Theorem lgamgulmlem2 24756

Description: Lemma for lgamgulm 24761. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgamgulm.r	|- ( ph -> R e. NN )
lgamgulm.u	|- U = { x e. CC | ( ( abs ` x ) <_ R /\ A. k e. NN0 ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( x + k ) ) ) }
lgamgulm.n	|- ( ph -> N e. NN )
lgamgulm.a	|- ( ph -> A e. U )
lgamgulm.l	|- ( ph -> ( 2 x. R ) <_ N )

Assertion

Ref	Expression
lgamgulmlem2	|- ( ph -> ( abs ` ( ( A / N ) - ( log ` ( ( A / N ) + 1 ) ) ) ) <_ ( R x. ( ( 1 / ( N - R ) ) - ( 1 / N ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, N   x, k, R   A, k, x   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( k)   U( x, k)   N( k)

Proof of Theorem lgamgulmlem2

Dummy variables y t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1elunit 12291	. . 3 |- 1 e. ( 0 [,] 1 )
2		0elunit 12290	. . 3 |- 0 e. ( 0 [,] 1 )
3		0red 10041	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. RR )
4		1red 10055	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. RR )
5		eqid 2622	. . . . 5 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
6	5	subcn 22669	. . . . . 6 |- - e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
7	6	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> - e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
8		lgamgulm.r	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> R e. NN )
9		lgamgulm.u	. . . . . . . . . . 11 |- U = { x e. CC | ( ( abs ` x ) <_ R /\ A. k e. NN0 ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( x + k ) ) ) }
10	8, 9	lgamgulmlem1 24755	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U C_ ( CC \ ( ZZ \ NN ) ) )
11		lgamgulm.a	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. U )
12	10, 11	sseldd 3604	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. ( CC \ ( ZZ \ NN ) ) )
13	12	eldifad 3586	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. CC )
14		lgamgulm.n	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. NN )
15	14	nnred 11035	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. RR )
16	15	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. CC )
17	14	nnne0d 11065	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N =/= 0 )
18	13, 16, 17	divcld 10801	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A / N ) e. CC )
19		unitssre 12319	. . . . . . . . 9 |- ( 0 [,] 1 ) C_ RR
20		ax-resscn 9993	. . . . . . . . 9 |- RR C_ CC
21	19, 20	sstri 3612	. . . . . . . 8 |- ( 0 [,] 1 ) C_ CC
22	21	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 [,] 1 ) C_ CC )
23		ssid 3624	. . . . . . . 8 |- CC C_ CC
24	23	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> CC C_ CC )
25		cncfmptc 22714	. . . . . . 7 |- ( ( ( A / N ) e. CC /\ ( 0 [,] 1 ) C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( A / N ) ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
26	18, 22, 24, 25	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ph -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( A / N ) ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
27		cncfmptid 22715	. . . . . . 7 |- ( ( ( 0 [,] 1 ) C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> t ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
28	21, 24, 27	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ph -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> t ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
29	26, 28	mulcncf 23215	. . . . 5 |- ( ph -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( A / N ) x. t ) ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
30	18	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( A / N ) e. CC )
31		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> t e. ( 0 [,] 1 ) )
32	19, 31	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> t e. RR )
33	32	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> t e. CC )
34	30, 33	mulcld 10060	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( A / N ) x. t ) e. CC )
35		1cnd 10056	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> 1 e. CC )
36	34, 35	addcld 10059	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) e. CC )
37		rere 13862	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) e. RR -> ( Re ` ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) = ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) )
38	37	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) e. RR ) -> ( Re ` ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) = ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) )
39	36	recld 13934	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( Re ` ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) e. RR )
40	34	recld 13934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( Re ` ( ( A / N ) x. t ) ) e. RR )
41	40	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( Re ` ( ( A / N ) x. t ) ) e. CC )
42	41	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( abs ` ( Re ` ( ( A / N ) x. t ) ) ) e. RR )
43	34	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( abs ` ( ( A / N ) x. t ) ) e. RR )
44		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> 1 e. RR )
45		absrele 14048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A / N ) x. t ) e. CC -> ( abs ` ( Re ` ( ( A / N ) x. t ) ) ) <_ ( abs ` ( ( A / N ) x. t ) ) )
46	34, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( abs ` ( Re ` ( ( A / N ) x. t ) ) ) <_ ( abs ` ( ( A / N ) x. t ) ) )
47	44	rehalfcld 11279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 / 2 ) e. RR )
48	8	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> R e. RR )
49	48	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> R e. RR )
50	14	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> N e. NN )
51	49, 50	nndivred 11069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( R / N ) e. RR )
52	18	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( abs ` ( A / N ) ) e. RR )
53	52	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( abs ` ( A / N ) ) e. RR )
54	30	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( A / N ) ) )
55		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- 0 e. RR
56		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- 1 e. RR
57	55, 56	elicc2i 12239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( t e. ( 0 [,] 1 ) <-> ( t e. RR /\ 0 <_ t /\ t <_ 1 ) )
58	57	simp2bi 1077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( t e. ( 0 [,] 1 ) -> 0 <_ t )
59	58	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> 0 <_ t )
60	13, 16, 17	absdivd 14194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> ( abs ` ( A / N ) ) = ( ( abs ` A ) / ( abs ` N ) ) )
61	14	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ph -> N e. RR+ )
62	61	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ph -> 0 <_ N )
63	15, 62	absidd 14161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ph -> ( abs ` N ) = N )
64	63	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> ( ( abs ` A ) / ( abs ` N ) ) = ( ( abs ` A ) / N ) )
65	60, 64	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> ( ( abs ` A ) / N ) = ( abs ` ( A / N ) ) )
66	13	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> ( abs ` A ) e. RR )
67		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( x = A -> ( abs ` x ) = ( abs ` A ) )
68	67	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( x = A -> ( ( abs ` x ) <_ R <-> ( abs ` A ) <_ R ) )
69		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( x = A -> ( x + k ) = ( A + k ) )
70	69	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( x = A -> ( abs ` ( x + k ) ) = ( abs ` ( A + k ) ) )
71	70	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( x = A -> ( ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( x + k ) ) <-> ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( A + k ) ) ) )
72	71	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( x = A -> ( A. k e. NN0 ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( x + k ) ) <-> A. k e. NN0 ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( A + k ) ) ) )
73	68, 72	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( x = A -> ( ( ( abs ` x ) <_ R /\ A. k e. NN0 ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( x + k ) ) ) <-> ( ( abs ` A ) <_ R /\ A. k e. NN0 ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( A + k ) ) ) ) )
74	73, 9	elrab2 3366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( A e. U <-> ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) <_ R /\ A. k e. NN0 ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( A + k ) ) ) ) )
75	74	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( A e. U -> ( ( abs ` A ) <_ R /\ A. k e. NN0 ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( A + k ) ) ) )
76	11, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ph -> ( ( abs ` A ) <_ R /\ A. k e. NN0 ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( A + k ) ) ) )
77	76	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> ( abs ` A ) <_ R )
78	66, 48, 61, 77	lediv1dd 11930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> ( ( abs ` A ) / N ) <_ ( R / N ) )
79	65, 78	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( abs ` ( A / N ) ) <_ ( R / N ) )
80	79	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( abs ` ( A / N ) ) <_ ( R / N ) )
81	57	simp3bi 1078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( t e. ( 0 [,] 1 ) -> t <_ 1 )
82	81	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> t <_ 1 )
83	53, 51, 32, 44, 54, 59, 80, 82	lemul12ad 10966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( abs ` ( A / N ) ) x. t ) <_ ( ( R / N ) x. 1 ) )
84	30, 33	absmuld 14193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( abs ` ( ( A / N ) x. t ) ) = ( ( abs ` ( A / N ) ) x. ( abs ` t ) ) )
85	32, 59	absidd 14161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( abs ` t ) = t )
86	85	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( abs ` ( A / N ) ) x. ( abs ` t ) ) = ( ( abs ` ( A / N ) ) x. t ) )
87	84, 86	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( abs ` ( A / N ) ) x. t ) = ( abs ` ( ( A / N ) x. t ) ) )
88	51	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( R / N ) e. CC )
89	88	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( R / N ) x. 1 ) = ( R / N ) )
90	83, 87, 89	3brtr3d 4684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( abs ` ( ( A / N ) x. t ) ) <_ ( R / N ) )
91		lgamgulm.l	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> ( 2 x. R ) <_ N )
92		2rp 11837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- 2 e. RR+
93	92	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> 2 e. RR+ )
94	48, 15, 93	lemuldiv2d 11922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> ( ( 2 x. R ) <_ N <-> R <_ ( N / 2 ) ) )
95	91, 94	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> R <_ ( N / 2 ) )
96		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> 2 e. CC )
97		2ne0 11113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- 2 =/= 0
98	97	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> 2 =/= 0 )
99	16, 96, 98	divrecd 10804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( N / 2 ) = ( N x. ( 1 / 2 ) ) )
100	95, 99	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> R <_ ( N x. ( 1 / 2 ) ) )
101	4	rehalfcld 11279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. RR )
102	48, 101, 61	ledivmuld 11925	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( ( R / N ) <_ ( 1 / 2 ) <-> R <_ ( N x. ( 1 / 2 ) ) ) )
103	100, 102	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( R / N ) <_ ( 1 / 2 ) )
104	103	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( R / N ) <_ ( 1 / 2 ) )
105	43, 51, 47, 90, 104	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( abs ` ( ( A / N ) x. t ) ) <_ ( 1 / 2 ) )
106		halflt1 11250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 1 / 2 ) < 1
107	106	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 / 2 ) < 1 )
108	43, 47, 44, 105, 107	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( abs ` ( ( A / N ) x. t ) ) < 1 )
109	42, 43, 44, 46, 108	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( abs ` ( Re ` ( ( A / N ) x. t ) ) ) < 1 )
110	40, 44	absltd 14168	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( abs ` ( Re ` ( ( A / N ) x. t ) ) ) < 1 <-> ( -u 1 < ( Re ` ( ( A / N ) x. t ) ) /\ ( Re ` ( ( A / N ) x. t ) ) < 1 ) ) )
111	109, 110	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( -u 1 < ( Re ` ( ( A / N ) x. t ) ) /\ ( Re ` ( ( A / N ) x. t ) ) < 1 ) )
112	111	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> -u 1 < ( Re ` ( ( A / N ) x. t ) ) )
113	44	renegcld 10457	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> -u 1 e. RR )
114	113, 40	posdifd 10614	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( -u 1 < ( Re ` ( ( A / N ) x. t ) ) <-> 0 < ( ( Re ` ( ( A / N ) x. t ) ) - -u 1 ) ) )
115	112, 114	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> 0 < ( ( Re ` ( ( A / N ) x. t ) ) - -u 1 ) )
116	41, 35	subnegd 10399	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( Re ` ( ( A / N ) x. t ) ) - -u 1 ) = ( ( Re ` ( ( A / N ) x. t ) ) + 1 ) )
117	115, 116	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> 0 < ( ( Re ` ( ( A / N ) x. t ) ) + 1 ) )
118	34, 35	readdd 13954	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( Re ` ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) = ( ( Re ` ( ( A / N ) x. t ) ) + ( Re ` 1 ) ) )
119		re1 13894	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Re ` 1 ) = 1
120	119	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Re ` ( ( A / N ) x. t ) ) + ( Re ` 1 ) ) = ( ( Re ` ( ( A / N ) x. t ) ) + 1 )
121	118, 120	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( Re ` ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) = ( ( Re ` ( ( A / N ) x. t ) ) + 1 ) )
122	117, 121	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> 0 < ( Re ` ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) )
123	39, 122	elrpd 11869	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( Re ` ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) e. RR+ )
124	123	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) e. RR ) -> ( Re ` ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) e. RR+ )
125	38, 124	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) e. RR ) -> ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) e. RR+ )
126	125	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) e. RR -> ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) e. RR+ ) )
127		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) = ( CC \ ( -oo (,] 0 ) )
128	127	ellogdm 24385	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) e. ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) <-> ( ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) e. CC /\ ( ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) e. RR -> ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) e. RR+ ) ) )
129	36, 126, 128	sylanbrc 698	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) e. ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) )
130		eqidd 2623	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) = ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) )
131	127	logcn 24393	. . . . . . . . . . 11 |- ( log |` ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) e. ( ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) -cn-> CC )
132	131	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( log |` ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) e. ( ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) -cn-> CC ) )
133		cncff 22696	. . . . . . . . . 10 |- ( ( log |` ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) e. ( ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) -cn-> CC ) -> ( log |` ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) : ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) --> CC )
134	132, 133	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( log |` ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) : ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) --> CC )
135	134	feqmptd 6249	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( log |` ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) = ( y e. ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) |-> ( ( log |` ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) ` y ) ) )
136		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( y = ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) -> ( ( log |` ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) ` y ) = ( ( log |` ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) ` ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) )
137	129, 130, 135, 136	fmptco 6396	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( log |` ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) o. ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) = ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( log |` ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) ` ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) )
138		fvres 6207	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) e. ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) -> ( ( log |` ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) ` ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) = ( log ` ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) )
139	129, 138	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( log |` ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) ` ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) = ( log ` ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) )
140	139	mpteq2dva 4744	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( log |` ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) ` ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) = ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( log ` ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) )
141	137, 140	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( log |` ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) o. ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) = ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( log ` ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) )
142		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) = ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) )
143	129, 142	fmptd 6385	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) )
144		difss 3737	. . . . . . . . 9 |- ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) C_ CC
145	5	addcn 22668	. . . . . . . . . . 11 |- + e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
146	145	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> + e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
147		1cnd 10056	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 1 e. CC )
148		cncfmptc 22714	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. CC /\ ( 0 [,] 1 ) C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> 1 ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
149	147, 22, 24, 148	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> 1 ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
150	5, 146, 29, 149	cncfmpt2f 22717	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
151		cncffvrn 22701	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) C_ CC /\ ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) ) -> ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) <-> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) )
152	144, 150, 151	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) <-> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) )
153	143, 152	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) )
154	153, 132	cncfco 22710	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( log |` ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) o. ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
155	141, 154	eqeltrrd 2702	. . . . 5 |- ( ph -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( log ` ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
156	5, 7, 29, 155	cncfmpt2f 22717	. . . 4 |- ( ph -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( ( A / N ) x. t ) - ( log ` ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
157	20	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> RR C_ CC )
158	19	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 0 [,] 1 ) C_ RR )
159	127	logdmn0 24386	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) e. ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) -> ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) =/= 0 )
160	129, 159	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) =/= 0 )
161	36, 160	logcld 24317	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( log ` ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) e. CC )
162	34, 161	subcld 10392	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( ( A / N ) x. t ) - ( log ` ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) e. CC )
163	5	tgioo2 22606	. . . . . . . 8 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
164		iccntr 22624	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( 0 [,] 1 ) ) = ( 0 (,) 1 ) )
165	55, 4, 164	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( 0 [,] 1 ) ) = ( 0 (,) 1 ) )
166	157, 158, 162, 163, 5, 165	dvmptntr 23734	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( ( A / N ) x. t ) - ( log ` ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) ) ) = ( RR _D ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( ( A / N ) x. t ) - ( log ` ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) ) ) )
167		reelprrecn 10028	. . . . . . . . 9 |- RR e. { RR , CC }
168	167	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> RR e. { RR , CC } )
169	13	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> A e. CC )
170	16	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> N e. CC )
171	17	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> N =/= 0 )
172	169, 170, 171	divcld 10801	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( A / N ) e. CC )
173		ioossicc 12259	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 (,) 1 ) C_ ( 0 [,] 1 )
174	173	sseli 3599	. . . . . . . . . 10 |- ( t e. ( 0 (,) 1 ) -> t e. ( 0 [,] 1 ) )
175	174, 33	sylan2 491	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> t e. CC )
176	172, 175	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( A / N ) x. t ) e. CC )
177	13	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. RR ) -> A e. CC )
178	16	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. RR ) -> N e. CC )
179	17	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. RR ) -> N =/= 0 )
180	177, 178, 179	divcld 10801	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. RR ) -> ( A / N ) e. CC )
181	157	sselda 3603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. RR ) -> t e. CC )
182	180, 181	mulcld 10060	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. RR ) -> ( ( A / N ) x. t ) e. CC )
183		1cnd 10056	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. RR ) -> 1 e. CC )
184	168	dvmptid 23720	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR _D ( t e. RR |-> t ) ) = ( t e. RR |-> 1 ) )
185	168, 181, 183, 184, 18	dvmptcmul 23727	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( RR _D ( t e. RR |-> ( ( A / N ) x. t ) ) ) = ( t e. RR |-> ( ( A / N ) x. 1 ) ) )
186	18	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( A / N ) x. 1 ) = ( A / N ) )
187	186	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( t e. RR |-> ( ( A / N ) x. 1 ) ) = ( t e. RR |-> ( A / N ) ) )
188	185, 187	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( RR _D ( t e. RR |-> ( ( A / N ) x. t ) ) ) = ( t e. RR |-> ( A / N ) ) )
189	173, 158	syl5ss 3614	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 (,) 1 ) C_ RR )
190		retop 22565	. . . . . . . . . . 11 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
191		iooretop 22569	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 (,) 1 ) e. ( topGen ` ran (,) )
192		isopn3i 20886	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. Top /\ ( 0 (,) 1 ) e. ( topGen ` ran (,) ) ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( 0 (,) 1 ) ) = ( 0 (,) 1 ) )
193	190, 191, 192	mp2an 708	. . . . . . . . . 10 |- ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( 0 (,) 1 ) ) = ( 0 (,) 1 )
194	193	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( 0 (,) 1 ) ) = ( 0 (,) 1 ) )
195	168, 182, 180, 188, 189, 163, 5, 194	dvmptres2 23725	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR _D ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( A / N ) x. t ) ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( A / N ) ) )
196	174, 161	sylan2 491	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( log ` ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) e. CC )
197		1cnd 10056	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> 1 e. CC )
198	176, 197	addcld 10059	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) e. CC )
199	174, 160	sylan2 491	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) =/= 0 )
200	198, 199	reccld 10794	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) e. CC )
201	200, 172	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) x. ( A / N ) ) e. CC )
202		cnelprrecn 10029	. . . . . . . . . 10 |- CC e. { RR , CC }
203	202	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> CC e. { RR , CC } )
204	174, 129	sylan2 491	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) e. ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) )
205		eldifi 3732	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) -> y e. CC )
206	205	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) -> y e. CC )
207	127	logdmn0 24386	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) -> y =/= 0 )
208	207	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) -> y =/= 0 )
209	206, 208	logcld 24317	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) -> ( log ` y ) e. CC )
210	206, 208	reccld 10794	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) -> ( 1 / y ) e. CC )
211	182, 183	addcld 10059	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. RR ) -> ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) e. CC )
212		0cnd 10033	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. RR ) -> 0 e. CC )
213	168, 147	dvmptc 23721	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( RR _D ( t e. RR |-> 1 ) ) = ( t e. RR |-> 0 ) )
214	168, 182, 180, 188, 183, 212, 213	dvmptadd 23723	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR _D ( t e. RR |-> ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) = ( t e. RR |-> ( ( A / N ) + 0 ) ) )
215	18	addid1d 10236	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( A / N ) + 0 ) = ( A / N ) )
216	215	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( t e. RR |-> ( ( A / N ) + 0 ) ) = ( t e. RR |-> ( A / N ) ) )
217	214, 216	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( RR _D ( t e. RR |-> ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) = ( t e. RR |-> ( A / N ) ) )
218	168, 211, 180, 217, 189, 163, 5, 194	dvmptres2 23725	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( RR _D ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( A / N ) ) )
219		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) -> ( ( log |` ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) ` y ) = ( log ` y ) )
220	219	mpteq2ia 4740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) |-> ( ( log |` ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) ` y ) ) = ( y e. ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) |-> ( log ` y ) )
221	135, 220	syl6req 2673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( y e. ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) |-> ( log ` y ) ) = ( log |` ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) )
222	221	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( CC _D ( y e. ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) |-> ( log ` y ) ) ) = ( CC _D ( log |` ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) ) )
223	127	dvlog 24397	. . . . . . . . . 10 |- ( CC _D ( log |` ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) ) = ( y e. ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) |-> ( 1 / y ) )
224	222, 223	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( CC _D ( y e. ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) |-> ( log ` y ) ) ) = ( y e. ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) |-> ( 1 / y ) ) )
225		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) -> ( log ` y ) = ( log ` ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) )
226		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) -> ( 1 / y ) = ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) )
227	168, 203, 204, 172, 209, 210, 218, 224, 225, 226	dvmptco 23735	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR _D ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( log ` ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) x. ( A / N ) ) ) )
228	168, 176, 172, 195, 196, 201, 227	dvmptsub 23730	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( ( A / N ) x. t ) - ( log ` ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( A / N ) - ( ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) x. ( A / N ) ) ) ) )
229	166, 228	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( ( A / N ) x. t ) - ( log ` ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( A / N ) - ( ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) x. ( A / N ) ) ) ) )
230	229	dmeqd 5326	. . . . 5 |- ( ph -> dom ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( ( A / N ) x. t ) - ( log ` ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) ) ) = dom ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( A / N ) - ( ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) x. ( A / N ) ) ) ) )
231		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( ( A / N ) - ( ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) x. ( A / N ) ) ) e. _V
232		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( A / N ) - ( ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) x. ( A / N ) ) ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( A / N ) - ( ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) x. ( A / N ) ) ) )
233	231, 232	dmmpti 6023	. . . . 5 |- dom ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( A / N ) - ( ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) x. ( A / N ) ) ) ) = ( 0 (,) 1 )
234	230, 233	syl6eq 2672	. . . 4 |- ( ph -> dom ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( ( A / N ) x. t ) - ( log ` ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) ) ) = ( 0 (,) 1 ) )
235		2re 11090	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. RR
236	235	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 2 e. RR )
237	236, 48	remulcld 10070	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 x. R ) e. RR )
238	8	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> R e. RR+ )
239	48, 238	ltaddrpd 11905	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> R < ( R + R ) )
240	48	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> R e. CC )
241	240	2timesd 11275	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 x. R ) = ( R + R ) )
242	239, 241	breqtrrd 4681	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> R < ( 2 x. R ) )
243	48, 237, 15, 242, 91	ltletrd 10197	. . . . . . . 8 |- ( ph -> R < N )
244		difrp 11868	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. RR /\ N e. RR ) -> ( R < N <-> ( N - R ) e. RR+ ) )
245	48, 15, 244	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( R < N <-> ( N - R ) e. RR+ ) )
246	243, 245	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N - R ) e. RR+ )
247	246	rprecred 11883	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 / ( N - R ) ) e. RR )
248	14	nnrecred 11066	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 / N ) e. RR )
249	247, 248	resubcld 10458	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1 / ( N - R ) ) - ( 1 / N ) ) e. RR )
250	48, 249	remulcld 10070	. . . 4 |- ( ph -> ( R x. ( ( 1 / ( N - R ) ) - ( 1 / N ) ) ) e. RR )
251	229	fveq1d 6193	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( ( A / N ) x. t ) - ( log ` ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) ) ) ` y ) = ( ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( A / N ) - ( ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) x. ( A / N ) ) ) ) ` y ) )
252	251	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( ( A / N ) x. t ) - ( log ` ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) ) ) ` y ) ) = ( abs ` ( ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( A / N ) - ( ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) x. ( A / N ) ) ) ) ` y ) ) )
253	252	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( ( A / N ) x. t ) - ( log ` ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) ) ) ` y ) ) = ( abs ` ( ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( A / N ) - ( ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) x. ( A / N ) ) ) ) ` y ) ) )
254		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ t ( ph /\ y e. ( 0 (,) 1 ) )
255		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ t abs
256		nffvmpt1 6199	. . . . . . . . 9 |- F/_ t ( ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( A / N ) - ( ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) x. ( A / N ) ) ) ) ` y )
257	255, 256	nffv 6198	. . . . . . . 8 |- F/_ t ( abs ` ( ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( A / N ) - ( ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) x. ( A / N ) ) ) ) ` y ) )
258		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ t <_
259		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ t ( R x. ( ( 1 / ( N - R ) ) - ( 1 / N ) ) )
260	257, 258, 259	nfbr 4699	. . . . . . 7 |- F/ t ( abs ` ( ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( A / N ) - ( ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) x. ( A / N ) ) ) ) ` y ) ) <_ ( R x. ( ( 1 / ( N - R ) ) - ( 1 / N ) ) )
261	254, 260	nfim 1825	. . . . . 6 |- F/ t ( ( ph /\ y e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` ( ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( A / N ) - ( ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) x. ( A / N ) ) ) ) ` y ) ) <_ ( R x. ( ( 1 / ( N - R ) ) - ( 1 / N ) ) ) )
262		eleq1 2689	. . . . . . . 8 |- ( t = y -> ( t e. ( 0 (,) 1 ) <-> y e. ( 0 (,) 1 ) ) )
263	262	anbi2d 740	. . . . . . 7 |- ( t = y -> ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) <-> ( ph /\ y e. ( 0 (,) 1 ) ) ) )
264		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( t = y -> ( ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( A / N ) - ( ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) x. ( A / N ) ) ) ) ` t ) = ( ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( A / N ) - ( ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) x. ( A / N ) ) ) ) ` y ) )
265	264	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( t = y -> ( abs ` ( ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( A / N ) - ( ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) x. ( A / N ) ) ) ) ` t ) ) = ( abs ` ( ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( A / N ) - ( ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) x. ( A / N ) ) ) ) ` y ) ) )
266	265	breq1d 4663	. . . . . . 7 |- ( t = y -> ( ( abs ` ( ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( A / N ) - ( ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) x. ( A / N ) ) ) ) ` t ) ) <_ ( R x. ( ( 1 / ( N - R ) ) - ( 1 / N ) ) ) <-> ( abs ` ( ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( A / N ) - ( ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) x. ( A / N ) ) ) ) ` y ) ) <_ ( R x. ( ( 1 / ( N - R ) ) - ( 1 / N ) ) ) ) )
267	263, 266	imbi12d 334	. . . . . 6 |- ( t = y -> ( ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` ( ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( A / N ) - ( ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) x. ( A / N ) ) ) ) ` t ) ) <_ ( R x. ( ( 1 / ( N - R ) ) - ( 1 / N ) ) ) ) <-> ( ( ph /\ y e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` ( ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( A / N ) - ( ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) x. ( A / N ) ) ) ) ` y ) ) <_ ( R x. ( ( 1 / ( N - R ) ) - ( 1 / N ) ) ) ) ) )
268		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> t e. ( 0 (,) 1 ) )
269	232	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . 10 |- ( ( t e. ( 0 (,) 1 ) /\ ( ( A / N ) - ( ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) x. ( A / N ) ) ) e. _V ) -> ( ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( A / N ) - ( ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) x. ( A / N ) ) ) ) ` t ) = ( ( A / N ) - ( ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) x. ( A / N ) ) ) )
270	268, 231, 269	sylancl 694	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( A / N ) - ( ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) x. ( A / N ) ) ) ) ` t ) = ( ( A / N ) - ( ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) x. ( A / N ) ) ) )
271	270	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` ( ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( A / N ) - ( ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) x. ( A / N ) ) ) ) ` t ) ) = ( abs ` ( ( A / N ) - ( ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) x. ( A / N ) ) ) ) )
272	172, 197, 200	subdid 10486	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( A / N ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) ) = ( ( ( A / N ) x. 1 ) - ( ( A / N ) x. ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) ) )
273	172	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( A / N ) x. 1 ) = ( A / N ) )
274	172, 200	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( A / N ) x. ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) = ( ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) x. ( A / N ) ) )
275	273, 274	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( ( A / N ) x. 1 ) - ( ( A / N ) x. ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) ) = ( ( A / N ) - ( ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) x. ( A / N ) ) ) )
276	272, 275	eqtr2d 2657	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( A / N ) - ( ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) x. ( A / N ) ) ) = ( ( A / N ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) ) )
277	276	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` ( ( A / N ) - ( ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) x. ( A / N ) ) ) ) = ( abs ` ( ( A / N ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) ) ) )
278	169, 170, 171	absdivd 14194	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` ( A / N ) ) = ( ( abs ` A ) / ( abs ` N ) ) )
279	15	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> N e. RR )
280	62	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> 0 <_ N )
281	279, 280	absidd 14161	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` N ) = N )
282	281	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( abs ` A ) / ( abs ` N ) ) = ( ( abs ` A ) / N ) )
283	278, 282	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` ( A / N ) ) = ( ( abs ` A ) / N ) )
284	283	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( abs ` ( A / N ) ) x. ( abs ` ( 1 - ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) / N ) x. ( abs ` ( 1 - ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) ) ) )
285	197, 200	subcld 10392	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( 1 - ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) e. CC )
286	172, 285	absmuld 14193	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` ( ( A / N ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) ) ) = ( ( abs ` ( A / N ) ) x. ( abs ` ( 1 - ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) ) ) )
287	66	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` A ) e. RR )
288	287	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` A ) e. CC )
289	285	abscld 14175	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` ( 1 - ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) ) e. RR )
290	289	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` ( 1 - ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) ) e. CC )
291	288, 290, 170, 171	div23d 10838	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( ( abs ` A ) x. ( abs ` ( 1 - ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) ) ) / N ) = ( ( ( abs ` A ) / N ) x. ( abs ` ( 1 - ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) ) ) )
292	284, 286, 291	3eqtr4d 2666	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` ( ( A / N ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) x. ( abs ` ( 1 - ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) ) ) / N ) )
293	271, 277, 292	3eqtrd 2660	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` ( ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( A / N ) - ( ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) x. ( A / N ) ) ) ) ` t ) ) = ( ( ( abs ` A ) x. ( abs ` ( 1 - ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) ) ) / N ) )
294	48	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> R e. RR )
295	247	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( 1 / ( N - R ) ) e. RR )
296	248	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( 1 / N ) e. RR )
297	295, 296	resubcld 10458	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( 1 / ( N - R ) ) - ( 1 / N ) ) e. RR )
298	279, 297	remulcld 10070	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( N x. ( ( 1 / ( N - R ) ) - ( 1 / N ) ) ) e. RR )
299	13	absge0d 14183	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 <_ ( abs ` A ) )
300	299	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> 0 <_ ( abs ` A ) )
301	285	absge0d 14183	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( 1 - ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) ) )
302	77	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` A ) <_ R )
303	246	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( N - R ) e. RR+ )
304	238	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> R e. RR+ )
305	303, 304	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( N - R ) / R ) e. RR+ )
306	12	dmgmn0 24752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> A =/= 0 )
307	306	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> A =/= 0 )
308	169, 170, 307, 171	divne0d 10817	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( A / N ) =/= 0 )
309		eliooord 12233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( t e. ( 0 (,) 1 ) -> ( 0 < t /\ t < 1 ) )
310	309	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( 0 < t /\ t < 1 ) )
311	310	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> 0 < t )
312	311	gt0ne0d 10592	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> t =/= 0 )
313	172, 175, 308, 312	mulne0d 10679	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( A / N ) x. t ) =/= 0 )
314	176, 313	reccld 10794	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( 1 / ( ( A / N ) x. t ) ) e. CC )
315	197, 314	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( 1 + ( 1 / ( ( A / N ) x. t ) ) ) e. CC )
316	176, 197, 176, 313	divdird 10839	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) / ( ( A / N ) x. t ) ) = ( ( ( ( A / N ) x. t ) / ( ( A / N ) x. t ) ) + ( 1 / ( ( A / N ) x. t ) ) ) )
317	176, 313	dividd 10799	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( ( A / N ) x. t ) / ( ( A / N ) x. t ) ) = 1 )
318	317	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( ( ( A / N ) x. t ) / ( ( A / N ) x. t ) ) + ( 1 / ( ( A / N ) x. t ) ) ) = ( 1 + ( 1 / ( ( A / N ) x. t ) ) ) )
319	316, 318	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) / ( ( A / N ) x. t ) ) = ( 1 + ( 1 / ( ( A / N ) x. t ) ) ) )
320	198, 176, 199, 313	divne0d 10817	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) / ( ( A / N ) x. t ) ) =/= 0 )
321	319, 320	eqnetrrd 2862	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( 1 + ( 1 / ( ( A / N ) x. t ) ) ) =/= 0 )
322	315, 321	absrpcld 14187	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` ( 1 + ( 1 / ( ( A / N ) x. t ) ) ) ) e. RR+ )
323		1red 10055	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> 1 e. RR )
324		0le1 10551	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 <_ 1
325	324	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> 0 <_ 1 )
326	305	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( N - R ) / R ) e. RR )
327	314	negcld 10379	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> -u ( 1 / ( ( A / N ) x. t ) ) e. CC )
328	327	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` -u ( 1 / ( ( A / N ) x. t ) ) ) e. RR )
329	328, 323	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( abs ` -u ( 1 / ( ( A / N ) x. t ) ) ) - 1 ) e. RR )
330	315	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` ( 1 + ( 1 / ( ( A / N ) x. t ) ) ) ) e. RR )
331	240	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> R e. CC )
332	304	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> R =/= 0 )
333	170, 331, 331, 332	divsubdird 10840	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( N - R ) / R ) = ( ( N / R ) - ( R / R ) ) )
334	331, 332	dividd 10799	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( R / R ) = 1 )
335	334	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( N / R ) - ( R / R ) ) = ( ( N / R ) - 1 ) )
336	333, 335	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( N - R ) / R ) = ( ( N / R ) - 1 ) )
337	279, 304	rerpdivcld 11903	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( N / R ) e. RR )
338	331, 170, 332, 171	recdivd 10818	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( 1 / ( R / N ) ) = ( N / R ) )
339	174, 90	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` ( ( A / N ) x. t ) ) <_ ( R / N ) )
340	176, 313	absrpcld 14187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` ( ( A / N ) x. t ) ) e. RR+ )
341	61	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> N e. RR+ )
342	304, 341	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( R / N ) e. RR+ )
343	340, 342	lerecd 11891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( abs ` ( ( A / N ) x. t ) ) <_ ( R / N ) <-> ( 1 / ( R / N ) ) <_ ( 1 / ( abs ` ( ( A / N ) x. t ) ) ) ) )
344	339, 343	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( 1 / ( R / N ) ) <_ ( 1 / ( abs ` ( ( A / N ) x. t ) ) ) )
345	338, 344	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( N / R ) <_ ( 1 / ( abs ` ( ( A / N ) x. t ) ) ) )
346	314	absnegd 14188	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` -u ( 1 / ( ( A / N ) x. t ) ) ) = ( abs ` ( 1 / ( ( A / N ) x. t ) ) ) )
347	197, 176, 313	absdivd 14194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` ( 1 / ( ( A / N ) x. t ) ) ) = ( ( abs ` 1 ) / ( abs ` ( ( A / N ) x. t ) ) ) )
348		abs1 14037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( abs ` 1 ) = 1
349	348	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( abs ` 1 ) / ( abs ` ( ( A / N ) x. t ) ) ) = ( 1 / ( abs ` ( ( A / N ) x. t ) ) )
350	347, 349	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` ( 1 / ( ( A / N ) x. t ) ) ) = ( 1 / ( abs ` ( ( A / N ) x. t ) ) ) )
351	346, 350	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` -u ( 1 / ( ( A / N ) x. t ) ) ) = ( 1 / ( abs ` ( ( A / N ) x. t ) ) ) )
352	345, 351	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( N / R ) <_ ( abs ` -u ( 1 / ( ( A / N ) x. t ) ) ) )
353	337, 328, 323, 352	lesub1dd 10643	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( N / R ) - 1 ) <_ ( ( abs ` -u ( 1 / ( ( A / N ) x. t ) ) ) - 1 ) )
354	336, 353	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( N - R ) / R ) <_ ( ( abs ` -u ( 1 / ( ( A / N ) x. t ) ) ) - 1 ) )
355	348	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( abs ` -u ( 1 / ( ( A / N ) x. t ) ) ) - ( abs ` 1 ) ) = ( ( abs ` -u ( 1 / ( ( A / N ) x. t ) ) ) - 1 )
356	327, 197	abs2difd 14196	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( abs ` -u ( 1 / ( ( A / N ) x. t ) ) ) - ( abs ` 1 ) ) <_ ( abs ` ( -u ( 1 / ( ( A / N ) x. t ) ) - 1 ) ) )
357	355, 356	syl5eqbrr 4689	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( abs ` -u ( 1 / ( ( A / N ) x. t ) ) ) - 1 ) <_ ( abs ` ( -u ( 1 / ( ( A / N ) x. t ) ) - 1 ) ) )
358	197, 314	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( 1 + ( 1 / ( ( A / N ) x. t ) ) ) = ( ( 1 / ( ( A / N ) x. t ) ) + 1 ) )
359	358	negeqd 10275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> -u ( 1 + ( 1 / ( ( A / N ) x. t ) ) ) = -u ( ( 1 / ( ( A / N ) x. t ) ) + 1 ) )
360	314, 197	negdi2d 10406	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> -u ( ( 1 / ( ( A / N ) x. t ) ) + 1 ) = ( -u ( 1 / ( ( A / N ) x. t ) ) - 1 ) )
361	359, 360	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> -u ( 1 + ( 1 / ( ( A / N ) x. t ) ) ) = ( -u ( 1 / ( ( A / N ) x. t ) ) - 1 ) )
362	361	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` -u ( 1 + ( 1 / ( ( A / N ) x. t ) ) ) ) = ( abs ` ( -u ( 1 / ( ( A / N ) x. t ) ) - 1 ) ) )
363	315	absnegd 14188	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` -u ( 1 + ( 1 / ( ( A / N ) x. t ) ) ) ) = ( abs ` ( 1 + ( 1 / ( ( A / N ) x. t ) ) ) ) )
364	362, 363	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` ( -u ( 1 / ( ( A / N ) x. t ) ) - 1 ) ) = ( abs ` ( 1 + ( 1 / ( ( A / N ) x. t ) ) ) ) )
365	357, 364	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( abs ` -u ( 1 / ( ( A / N ) x. t ) ) ) - 1 ) <_ ( abs ` ( 1 + ( 1 / ( ( A / N ) x. t ) ) ) ) )
366	326, 329, 330, 354, 365	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( N - R ) / R ) <_ ( abs ` ( 1 + ( 1 / ( ( A / N ) x. t ) ) ) ) )
367	305, 322, 323, 325, 366	lediv2ad 11894	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( 1 / ( abs ` ( 1 + ( 1 / ( ( A / N ) x. t ) ) ) ) ) <_ ( 1 / ( ( N - R ) / R ) ) )
368	16, 240	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( N - R ) e. CC )
369	368	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( N - R ) e. CC )
370	48, 243	gtned 10172	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> N =/= R )
371	16, 240, 370	subne0d 10401	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( N - R ) =/= 0 )
372	371	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( N - R ) =/= 0 )
373	369, 331, 372, 332	recdivd 10818	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( 1 / ( ( N - R ) / R ) ) = ( R / ( N - R ) ) )
374	170, 331	nncand 10397	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( N - ( N - R ) ) = R )
375	374	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( N - ( N - R ) ) / ( N - R ) ) = ( R / ( N - R ) ) )
376	170, 369, 369, 372	divsubdird 10840	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( N - ( N - R ) ) / ( N - R ) ) = ( ( N / ( N - R ) ) - ( ( N - R ) / ( N - R ) ) ) )
377	375, 376	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( R / ( N - R ) ) = ( ( N / ( N - R ) ) - ( ( N - R ) / ( N - R ) ) ) )
378	369, 372	dividd 10799	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( N - R ) / ( N - R ) ) = 1 )
379	378	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( N / ( N - R ) ) - ( ( N - R ) / ( N - R ) ) ) = ( ( N / ( N - R ) ) - 1 ) )
380	373, 377, 379	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( 1 / ( ( N - R ) / R ) ) = ( ( N / ( N - R ) ) - 1 ) )
381	367, 380	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( 1 / ( abs ` ( 1 + ( 1 / ( ( A / N ) x. t ) ) ) ) ) <_ ( ( N / ( N - R ) ) - 1 ) )
382	198, 197, 198, 199	divsubdird 10840	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) - 1 ) / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) = ( ( ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) - ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) )
383	176, 197	pncand 10393	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) - 1 ) = ( ( A / N ) x. t ) )
384	383	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) - 1 ) / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) = ( ( ( A / N ) x. t ) / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) )
385	198, 199	dividd 10799	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) = 1 )
386	385	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) - ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) = ( 1 - ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) )
387	382, 384, 386	3eqtr3rd 2665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( 1 - ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) = ( ( ( A / N ) x. t ) / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) )
388	198, 176, 199, 313	recdivd 10818	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( 1 / ( ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) / ( ( A / N ) x. t ) ) ) = ( ( ( A / N ) x. t ) / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) )
389	319	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( 1 / ( ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) / ( ( A / N ) x. t ) ) ) = ( 1 / ( 1 + ( 1 / ( ( A / N ) x. t ) ) ) ) )
390	387, 388, 389	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( 1 - ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) = ( 1 / ( 1 + ( 1 / ( ( A / N ) x. t ) ) ) ) )
391	390	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` ( 1 - ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) ) = ( abs ` ( 1 / ( 1 + ( 1 / ( ( A / N ) x. t ) ) ) ) ) )
392	197, 315, 321	absdivd 14194	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` ( 1 / ( 1 + ( 1 / ( ( A / N ) x. t ) ) ) ) ) = ( ( abs ` 1 ) / ( abs ` ( 1 + ( 1 / ( ( A / N ) x. t ) ) ) ) ) )
393	348	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( abs ` 1 ) / ( abs ` ( 1 + ( 1 / ( ( A / N ) x. t ) ) ) ) ) = ( 1 / ( abs ` ( 1 + ( 1 / ( ( A / N ) x. t ) ) ) ) )
394	392, 393	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` ( 1 / ( 1 + ( 1 / ( ( A / N ) x. t ) ) ) ) ) = ( 1 / ( abs ` ( 1 + ( 1 / ( ( A / N ) x. t ) ) ) ) ) )
395	391, 394	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` ( 1 - ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) ) = ( 1 / ( abs ` ( 1 + ( 1 / ( ( A / N ) x. t ) ) ) ) ) )
396	368, 371	reccld 10794	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 1 / ( N - R ) ) e. CC )
397	396	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( 1 / ( N - R ) ) e. CC )
398	248	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 1 / N ) e. CC )
399	398	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( 1 / N ) e. CC )
400	170, 397, 399	subdid 10486	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( N x. ( ( 1 / ( N - R ) ) - ( 1 / N ) ) ) = ( ( N x. ( 1 / ( N - R ) ) ) - ( N x. ( 1 / N ) ) ) )
401	170, 369, 372	divrecd 10804	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( N / ( N - R ) ) = ( N x. ( 1 / ( N - R ) ) ) )
402	401	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( N x. ( 1 / ( N - R ) ) ) = ( N / ( N - R ) ) )
403	170, 171	recidd 10796	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( N x. ( 1 / N ) ) = 1 )
404	402, 403	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( N x. ( 1 / ( N - R ) ) ) - ( N x. ( 1 / N ) ) ) = ( ( N / ( N - R ) ) - 1 ) )
405	400, 404	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( N x. ( ( 1 / ( N - R ) ) - ( 1 / N ) ) ) = ( ( N / ( N - R ) ) - 1 ) )
406	381, 395, 405	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` ( 1 - ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) ) <_ ( N x. ( ( 1 / ( N - R ) ) - ( 1 / N ) ) ) )
407	287, 294, 289, 298, 300, 301, 302, 406	lemul12ad 10966	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` ( 1 - ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) ) ) <_ ( R x. ( N x. ( ( 1 / ( N - R ) ) - ( 1 / N ) ) ) ) )
408	249	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 1 / ( N - R ) ) - ( 1 / N ) ) e. CC )
409	408	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( 1 / ( N - R ) ) - ( 1 / N ) ) e. CC )
410	331, 170, 409	mul12d 10245	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( R x. ( N x. ( ( 1 / ( N - R ) ) - ( 1 / N ) ) ) ) = ( N x. ( R x. ( ( 1 / ( N - R ) ) - ( 1 / N ) ) ) ) )
411	407, 410	breqtrd 4679	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` ( 1 - ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) ) ) <_ ( N x. ( R x. ( ( 1 / ( N - R ) ) - ( 1 / N ) ) ) ) )
412	287, 289	remulcld 10070	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` ( 1 - ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) ) ) e. RR )
413	250	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( R x. ( ( 1 / ( N - R ) ) - ( 1 / N ) ) ) e. RR )
414	412, 413, 341	ledivmuld 11925	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( ( ( abs ` A ) x. ( abs ` ( 1 - ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) ) ) / N ) <_ ( R x. ( ( 1 / ( N - R ) ) - ( 1 / N ) ) ) <-> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` ( 1 - ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) ) ) <_ ( N x. ( R x. ( ( 1 / ( N - R ) ) - ( 1 / N ) ) ) ) ) )
415	411, 414	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( ( abs ` A ) x. ( abs ` ( 1 - ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) ) ) / N ) <_ ( R x. ( ( 1 / ( N - R ) ) - ( 1 / N ) ) ) )
416	293, 415	eqbrtrd 4675	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` ( ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( A / N ) - ( ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) x. ( A / N ) ) ) ) ` t ) ) <_ ( R x. ( ( 1 / ( N - R ) ) - ( 1 / N ) ) ) )
417	261, 267, 416	chvar 2262	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` ( ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( A / N ) - ( ( 1 / ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) x. ( A / N ) ) ) ) ` y ) ) <_ ( R x. ( ( 1 / ( N - R ) ) - ( 1 / N ) ) ) )
418	253, 417	eqbrtrd 4675	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( ( A / N ) x. t ) - ( log ` ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) ) ) ` y ) ) <_ ( R x. ( ( 1 / ( N - R ) ) - ( 1 / N ) ) ) )
419	3, 4, 156, 234, 250, 418	dvlip 23756	. . 3 |- ( ( ph /\ ( 1 e. ( 0 [,] 1 ) /\ 0 e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( ( A / N ) x. t ) - ( log ` ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) ) ` 1 ) - ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( ( A / N ) x. t ) - ( log ` ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) ) ` 0 ) ) ) <_ ( ( R x. ( ( 1 / ( N - R ) ) - ( 1 / N ) ) ) x. ( abs ` ( 1 - 0 ) ) ) )
420	1, 2, 419	mpanr12 721	. 2 |- ( ph -> ( abs ` ( ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( ( A / N ) x. t ) - ( log ` ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) ) ` 1 ) - ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( ( A / N ) x. t ) - ( log ` ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) ) ` 0 ) ) ) <_ ( ( R x. ( ( 1 / ( N - R ) ) - ( 1 / N ) ) ) x. ( abs ` ( 1 - 0 ) ) ) )
421		eqidd 2623	. . . . . 6 |- ( ph -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( ( A / N ) x. t ) - ( log ` ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) ) = ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( ( A / N ) x. t ) - ( log ` ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) ) )
422		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( t = 1 -> ( ( A / N ) x. t ) = ( ( A / N ) x. 1 ) )
423	422, 186	sylan9eqr 2678	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t = 1 ) -> ( ( A / N ) x. t ) = ( A / N ) )
424	423	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t = 1 ) -> ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) = ( ( A / N ) + 1 ) )
425	424	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t = 1 ) -> ( log ` ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) = ( log ` ( ( A / N ) + 1 ) ) )
426	423, 425	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t = 1 ) -> ( ( ( A / N ) x. t ) - ( log ` ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) = ( ( A / N ) - ( log ` ( ( A / N ) + 1 ) ) ) )
427	1	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. ( 0 [,] 1 ) )
428		ovexd 6680	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( A / N ) - ( log ` ( ( A / N ) + 1 ) ) ) e. _V )
429	421, 426, 427, 428	fvmptd 6288	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( ( A / N ) x. t ) - ( log ` ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) ) ` 1 ) = ( ( A / N ) - ( log ` ( ( A / N ) + 1 ) ) ) )
430		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( t = 0 -> ( ( A / N ) x. t ) = ( ( A / N ) x. 0 ) )
431	18	mul01d 10235	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( A / N ) x. 0 ) = 0 )
432	430, 431	sylan9eqr 2678	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t = 0 ) -> ( ( A / N ) x. t ) = 0 )
433	432	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t = 0 ) -> ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
434		0p1e1 11132	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 + 1 ) = 1
435	433, 434	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t = 0 ) -> ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) = 1 )
436	435	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t = 0 ) -> ( log ` ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) = ( log ` 1 ) )
437		log1 24332	. . . . . . . . 9 |- ( log ` 1 ) = 0
438	436, 437	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t = 0 ) -> ( log ` ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) = 0 )
439	432, 438	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t = 0 ) -> ( ( ( A / N ) x. t ) - ( log ` ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) = ( 0 - 0 ) )
440		0m0e0 11130	. . . . . . 7 |- ( 0 - 0 ) = 0
441	439, 440	syl6eq 2672	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t = 0 ) -> ( ( ( A / N ) x. t ) - ( log ` ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) = 0 )
442	2	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 e. ( 0 [,] 1 ) )
443	421, 441, 442, 442	fvmptd 6288	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( ( A / N ) x. t ) - ( log ` ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) ) ` 0 ) = 0 )
444	429, 443	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( ( A / N ) x. t ) - ( log ` ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) ) ` 1 ) - ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( ( A / N ) x. t ) - ( log ` ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) ) ` 0 ) ) = ( ( ( A / N ) - ( log ` ( ( A / N ) + 1 ) ) ) - 0 ) )
445	18, 147	addcld 10059	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( A / N ) + 1 ) e. CC )
446	12, 14	dmgmdivn0 24754	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( A / N ) + 1 ) =/= 0 )
447	445, 446	logcld 24317	. . . . . 6 |- ( ph -> ( log ` ( ( A / N ) + 1 ) ) e. CC )
448	18, 447	subcld 10392	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A / N ) - ( log ` ( ( A / N ) + 1 ) ) ) e. CC )
449	448	subid1d 10381	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( A / N ) - ( log ` ( ( A / N ) + 1 ) ) ) - 0 ) = ( ( A / N ) - ( log ` ( ( A / N ) + 1 ) ) ) )
450	444, 449	eqtr2d 2657	. . 3 |- ( ph -> ( ( A / N ) - ( log ` ( ( A / N ) + 1 ) ) ) = ( ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( ( A / N ) x. t ) - ( log ` ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) ) ` 1 ) - ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( ( A / N ) x. t ) - ( log ` ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) ) ` 0 ) ) )
451	450	fveq2d 6195	. 2 |- ( ph -> ( abs ` ( ( A / N ) - ( log ` ( ( A / N ) + 1 ) ) ) ) = ( abs ` ( ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( ( A / N ) x. t ) - ( log ` ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) ) ` 1 ) - ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( ( A / N ) x. t ) - ( log ` ( ( ( A / N ) x. t ) + 1 ) ) ) ) ` 0 ) ) ) )
452		1m0e1 11131	. . . . . 6 |- ( 1 - 0 ) = 1
453	452	fveq2i 6194	. . . . 5 |- ( abs ` ( 1 - 0 ) ) = ( abs ` 1 )
454	453, 348	eqtri 2644	. . . 4 |- ( abs ` ( 1 - 0 ) ) = 1
455	454	oveq2i 6661	. . 3 |- ( ( R x. ( ( 1 / ( N - R ) ) - ( 1 / N ) ) ) x. ( abs ` ( 1 - 0 ) ) ) = ( ( R x. ( ( 1 / ( N - R ) ) - ( 1 / N ) ) ) x. 1 )
456	240, 408	mulcld 10060	. . . 4 |- ( ph -> ( R x. ( ( 1 / ( N - R ) ) - ( 1 / N ) ) ) e. CC )
457	456	mulid1d 10057	. . 3 |- ( ph -> ( ( R x. ( ( 1 / ( N - R ) ) - ( 1 / N ) ) ) x. 1 ) = ( R x. ( ( 1 / ( N - R ) ) - ( 1 / N ) ) ) )
458	455, 457	syl5req 2669	. 2 |- ( ph -> ( R x. ( ( 1 / ( N - R ) ) - ( 1 / N ) ) ) = ( ( R x. ( ( 1 / ( N - R ) ) - ( 1 / N ) ) ) x. ( abs ` ( 1 - 0 ) ) ) )
459	420, 451, 458	3brtr4d 4685	1 |- ( ph -> ( abs ` ( ( A / N ) - ( log ` ( ( A / N ) + 1 ) ) ) ) <_ ( R x. ( ( 1 / ( N - R ) ) - ( 1 / N ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   {cpr 4179   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   -oocmnf 10072   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   (,]cioc 12176   [,]cicc 12178   Recre 13837   abscabs 13974   TopOpenctopn 16082   topGenctg 16098  ℂ_fldccnfld 19746   Topctop 20698   intcnt 20821   Cn ccn 21028   tX ctx 21363   -cn->ccncf 22679   _D cdv 23627   logclog 24301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-tan 14802  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303

This theorem is referenced by:  lgamgulmlem3  24757