Theorem prfi 8235

Description: An unordered pair is finite. (Contributed by NM, 22-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
prfi	|- { A , B } e. Fin

Proof of Theorem prfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4180	. 2 |- { A , B } = ( { A } u. { B } )
2		snfi 8038	. . 3 |- { A } e. Fin
3		snfi 8038	. . 3 |- { B } e. Fin
4		unfi 8227	. . 3 |- ( ( { A } e. Fin /\ { B } e. Fin ) -> ( { A } u. { B } ) e. Fin )
5	2, 3, 4	mp2an 708	. 2 |- ( { A } u. { B } ) e. Fin
6	1, 5	eqeltri 2697	1 |- { A , B } e. Fin

Syntax hints:   e. wcel 1990   u. cun 3572   {csn 4177   {cpr 4179   Fincfn 7955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959

This theorem is referenced by:  tpfi  8236  fiint  8237  inelfi  8324  tskpr  9592  hashpw  13223  hashfun  13224  pr2pwpr  13261  hashtpg  13267  sumpr  14477  lcmfpr  15340  prmreclem2  15621  acsfn2  16324  isdrs2  16939  symg2hash  17817  psgnprfval  17941  znidomb  19910  m2detleib  20437  ovolioo  23336  i1f1  23457  itgioo  23582  limcun  23659  aannenlem2  24084  wilthlem2  24795  perfectlem2  24955  upgrex  25987  ex-hash  27310  prodpr  29572  inelpisys  30217  coinfliplem  30540  coinflippv  30545  subfacp1lem1  31161  poimirlem9  33418  kelac2lem  37634  sumpair  39194  refsum2cnlem1  39196  climxlim2lem  40071  ibliooicc  40187  fourierdlem50  40373  fourierdlem51  40374  fourierdlem54  40377  fourierdlem70  40393  fourierdlem71  40394  fourierdlem76  40399  fourierdlem102  40425  fourierdlem103  40426  fourierdlem104  40427  fourierdlem114  40437  saluncl  40537  sge0pr  40611  meadjun  40679  omeunle  40730  perfectALTVlem2  41631  zlmodzxzel  42133  gsumpr  42139  ldepspr  42262  zlmodzxzldeplem2  42290