Theorem infensuc 8138

Description: Any infinite ordinal is equinumerous to its successor. Exercise 7 of [TakeutiZaring] p. 88. Proved without the Axiom of Infinity. (Contributed by NM, 30-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
infensuc	|- ( ( A e. On /\ om C_ A ) -> A ~~ suc A )

Proof of Theorem infensuc

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onprc 6984	. . . . 5 |- -. On e. _V
2		eleq1 2689	. . . . 5 |- ( om = On -> ( om e. _V <-> On e. _V ) )
3	1, 2	mtbiri 317	. . . 4 |- ( om = On -> -. om e. _V )
4		ssexg 4804	. . . . 5 |- ( ( om C_ A /\ A e. On ) -> om e. _V )
5	4	ancoms 469	. . . 4 |- ( ( A e. On /\ om C_ A ) -> om e. _V )
6	3, 5	nsyl3 133	. . 3 |- ( ( A e. On /\ om C_ A ) -> -. om = On )
7		omon 7076	. . . 4 |- ( om e. On \/ om = On )
8	7	ori 390	. . 3 |- ( -. om e. On -> om = On )
9	6, 8	nsyl2 142	. 2 |- ( ( A e. On /\ om C_ A ) -> om e. On )
10		id 22	. . . . . . 7 |- ( x = om -> x = om )
11		suceq 5790	. . . . . . 7 |- ( x = om -> suc x = suc om )
12	10, 11	breq12d 4666	. . . . . 6 |- ( x = om -> ( x ~~ suc x <-> om ~~ suc om ) )
13		id 22	. . . . . . 7 |- ( x = y -> x = y )
14		suceq 5790	. . . . . . 7 |- ( x = y -> suc x = suc y )
15	13, 14	breq12d 4666	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x ~~ suc x <-> y ~~ suc y ) )
16		id 22	. . . . . . 7 |- ( x = suc y -> x = suc y )
17		suceq 5790	. . . . . . 7 |- ( x = suc y -> suc x = suc suc y )
18	16, 17	breq12d 4666	. . . . . 6 |- ( x = suc y -> ( x ~~ suc x <-> suc y ~~ suc suc y ) )
19		id 22	. . . . . . 7 |- ( x = A -> x = A )
20		suceq 5790	. . . . . . 7 |- ( x = A -> suc x = suc A )
21	19, 20	breq12d 4666	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( x ~~ suc x <-> A ~~ suc A ) )
22		limom 7080	. . . . . . 7 |- Lim om
23	22	limensuci 8136	. . . . . 6 |- ( om e. On -> om ~~ suc om )
24		vex 3203	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
25	24	sucex 7011	. . . . . . . . . 10 |- suc y e. _V
26		en2sn 8037	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. _V /\ suc y e. _V ) -> { y } ~~ { suc y } )
27	24, 25, 26	mp2an 708	. . . . . . . . 9 |- { y } ~~ { suc y }
28		eloni 5733	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. On -> Ord y )
29		ordirr 5741	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Ord y -> -. y e. y )
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. On -> -. y e. y )
31		disjsn 4246	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y i^i { y } ) = (/) <-> -. y e. y )
32	30, 31	sylibr 224	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. On -> ( y i^i { y } ) = (/) )
33		eloni 5733	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( suc y e. On -> Ord suc y )
34		ordirr 5741	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Ord suc y -> -. suc y e. suc y )
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( suc y e. On -> -. suc y e. suc y )
36		sucelon 7017	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. On <-> suc y e. On )
37		disjsn 4246	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( suc y i^i { suc y } ) = (/) <-> -. suc y e. suc y )
38	35, 36, 37	3imtr4i 281	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. On -> ( suc y i^i { suc y } ) = (/) )
39	32, 38	jca 554	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. On -> ( ( y i^i { y } ) = (/) /\ ( suc y i^i { suc y } ) = (/) ) )
40		unen 8040	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y ~~ suc y /\ { y } ~~ { suc y } ) /\ ( ( y i^i { y } ) = (/) /\ ( suc y i^i { suc y } ) = (/) ) ) -> ( y u. { y } ) ~~ ( suc y u. { suc y } ) )
41		df-suc 5729	. . . . . . . . . . . 12 |- suc y = ( y u. { y } )
42		df-suc 5729	. . . . . . . . . . . 12 |- suc suc y = ( suc y u. { suc y } )
43	40, 41, 42	3brtr4g 4687	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y ~~ suc y /\ { y } ~~ { suc y } ) /\ ( ( y i^i { y } ) = (/) /\ ( suc y i^i { suc y } ) = (/) ) ) -> suc y ~~ suc suc y )
44	43	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y ~~ suc y /\ { y } ~~ { suc y } ) -> ( ( ( y i^i { y } ) = (/) /\ ( suc y i^i { suc y } ) = (/) ) -> suc y ~~ suc suc y ) )
45	39, 44	syl5 34	. . . . . . . . 9 |- ( ( y ~~ suc y /\ { y } ~~ { suc y } ) -> ( y e. On -> suc y ~~ suc suc y ) )
46	27, 45	mpan2 707	. . . . . . . 8 |- ( y ~~ suc y -> ( y e. On -> suc y ~~ suc suc y ) )
47	46	com12 32	. . . . . . 7 |- ( y e. On -> ( y ~~ suc y -> suc y ~~ suc suc y ) )
48	47	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. On /\ om e. On ) /\ om C_ y ) -> ( y ~~ suc y -> suc y ~~ suc suc y ) )
49		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
50		limensuc 8137	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. _V /\ Lim x ) -> x ~~ suc x )
51	49, 50	mpan 706	. . . . . . . 8 |- ( Lim x -> x ~~ suc x )
52	51	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( Lim x /\ om e. On ) /\ om C_ x ) -> x ~~ suc x )
53	52	a1d 25	. . . . . 6 |- ( ( ( Lim x /\ om e. On ) /\ om C_ x ) -> ( A. y e. x ( om C_ y -> y ~~ suc y ) -> x ~~ suc x ) )
54	12, 15, 18, 21, 23, 48, 53	tfindsg 7060	. . . . 5 |- ( ( ( A e. On /\ om e. On ) /\ om C_ A ) -> A ~~ suc A )
55	54	exp31 630	. . . 4 |- ( A e. On -> ( om e. On -> ( om C_ A -> A ~~ suc A ) ) )
56	55	com23 86	. . 3 |- ( A e. On -> ( om C_ A -> ( om e. On -> A ~~ suc A ) ) )
57	56	imp 445	. 2 |- ( ( A e. On /\ om C_ A ) -> ( om e. On -> A ~~ suc A ) )
58	9, 57	mpd 15	1 |- ( ( A e. On /\ om C_ A ) -> A ~~ suc A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   class class class wbr 4653   Ord word 5722   Oncon0 5723   Lim wlim 5724   suc csuc 5725   omcom 7065   ~~ cen 7952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957

This theorem is referenced by:  cardlim  8798  cardsucinf  8810