Theorem logdmn0 24386

Description: A number in the continuous domain of log is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
logcn.d	|- D = ( CC \ ( -oo (,] 0 ) )

Assertion

Ref	Expression
logdmn0	|- ( A e. D -> A =/= 0 )

Proof of Theorem logdmn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nrp 11865	. . . 4 |- -. 0 e. RR+
2		0re 10040	. . . . 5 |- 0 e. RR
3		logcn.d	. . . . . . 7 |- D = ( CC \ ( -oo (,] 0 ) )
4	3	ellogdm 24385	. . . . . 6 |- ( 0 e. D <-> ( 0 e. CC /\ ( 0 e. RR -> 0 e. RR+ ) ) )
5	4	simprbi 480	. . . . 5 |- ( 0 e. D -> ( 0 e. RR -> 0 e. RR+ ) )
6	2, 5	mpi 20	. . . 4 |- ( 0 e. D -> 0 e. RR+ )
7	1, 6	mto 188	. . 3 |- -. 0 e. D
8		eleq1 2689	. . 3 |- ( A = 0 -> ( A e. D <-> 0 e. D ) )
9	7, 8	mtbiri 317	. 2 |- ( A = 0 -> -. A e. D )
10	9	necon2ai 2823	1 |- ( A e. D -> A =/= 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   \ cdif 3571  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   -oocmnf 10072   RR+crp 11832   (,]cioc 12176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-rp 11833  df-ioc 12180

This theorem is referenced by:  logdmss  24388  logcnlem2  24389  logcnlem3  24390  logcnlem4  24391  logcnlem5  24392  logcn  24393  dvloglem  24394  logf1o2  24396  logtayl  24406  logtayl2  24408  dvcncxp1  24484  dvcnsqrt  24485  cxpcn  24486  atansssdm  24660  lgamgulmlem2  24756