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Theorem logcnlem4 24391

Description: Lemma for logcn 24393. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
logcn.d	$\$
logcnlem.s
logcnlem.t
logcnlem.a
logcnlem.r
logcnlem.b
logcnlem.l

**Assertion**
Ref	Expression
logcnlem4

**Proof of Theorem logcnlem4**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		logcnlem.a	. . . . . . . 8
2		logcn.d	. . . . . . . . . 10 $\$
3	2	ellogdm 24385	. . . . . . . . 9 $/\$
4	3	simplbi 476	. . . . . . . 8
5	1, 4	syl 17	. . . . . . 7
6	2	logdmn0 24386	. . . . . . . 8
7	1, 6	syl 17	. . . . . . 7
8	5, 7	logcld 24317	. . . . . 6
9	8	imcld 13935	. . . . 5
10	9	recnd 10068	. . . 4
11		logcnlem.b	. . . . . . . 8
12	2	ellogdm 24385	. . . . . . . . 9 $/\$
13	12	simplbi 476	. . . . . . . 8
14	11, 13	syl 17	. . . . . . 7
15	2	logdmn0 24386	. . . . . . . 8
16	11, 15	syl 17	. . . . . . 7
17	14, 16	logcld 24317	. . . . . 6
18	17	imcld 13935	. . . . 5
19	18	recnd 10068	. . . 4
20	10, 19	abssubd 14192	. . 3
21	17, 8	imsubd 13957	. . . . 5
22		efsub 14830	. . . . . . . . . 10 $/\$
23	17, 8, 22	syl2anc 693	. . . . . . . . 9
24		eflog 24323	. . . . . . . . . . 11 $/\$
25	14, 16, 24	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10
26		eflog 24323	. . . . . . . . . . 11 $/\$
27	5, 7, 26	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10
28	25, 27	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9
29	23, 28	eqtrd 2656	. . . . . . . 8
30	14, 5, 7	divcld 10801	. . . . . . . . 9
31	14, 5, 16, 7	divne0d 10817	. . . . . . . . 9
32	17, 8	subcld 10392	. . . . . . . . . 10
33		logcnlem.s	. . . . . . . . . . . . 13
34		logcnlem.t	. . . . . . . . . . . . 13
35		logcnlem.r	. . . . . . . . . . . . 13
36		logcnlem.l	. . . . . . . . . . . . 13
37	2, 33, 34, 1, 35, 11, 36	logcnlem3 24390	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
38	37	simpld 475	. . . . . . . . . . 11
39	38, 21	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . 10
40	37	simprd 479	. . . . . . . . . . 11
41	21, 40	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . 10
42		ellogrn 24306	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
43	32, 39, 41, 42	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . 9
44		logeftb 24330	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
45	30, 31, 43, 44	syl3anc 1326	. . . . . . . 8
46	29, 45	mpbird 247	. . . . . . 7
47	46	eqcomd 2628	. . . . . 6
48	47	fveq2d 6195	. . . . 5
49	21, 48	eqtr3d 2658	. . . 4
50	49	fveq2d 6195	. . 3
51	20, 50	eqtrd 2656	. 2
52	30, 31	logcld 24317	. . . . . 6
53	52	imcld 13935	. . . . 5
54	53	recnd 10068	. . . 4
55	54	abscld 14175	. . 3
56		0red 10041	. . . . . . . . . 10
57		1re 10039	. . . . . . . . . . 11
58	5, 14	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . 13
59	58	abscld 14175	. . . . . . . . . . . 12
60	5, 7	absrpcld 14187	. . . . . . . . . . . 12
61	59, 60	rerpdivcld 11903	. . . . . . . . . . 11
62		resubcl 10345	. . . . . . . . . . 11 $/\$
63	57, 61, 62	sylancr 695	. . . . . . . . . 10
64	30	recld 13934	. . . . . . . . . 10
65	5	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . 16
66	35	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
67		1rp 11836	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
68		rpaddcl 11854	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
69	67, 35, 68	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
70	66, 69	rerpdivcld 11903	. . . . . . . . . . . . . . . 16
71	65, 70	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . 15
72	34, 71	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . 14
73		rpre 11839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
74	73	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
75	5	imcld 13935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
76	75	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
77	76	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
78	77	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
79	74, 78	ifclda 4120	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
80	33, 79	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
81		ltmin 12025	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
82	59, 80, 72, 81	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
83	36, 82	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
84	83	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . 14
85	69	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
86	66	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
87	66	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
88		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
89		addcom 10222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
90	87, 88, 89	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
91	86, 90	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
92	66, 85, 91	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
93	85	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
94	93	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
95	92, 94	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
96	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
97	66, 96, 69	ledivmuld 11925	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
98	95, 97	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
99	70, 96, 60	lemul2d 11916	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
100	98, 99	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . 16
101	65	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
102	101	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . . . . 16
103	100, 102	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . 15
104	34, 103	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . . . . . . 14
105	59, 72, 65, 84, 104	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . 13
106	105, 102	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . 12
107	59, 96, 60	ltdivmuld 11923	. . . . . . . . . . . 12
108	106, 107	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11
109		posdif 10521	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
110	61, 57, 109	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11
111	108, 110	mpbid 222	. . . . . . . . . 10
112	58, 5, 7	divcld 10801	. . . . . . . . . . . . 13
113	112	releabsd 14190	. . . . . . . . . . . 12
114	5, 14, 5, 7	divsubdird 10840	. . . . . . . . . . . . . . . 16
115	5, 7	dividd 10799	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
116	115	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16
117	114, 116	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15
118	117	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14
119		resub 13867	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
120	88, 30, 119	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14
121	118, 120	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13
122		re1 13894	. . . . . . . . . . . . . 14
123	122	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . 13
124	121, 123	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . 12
125	58, 5, 7	absdivd 14194	. . . . . . . . . . . 12
126	113, 124, 125	3brtr3d 4684	. . . . . . . . . . 11
127	96, 64, 61, 126	subled 10630	. . . . . . . . . 10
128	56, 63, 64, 111, 127	ltletrd 10197	. . . . . . . . 9
129		argregt0 24356	. . . . . . . . 9 $/\$
130	30, 128, 129	syl2anc 693	. . . . . . . 8
131		cosq14gt0 24262	. . . . . . . 8
132	130, 131	syl 17	. . . . . . 7
133	132	gt0ne0d 10592	. . . . . 6
134	53, 133	retancld 14875	. . . . 5
135	134	recnd 10068	. . . 4
136	135	abscld 14175	. . 3
137		tanabsge 24258	. . . 4
138	130, 137	syl 17	. . 3
139	128	gt0ne0d 10592	. . . . . . 7
140		tanarg 24365	. . . . . . 7 $/\$
141	30, 139, 140	syl2anc 693	. . . . . 6
142	141	fveq2d 6195	. . . . 5
143	30	imcld 13935	. . . . . . 7
144	143	recnd 10068	. . . . . 6
145	64	recnd 10068	. . . . . 6
146	144, 145, 139	absdivd 14194	. . . . 5
147	56, 64, 128	ltled 10185	. . . . . . 7
148	64, 147	absidd 14161	. . . . . 6
149	148	oveq2d 6666	. . . . 5
150	142, 146, 149	3eqtrd 2660	. . . 4
151	144	abscld 14175	. . . . . 6
152	64, 66	remulcld 10070	. . . . . 6
153	14, 5	subcld 10392	. . . . . . . . 9
154	153, 5, 7	divcld 10801	. . . . . . . 8
155		absimle 14049	. . . . . . . 8
156	154, 155	syl 17	. . . . . . 7
157	14, 5, 5, 7	divsubdird 10840	. . . . . . . . . . 11
158	115	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11
159	157, 158	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10
160	159	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9
161		imsub 13875	. . . . . . . . . . 11 $/\$
162	30, 88, 161	sylancl 694	. . . . . . . . . 10
163		im1 13895	. . . . . . . . . . 11
164	163	oveq2i 6661	. . . . . . . . . 10
165	162, 164	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9
166	144	subid1d 10381	. . . . . . . . 9
167	160, 165, 166	3eqtrrd 2661	. . . . . . . 8
168	167	fveq2d 6195	. . . . . . 7
169	5, 14	abssubd 14192	. . . . . . . . 9
170	169	oveq1d 6665	. . . . . . . 8
171	153, 5, 7	absdivd 14194	. . . . . . . 8
172	170, 171	eqtr4d 2659	. . . . . . 7
173	156, 168, 172	3brtr4d 4685	. . . . . 6
174	65, 59	resubcld 10458	. . . . . . . . 9
175	174, 66	remulcld 10070	. . . . . . . 8
176	65, 152	remulcld 10070	. . . . . . . 8
177	59	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13
178	88	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13
179	177, 178, 87	adddid 10064	. . . . . . . . . . . 12
180	177	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . 13
181	180	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12
182	179, 181	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11
183	69	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . . . . . 15
184	101, 87, 93, 183	divassd 10836	. . . . . . . . . . . . . 14
185	184, 34	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . . 13
186	84, 185	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . 12
187	65, 66	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . 13
188	59, 187, 69	ltmuldivd 11919	. . . . . . . . . . . 12
189	186, 188	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11
190	182, 189	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . 10
191	59, 66	remulcld 10070	. . . . . . . . . . 11
192	59, 191, 187	ltaddsubd 10627	. . . . . . . . . 10
193	190, 192	mpbid 222	. . . . . . . . 9
194	101, 177, 87	subdird 10487	. . . . . . . . 9
195	193, 194	breqtrrd 4681	. . . . . . . 8
196	60	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . . . . 14
197	101, 177, 101, 196	divsubdird 10840	. . . . . . . . . . . . 13
198	101, 196	dividd 10799	. . . . . . . . . . . . . 14
199	198	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13
200	197, 199	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12
201	200, 127	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . 11
202	174, 64, 60	ledivmuld 11925	. . . . . . . . . . 11
203	201, 202	mpbid 222	. . . . . . . . . 10
204	65, 64	remulcld 10070	. . . . . . . . . . 11
205	174, 204, 35	lemul1d 11915	. . . . . . . . . 10
206	203, 205	mpbid 222	. . . . . . . . 9
207	101, 145, 87	mulassd 10063	. . . . . . . . 9
208	206, 207	breqtrd 4679	. . . . . . . 8
209	59, 175, 176, 195, 208	ltletrd 10197	. . . . . . 7
210	59, 152, 60	ltdivmuld 11923	. . . . . . 7
211	209, 210	mpbird 247	. . . . . 6
212	151, 61, 152, 173, 211	lelttrd 10195	. . . . 5
213		ltdivmul 10898	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
214	151, 66, 64, 128, 213	syl112anc 1330	. . . . 5
215	212, 214	mpbird 247	. . . 4
216	150, 215	eqbrtrd 4675	. . 3
217	55, 136, 66, 138, 216	lelttrd 10195	. 2
218	51, 217	eqbrtrd 4675	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794 $\$ cdif 3571

cif 4086 class class class wbr 4653

crn 5115

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

cmnf 10072

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cneg 10267

cdiv 10684

c2 11070

crp 11832

cioo 12175

cioc 12176

cre 13837

cim 13838

cabs 13974

ce 14792

ccos 14795

ctan 14796

cpi 14797

clog 24301

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015 ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-iin 4523 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-supp 7296 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-ixp 7909 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fsupp 8276 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ioo 12179 df-ioc 12180 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-fac 13061 df-bc 13090 df-hash 13118 df-shft 13807 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-limsup 14202 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-sum 14417 df-ef 14798 df-sin 14800 df-cos 14801 df-tan 14802 df-pi 14803 df-struct 15859 df-ndx 15860 df-slot 15861 df-base 15863 df-sets 15864 df-ress 15865 df-plusg 15954 df-mulr 15955 df-starv 15956 df-sca 15957 df-vsca 15958 df-ip 15959 df-tset 15960 df-ple 15961 df-ds 15964 df-unif 15965 df-hom 15966 df-cco 15967 df-rest 16083 df-topn 16084 df-0g 16102 df-gsum 16103 df-topgen 16104 df-pt 16105 df-prds 16108 df-xrs 16162 df-qtop 16167 df-imas 16168 df-xps 16170 df-mre 16246 df-mrc 16247 df-acs 16249 df-mgm 17242 df-sgrp 17284 df-mnd 17295 df-submnd 17336 df-mulg 17541 df-cntz 17750 df-cmn 18195 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-fbas 19743 df-fg 19744 df-cnfld 19747 df-top 20699 df-topon 20716 df-topsp 20737 df-bases 20750 df-cld 20823 df-ntr 20824 df-cls 20825 df-nei 20902 df-lp 20940 df-perf 20941 df-cn 21031 df-cnp 21032 df-haus 21119 df-tx 21365 df-hmeo 21558 df-fil 21650 df-fm 21742 df-flim 21743 df-flf 21744 df-xms 22125 df-ms 22126 df-tms 22127 df-cncf 22681 df-limc 23630 df-dv 23631 df-log 24303

This theorem is referenced by: logcnlem5 24392

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