Theorem limsupre3lem 39964

Description: Given a function on the extended reals, its supremum limit is real if and only if two condition holds: 1. there is a real number that is smaller or equal than the function, at some point, in any upper part of the reals; 2. there is a real number that is eventually larger or equal than the function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupre3lem.1	|- F/_ j F
limsupre3lem.2	|- ( ph -> A C_ RR )
limsupre3lem.3	|- ( ph -> F : A --> RR* )

Assertion

Ref	Expression
limsupre3lem	|- ( ph -> ( ( limsup ` F ) e. RR <-> ( E. x e. RR A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) /\ E. x e. RR E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, j, k, x   k, F, x   ph, j, k, x

Allowed substitution hint:   F( j)

Proof of Theorem limsupre3lem

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsupre3lem.1	. . 3 |- F/_ j F
2		limsupre3lem.2	. . 3 |- ( ph -> A C_ RR )
3		limsupre3lem.3	. . 3 |- ( ph -> F : A --> RR* )
4	1, 2, 3	limsupre2 39957	. 2 |- ( ph -> ( ( limsup ` F ) e. RR <-> ( E. y e. RR A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ y < ( F ` j ) ) /\ E. y e. RR E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) < y ) ) ) )
5		simp2 1062	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR /\ A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ y < ( F ` j ) ) ) -> y e. RR )
6		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ j ( ph /\ y e. RR )
7		simp3l 1089	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. A /\ ( k <_ j /\ y < ( F ` j ) ) ) -> k <_ j )
8		simp1r 1086	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. A /\ y < ( F ` j ) ) -> y e. RR )
9	8	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. A /\ y < ( F ` j ) ) -> y e. RR* )
10	3	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( F ` j ) e. RR* )
11	10	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. A ) -> ( F ` j ) e. RR* )
12	11	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. A /\ y < ( F ` j ) ) -> ( F ` j ) e. RR* )
13		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. A /\ y < ( F ` j ) ) -> y < ( F ` j ) )
14	9, 12, 13	xrltled 39486	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. A /\ y < ( F ` j ) ) -> y <_ ( F ` j ) )
15	14	3adant3l 1322	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. A /\ ( k <_ j /\ y < ( F ` j ) ) ) -> y <_ ( F ` j ) )
16	7, 15	jca 554	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. A /\ ( k <_ j /\ y < ( F ` j ) ) ) -> ( k <_ j /\ y <_ ( F ` j ) ) )
17	16	3exp 1264	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( j e. A -> ( ( k <_ j /\ y < ( F ` j ) ) -> ( k <_ j /\ y <_ ( F ` j ) ) ) ) )
18	6, 17	reximdai 3012	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( E. j e. A ( k <_ j /\ y < ( F ` j ) ) -> E. j e. A ( k <_ j /\ y <_ ( F ` j ) ) ) )
19	18	ralimdv 2963	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ y < ( F ` j ) ) -> A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ y <_ ( F ` j ) ) ) )
20	19	3impia 1261	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR /\ A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ y < ( F ` j ) ) ) -> A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ y <_ ( F ` j ) ) )
21		breq1 4656	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( x <_ ( F ` j ) <-> y <_ ( F ` j ) ) )
22	21	anbi2d 740	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) <-> ( k <_ j /\ y <_ ( F ` j ) ) ) )
23	22	rexbidv 3052	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( E. j e. A ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) <-> E. j e. A ( k <_ j /\ y <_ ( F ` j ) ) ) )
24	23	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) <-> A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ y <_ ( F ` j ) ) ) )
25	24	rspcev 3309	. . . . . . 7 |- ( ( y e. RR /\ A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ y <_ ( F ` j ) ) ) -> E. x e. RR A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) )
26	5, 20, 25	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR /\ A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ y < ( F ` j ) ) ) -> E. x e. RR A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) )
27	26	3exp 1264	. . . . 5 |- ( ph -> ( y e. RR -> ( A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ y < ( F ` j ) ) -> E. x e. RR A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) ) ) )
28	27	rexlimdv 3030	. . . 4 |- ( ph -> ( E. y e. RR A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ y < ( F ` j ) ) -> E. x e. RR A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) ) )
29		peano2rem 10348	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR -> ( x - 1 ) e. RR )
30	29	ad2antlr 763	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) ) -> ( x - 1 ) e. RR )
31		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ j ( ph /\ x e. RR )
32		simp3l 1089	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. A /\ ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) ) -> k <_ j )
33		simp1r 1086	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. A /\ ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) ) -> x e. RR )
34	29	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. RR -> ( x - 1 ) e. RR* )
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. A /\ ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) ) -> ( x - 1 ) e. RR* )
36	33	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. A /\ ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) ) -> x e. RR* )
37	10	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. A ) -> ( F ` j ) e. RR* )
38	37	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. A /\ ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) ) -> ( F ` j ) e. RR* )
39	33	ltm1d 10956	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. A /\ ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) ) -> ( x - 1 ) < x )
40		simp3r 1090	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. A /\ ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) ) -> x <_ ( F ` j ) )
41	35, 36, 38, 39, 40	xrltletrd 11992	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. A /\ ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) ) -> ( x - 1 ) < ( F ` j ) )
42	32, 41	jca 554	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. A /\ ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) ) -> ( k <_ j /\ ( x - 1 ) < ( F ` j ) ) )
43	42	3exp 1264	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( j e. A -> ( ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) -> ( k <_ j /\ ( x - 1 ) < ( F ` j ) ) ) ) )
44	31, 43	reximdai 3012	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( E. j e. A ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) -> E. j e. A ( k <_ j /\ ( x - 1 ) < ( F ` j ) ) ) )
45	44	ralimdv 2963	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) -> A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ ( x - 1 ) < ( F ` j ) ) ) )
46	45	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) ) -> A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ ( x - 1 ) < ( F ` j ) ) )
47		breq1 4656	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( x - 1 ) -> ( y < ( F ` j ) <-> ( x - 1 ) < ( F ` j ) ) )
48	47	anbi2d 740	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( x - 1 ) -> ( ( k <_ j /\ y < ( F ` j ) ) <-> ( k <_ j /\ ( x - 1 ) < ( F ` j ) ) ) )
49	48	rexbidv 3052	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( x - 1 ) -> ( E. j e. A ( k <_ j /\ y < ( F ` j ) ) <-> E. j e. A ( k <_ j /\ ( x - 1 ) < ( F ` j ) ) ) )
50	49	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 |- ( y = ( x - 1 ) -> ( A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ y < ( F ` j ) ) <-> A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ ( x - 1 ) < ( F ` j ) ) ) )
51	50	rspcev 3309	. . . . . . 7 |- ( ( ( x - 1 ) e. RR /\ A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ ( x - 1 ) < ( F ` j ) ) ) -> E. y e. RR A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ y < ( F ` j ) ) )
52	30, 46, 51	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) ) -> E. y e. RR A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ y < ( F ` j ) ) )
53	52	ex 450	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) -> E. y e. RR A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ y < ( F ` j ) ) ) )
54	53	rexlimdva 3031	. . . 4 |- ( ph -> ( E. x e. RR A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) -> E. y e. RR A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ y < ( F ` j ) ) ) )
55	28, 54	impbid 202	. . 3 |- ( ph -> ( E. y e. RR A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ y < ( F ` j ) ) <-> E. x e. RR A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) ) )
56		simplr 792	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) < y ) ) -> y e. RR )
57	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. A ) /\ ( F ` j ) < y ) -> ( F ` j ) e. RR* )
58		rexr 10085	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. RR -> y e. RR* )
59	58	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. A ) /\ ( F ` j ) < y ) -> y e. RR* )
60		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. A ) /\ ( F ` j ) < y ) -> ( F ` j ) < y )
61	57, 59, 60	xrltled 39486	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. A ) /\ ( F ` j ) < y ) -> ( F ` j ) <_ y )
62	61	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. A ) -> ( ( F ` j ) < y -> ( F ` j ) <_ y ) )
63	62	imim2d 57	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. A ) -> ( ( k <_ j -> ( F ` j ) < y ) -> ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ y ) ) )
64	63	ralimdva 2962	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) < y ) -> A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ y ) ) )
65	64	reximdv 3016	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) < y ) -> E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ y ) ) )
66	65	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) < y ) ) -> E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ y ) )
67		breq2 4657	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( ( F ` j ) <_ x <-> ( F ` j ) <_ y ) )
68	67	imbi2d 330	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) <-> ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ y ) ) )
69	68	ralbidv 2986	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) <-> A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ y ) ) )
70	69	rexbidv 3052	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) <-> E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ y ) ) )
71	70	rspcev 3309	. . . . . . 7 |- ( ( y e. RR /\ E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ y ) ) -> E. x e. RR E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) )
72	56, 66, 71	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) < y ) ) -> E. x e. RR E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) )
73	72	ex 450	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) < y ) -> E. x e. RR E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) )
74	73	rexlimdva 3031	. . . 4 |- ( ph -> ( E. y e. RR E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) < y ) -> E. x e. RR E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) )
75		peano2re 10209	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR -> ( x + 1 ) e. RR )
76	75	ad2antlr 763	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) -> ( x + 1 ) e. RR )
77	37	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. A ) /\ ( F ` j ) <_ x ) -> ( F ` j ) e. RR* )
78		rexr 10085	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. RR -> x e. RR* )
79	78	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. A ) /\ ( F ` j ) <_ x ) -> x e. RR* )
80	75	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. RR -> ( x + 1 ) e. RR* )
81	80	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. A ) /\ ( F ` j ) <_ x ) -> ( x + 1 ) e. RR* )
82		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. A ) /\ ( F ` j ) <_ x ) -> ( F ` j ) <_ x )
83		ltp1 10861	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. RR -> x < ( x + 1 ) )
84	83	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. A ) /\ ( F ` j ) <_ x ) -> x < ( x + 1 ) )
85	77, 79, 81, 82, 84	xrlelttrd 11991	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. A ) /\ ( F ` j ) <_ x ) -> ( F ` j ) < ( x + 1 ) )
86	85	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. A ) -> ( ( F ` j ) <_ x -> ( F ` j ) < ( x + 1 ) ) )
87	86	imim2d 57	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. A ) -> ( ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) -> ( k <_ j -> ( F ` j ) < ( x + 1 ) ) ) )
88	87	ralimdva 2962	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) -> A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) < ( x + 1 ) ) ) )
89	88	reximdv 3016	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) -> E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) < ( x + 1 ) ) ) )
90	89	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) -> E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) < ( x + 1 ) ) )
91		breq2 4657	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( x + 1 ) -> ( ( F ` j ) < y <-> ( F ` j ) < ( x + 1 ) ) )
92	91	imbi2d 330	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( x + 1 ) -> ( ( k <_ j -> ( F ` j ) < y ) <-> ( k <_ j -> ( F ` j ) < ( x + 1 ) ) ) )
93	92	ralbidv 2986	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( x + 1 ) -> ( A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) < y ) <-> A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) < ( x + 1 ) ) ) )
94	93	rexbidv 3052	. . . . . . . 8 |- ( y = ( x + 1 ) -> ( E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) < y ) <-> E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) < ( x + 1 ) ) ) )
95	94	rspcev 3309	. . . . . . 7 |- ( ( ( x + 1 ) e. RR /\ E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) < ( x + 1 ) ) ) -> E. y e. RR E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) < y ) )
96	76, 90, 95	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) -> E. y e. RR E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) < y ) )
97	96	ex 450	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) -> E. y e. RR E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) < y ) ) )
98	97	rexlimdva 3031	. . . 4 |- ( ph -> ( E. x e. RR E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) -> E. y e. RR E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) < y ) ) )
99	74, 98	impbid 202	. . 3 |- ( ph -> ( E. y e. RR E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) < y ) <-> E. x e. RR E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) )
100	55, 99	anbi12d 747	. 2 |- ( ph -> ( ( E. y e. RR A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ y < ( F ` j ) ) /\ E. y e. RR E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) < y ) ) <-> ( E. x e. RR A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) /\ E. x e. RR E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) ) )
101	4, 100	bitrd 268	1 |- ( ph -> ( ( limsup ` F ) e. RR <-> ( E. x e. RR A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) /\ E. x e. RR E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   limsupclsp 14201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-ico 12181  df-limsup 14202

This theorem is referenced by:  limsupre3  39965