( G , (/) ) |` om )
inf3lem.3	|- A e. _V
inf3lem.4	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
inf3lem2	|- ( ( x =/= (/) /\ x C_ U. x ) -> ( A e. om -> ( F ` A ) =/= x ) )

Distinct variable group:   x, y, w

Allowed substitution hints:   A( x, y, w)   B( x, y, w)   F( x, y, w)   G( x, y, w)

Proof of Theorem inf3lem2

Dummy variables v u f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( v = (/) -> ( F ` v ) = ( F ` (/) ) )
2	1	neeq1d 2853	. . . 4 |- ( v = (/) -> ( ( F ` v ) =/= x <-> ( F ` (/) ) =/= x ) )
3	2	imbi2d 330	. . 3 |- ( v = (/) -> ( ( ( x =/= (/) /\ x C_ U. x ) -> ( F ` v ) =/= x ) <-> ( ( x =/= (/) /\ x C_ U. x ) -> ( F ` (/) ) =/= x ) ) )
4		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( v = u -> ( F ` v ) = ( F ` u ) )
5	4	neeq1d 2853	. . . 4 |- ( v = u -> ( ( F ` v ) =/= x <-> ( F ` u ) =/= x ) )
6	5	imbi2d 330	. . 3 |- ( v = u -> ( ( ( x =/= (/) /\ x C_ U. x ) -> ( F ` v ) =/= x ) <-> ( ( x =/= (/) /\ x C_ U. x ) -> ( F ` u ) =/= x ) ) )
7		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( v = suc u -> ( F ` v ) = ( F ` suc u ) )
8	7	neeq1d 2853	. . . 4 |- ( v = suc u -> ( ( F ` v ) =/= x <-> ( F ` suc u ) =/= x ) )
9	8	imbi2d 330	. . 3 |- ( v = suc u -> ( ( ( x =/= (/) /\ x C_ U. x ) -> ( F ` v ) =/= x ) <-> ( ( x =/= (/) /\ x C_ U. x ) -> ( F ` suc u ) =/= x ) ) )
10		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( v = A -> ( F ` v ) = ( F ` A ) )
11	10	neeq1d 2853	. . . 4 |- ( v = A -> ( ( F ` v ) =/= x <-> ( F ` A ) =/= x ) )
12	11	imbi2d 330	. . 3 |- ( v = A -> ( ( ( x =/= (/) /\ x C_ U. x ) -> ( F ` v ) =/= x ) <-> ( ( x =/= (/) /\ x C_ U. x ) -> ( F ` A ) =/= x ) ) )
13		inf3lem.1	. . . . . . . 8 |- G = ( y e. _V |-> { w e. x | ( w i^i x ) C_ y } )
14		inf3lem.2	. . . . . . . 8 |- F = ( rec ( G , (/) ) |` om )
15		inf3lem.3	. . . . . . . 8 |- A e. _V
16		inf3lem.4	. . . . . . . 8 |- B e. _V
17	13, 14, 15, 16	inf3lemb 8522	. . . . . . 7 |- ( F ` (/) ) = (/)
18	17	eqeq1i 2627	. . . . . 6 |- ( ( F ` (/) ) = x <-> (/) = x )
19		eqcom 2629	. . . . . 6 |- ( (/) = x <-> x = (/) )
20	18, 19	sylbb 209	. . . . 5 |- ( ( F ` (/) ) = x -> x = (/) )
21	20	necon3i 2826	. . . 4 |- ( x =/= (/) -> ( F ` (/) ) =/= x )
22	21	adantr 481	. . 3 |- ( ( x =/= (/) /\ x C_ U. x ) -> ( F ` (/) ) =/= x )
23		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- u e. _V
24	13, 14, 23, 16	inf3lemd 8524	. . . . . . . 8 |- ( u e. om -> ( F ` u ) C_ x )
25		df-pss 3590	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` u ) C. x <-> ( ( F ` u ) C_ x /\ ( F ` u ) =/= x ) )
26		pssnel 4039	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` u ) C. x -> E. v ( v e. x /\ -. v e. ( F ` u ) ) )
27	25, 26	sylbir 225	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` u ) C_ x /\ ( F ` u ) =/= x ) -> E. v ( v e. x /\ -. v e. ( F ` u ) ) )
28		ssel 3597	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x C_ U. x -> ( v e. x -> v e. U. x ) )
29		eluni 4439	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v e. U. x <-> E. f ( v e. f /\ f e. x ) )
30	28, 29	syl6ib 241	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x C_ U. x -> ( v e. x -> E. f ( v e. f /\ f e. x ) ) )
31		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( F ` suc u ) = x -> ( f e. ( F ` suc u ) <-> f e. x ) )
32	31	biimparc 504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( f e. x /\ ( F ` suc u ) = x ) -> f e. ( F ` suc u ) )
33	13, 14, 23, 16	inf3lemc 8523	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( u e. om -> ( F ` suc u ) = ( G ` ( F ` u ) ) )
34	33	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( u e. om -> ( f e. ( F ` suc u ) <-> f e. ( G ` ( F ` u ) ) ) )
35		elin 3796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( v e. ( f i^i x ) <-> ( v e. f /\ v e. x ) )
36		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- f e. _V
37		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( F ` u ) e. _V
38	13, 14, 36, 37	inf3lema 8521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( f e. ( G ` ( F ` u ) ) <-> ( f e. x /\ ( f i^i x ) C_ ( F ` u ) ) )
39	38	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( f e. ( G ` ( F ` u ) ) -> ( f i^i x ) C_ ( F ` u ) )
40	39	sseld 3602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( f e. ( G ` ( F ` u ) ) -> ( v e. ( f i^i x ) -> v e. ( F ` u ) ) )
41	35, 40	syl5bir 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( f e. ( G ` ( F ` u ) ) -> ( ( v e. f /\ v e. x ) -> v e. ( F ` u ) ) )
42	34, 41	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( u e. om -> ( f e. ( F ` suc u ) -> ( ( v e. f /\ v e. x ) -> v e. ( F ` u ) ) ) )
43	32, 42	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( u e. om -> ( ( f e. x /\ ( F ` suc u ) = x ) -> ( ( v e. f /\ v e. x ) -> v e. ( F ` u ) ) ) )
44	43	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( u e. om -> ( ( v e. f /\ v e. x ) -> ( ( f e. x /\ ( F ` suc u ) = x ) -> v e. ( F ` u ) ) ) )
45	44	exp5c 644	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u e. om -> ( v e. f -> ( v e. x -> ( f e. x -> ( ( F ` suc u ) = x -> v e. ( F ` u ) ) ) ) ) )
46	45	com34 91	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. om -> ( v e. f -> ( f e. x -> ( v e. x -> ( ( F ` suc u ) = x -> v e. ( F ` u ) ) ) ) ) )
47	46	impd 447	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. om -> ( ( v e. f /\ f e. x ) -> ( v e. x -> ( ( F ` suc u ) = x -> v e. ( F ` u ) ) ) ) )
48	47	exlimdv 1861	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u e. om -> ( E. f ( v e. f /\ f e. x ) -> ( v e. x -> ( ( F ` suc u ) = x -> v e. ( F ` u ) ) ) ) )
49	30, 48	sylan9r 690	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u e. om /\ x C_ U. x ) -> ( v e. x -> ( v e. x -> ( ( F ` suc u ) = x -> v e. ( F ` u ) ) ) ) )
50	49	pm2.43d 53	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u e. om /\ x C_ U. x ) -> ( v e. x -> ( ( F ` suc u ) = x -> v e. ( F ` u ) ) ) )
51		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` suc u ) = x -> v e. ( F ` u ) ) -> ( ( F ` suc u ) = x -> v e. ( F ` u ) ) )
52	51	necon3bd 2808	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` suc u ) = x -> v e. ( F ` u ) ) -> ( -. v e. ( F ` u ) -> ( F ` suc u ) =/= x ) )
53	50, 52	syl6 35	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u e. om /\ x C_ U. x ) -> ( v e. x -> ( -. v e. ( F ` u ) -> ( F ` suc u ) =/= x ) ) )
54	53	impd 447	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u e. om /\ x C_ U. x ) -> ( ( v e. x /\ -. v e. ( F ` u ) ) -> ( F ` suc u ) =/= x ) )
55	54	exlimdv 1861	. . . . . . . . 9 |- ( ( u e. om /\ x C_ U. x ) -> ( E. v ( v e. x /\ -. v e. ( F ` u ) ) -> ( F ` suc u ) =/= x ) )
56	27, 55	syl5 34	. . . . . . . 8 |- ( ( u e. om /\ x C_ U. x ) -> ( ( ( F ` u ) C_ x /\ ( F ` u ) =/= x ) -> ( F ` suc u ) =/= x ) )
57	24, 56	sylani 686	. . . . . . 7 |- ( ( u e. om /\ x C_ U. x ) -> ( ( u e. om /\ ( F ` u ) =/= x ) -> ( F ` suc u ) =/= x ) )
58	57	exp4b 632	. . . . . 6 |- ( u e. om -> ( x C_ U. x -> ( u e. om -> ( ( F ` u ) =/= x -> ( F ` suc u ) =/= x ) ) ) )
59	58	pm2.43a 54	. . . . 5 |- ( u e. om -> ( x C_ U. x -> ( ( F ` u ) =/= x -> ( F ` suc u ) =/= x ) ) )
60	59	adantld 483	. . . 4 |- ( u e. om -> ( ( x =/= (/) /\ x C_ U. x ) -> ( ( F ` u ) =/= x -> ( F ` suc u ) =/= x ) ) )
61	60	a2d 29	. . 3 |- ( u e. om -> ( ( ( x =/= (/) /\ x C_ U. x ) -> ( F ` u ) =/= x ) -> ( ( x =/= (/) /\ x C_ U. x ) -> ( F ` suc u ) =/= x ) ) )
62	3, 6, 9, 12, 22, 61	finds 7092	. 2 |- ( A e. om -> ( ( x =/= (/) /\ x C_ U. x ) -> ( F ` A ) =/= x ) )
63	62	com12 32	1 |- ( ( x =/= (/) /\ x C_ U. x ) -> ( A e. om -> ( F ` A ) =/= x ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   {crab 2916   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   C. wpss 3575   (/)c0 3915   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   |` cres 5116   suc csuc 5725   ` cfv 5888   omcom 7065   reccrdg 7505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506

This theorem is referenced by:  inf3lem3  8527