Theorem isf32lem11 9185

Description: Lemma for isfin3-2 9189. Remove hypotheses from isf32lem10 9184. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isf32lem11	|- ( ( G e. V /\ ( F : om --> ~P G /\ A. b e. om ( F ` suc b ) C_ ( F ` b ) /\ -. |^| ran F e. ran F ) ) -> om ~<_* G )

Distinct variable groups:   F, b   G, b

Allowed substitution hint:   V( b)

Proof of Theorem isf32lem11

Dummy variables c d e f g h k l are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1061	. . 3 |- ( ( F : om --> ~P G /\ A. b e. om ( F ` suc b ) C_ ( F ` b ) /\ -. |^| ran F e. ran F ) -> F : om --> ~P G )
2		suceq 5790	. . . . . . . 8 |- ( b = c -> suc b = suc c )
3	2	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( b = c -> ( F ` suc b ) = ( F ` suc c ) )
4		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( b = c -> ( F ` b ) = ( F ` c ) )
5	3, 4	sseq12d 3634	. . . . . 6 |- ( b = c -> ( ( F ` suc b ) C_ ( F ` b ) <-> ( F ` suc c ) C_ ( F ` c ) ) )
6	5	cbvralv 3171	. . . . 5 |- ( A. b e. om ( F ` suc b ) C_ ( F ` b ) <-> A. c e. om ( F ` suc c ) C_ ( F ` c ) )
7	6	biimpi 206	. . . 4 |- ( A. b e. om ( F ` suc b ) C_ ( F ` b ) -> A. c e. om ( F ` suc c ) C_ ( F ` c ) )
8	7	3ad2ant2 1083	. . 3 |- ( ( F : om --> ~P G /\ A. b e. om ( F ` suc b ) C_ ( F ` b ) /\ -. |^| ran F e. ran F ) -> A. c e. om ( F ` suc c ) C_ ( F ` c ) )
9		simp3 1063	. . 3 |- ( ( F : om --> ~P G /\ A. b e. om ( F ` suc b ) C_ ( F ` b ) /\ -. |^| ran F e. ran F ) -> -. |^| ran F e. ran F )
10		suceq 5790	. . . . . 6 |- ( e = d -> suc e = suc d )
11	10	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( e = d -> ( F ` suc e ) = ( F ` suc d ) )
12		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( e = d -> ( F ` e ) = ( F ` d ) )
13	11, 12	psseq12d 3701	. . . 4 |- ( e = d -> ( ( F ` suc e ) C. ( F ` e ) <-> ( F ` suc d ) C. ( F ` d ) ) )
14	13	cbvrabv 3199	. . 3 |- { e e. om | ( F ` suc e ) C. ( F ` e ) } = { d e. om | ( F ` suc d ) C. ( F ` d ) }
15		eqid 2622	. . 3 |- ( f e. om |-> ( iota_ g e. { e e. om | ( F ` suc e ) C. ( F ` e ) } ( g i^i { e e. om | ( F ` suc e ) C. ( F ` e ) } ) ~~ f ) ) = ( f e. om |-> ( iota_ g e. { e e. om | ( F ` suc e ) C. ( F ` e ) } ( g i^i { e e. om | ( F ` suc e ) C. ( F ` e ) } ) ~~ f ) )
16		eqid 2622	. . 3 |- ( ( h e. { e e. om | ( F ` suc e ) C. ( F ` e ) } |-> ( ( F ` h ) \ ( F ` suc h ) ) ) o. ( f e. om |-> ( iota_ g e. { e e. om | ( F ` suc e ) C. ( F ` e ) } ( g i^i { e e. om | ( F ` suc e ) C. ( F ` e ) } ) ~~ f ) ) ) = ( ( h e. { e e. om | ( F ` suc e ) C. ( F ` e ) } |-> ( ( F ` h ) \ ( F ` suc h ) ) ) o. ( f e. om |-> ( iota_ g e. { e e. om | ( F ` suc e ) C. ( F ` e ) } ( g i^i { e e. om | ( F ` suc e ) C. ( F ` e ) } ) ~~ f ) ) )
17		eqid 2622	. . 3 |- ( k e. G |-> ( iota l ( l e. om /\ k e. ( ( ( h e. { e e. om | ( F ` suc e ) C. ( F ` e ) } |-> ( ( F ` h ) \ ( F ` suc h ) ) ) o. ( f e. om |-> ( iota_ g e. { e e. om | ( F ` suc e ) C. ( F ` e ) } ( g i^i { e e. om | ( F ` suc e ) C. ( F ` e ) } ) ~~ f ) ) ) ` l ) ) ) ) = ( k e. G |-> ( iota l ( l e. om /\ k e. ( ( ( h e. { e e. om | ( F ` suc e ) C. ( F ` e ) } |-> ( ( F ` h ) \ ( F ` suc h ) ) ) o. ( f e. om |-> ( iota_ g e. { e e. om | ( F ` suc e ) C. ( F ` e ) } ( g i^i { e e. om | ( F ` suc e ) C. ( F ` e ) } ) ~~ f ) ) ) ` l ) ) ) )
18	1, 8, 9, 14, 15, 16, 17	isf32lem10 9184	. 2 |- ( ( F : om --> ~P G /\ A. b e. om ( F ` suc b ) C_ ( F ` b ) /\ -. |^| ran F e. ran F ) -> ( G e. V -> om ~<_* G ) )
19	18	impcom 446	1 |- ( ( G e. V /\ ( F : om --> ~P G /\ A. b e. om ( F ` suc b ) C_ ( F ` b ) /\ -. |^| ran F e. ran F ) ) -> om ~<_* G )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   C. wpss 3575   ~Pcpw 4158   |^|cint 4475   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   o. ccom 5118   suc csuc 5725   iotacio 5849   -->wf 5884   ` cfv 5888   iota_crio 6610   omcom 7065   ~~ cen 7952   ~<_^* cwdom 8462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-wdom 8464  df-card 8765

This theorem is referenced by:  isf32lem12  9186  fin33i  9191