Theorem logf1o2 24396

Description: The logarithm maps its continuous domain bijectively onto the set of numbers with imaginary part -u pi < Im ( z ) < pi. The negative reals are mapped to the numbers with imaginary part equal to pi. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
logcn.d	|- D = ( CC \ ( -oo (,] 0 ) )

Assertion

Ref	Expression
logf1o2	|- ( log |` D ) : D -1-1-onto-> ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )

Proof of Theorem logf1o2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logf1o 24311	. . . 4 |- log : ( CC \ { 0 } ) -1-1-onto-> ran log
2		f1of1 6136	. . . 4 |- ( log : ( CC \ { 0 } ) -1-1-onto-> ran log -> log : ( CC \ { 0 } ) -1-1-> ran log )
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 |- log : ( CC \ { 0 } ) -1-1-> ran log
4		logcn.d	. . . 4 |- D = ( CC \ ( -oo (,] 0 ) )
5	4	logdmss 24388	. . 3 |- D C_ ( CC \ { 0 } )
6		f1ores 6151	. . 3 |- ( ( log : ( CC \ { 0 } ) -1-1-> ran log /\ D C_ ( CC \ { 0 } ) ) -> ( log |` D ) : D -1-1-onto-> ( log " D ) )
7	3, 5, 6	mp2an 708	. 2 |- ( log |` D ) : D -1-1-onto-> ( log " D )
8		f1ofun 6139	. . . . . . 7 |- ( log : ( CC \ { 0 } ) -1-1-onto-> ran log -> Fun log )
9	1, 8	ax-mp 5	. . . . . 6 |- Fun log
10		f1of 6137	. . . . . . . . 9 |- ( log : ( CC \ { 0 } ) -1-1-onto-> ran log -> log : ( CC \ { 0 } ) --> ran log )
11	1, 10	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- log : ( CC \ { 0 } ) --> ran log
12	11	fdmi 6052	. . . . . . 7 |- dom log = ( CC \ { 0 } )
13	5, 12	sseqtr4i 3638	. . . . . 6 |- D C_ dom log
14		funimass4 6247	. . . . . 6 |- ( ( Fun log /\ D C_ dom log ) -> ( ( log " D ) C_ ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) <-> A. x e. D ( log ` x ) e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) ) )
15	9, 13, 14	mp2an 708	. . . . 5 |- ( ( log " D ) C_ ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) <-> A. x e. D ( log ` x ) e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) )
16	4	ellogdm 24385	. . . . . . . 8 |- ( x e. D <-> ( x e. CC /\ ( x e. RR -> x e. RR+ ) ) )
17	16	simplbi 476	. . . . . . 7 |- ( x e. D -> x e. CC )
18	4	logdmn0 24386	. . . . . . 7 |- ( x e. D -> x =/= 0 )
19	17, 18	logcld 24317	. . . . . 6 |- ( x e. D -> ( log ` x ) e. CC )
20	19	imcld 13935	. . . . . . 7 |- ( x e. D -> ( Im ` ( log ` x ) ) e. RR )
21	17, 18	logimcld 24318	. . . . . . . 8 |- ( x e. D -> ( -u pi < ( Im ` ( log ` x ) ) /\ ( Im ` ( log ` x ) ) <_ pi ) )
22	21	simpld 475	. . . . . . 7 |- ( x e. D -> -u pi < ( Im ` ( log ` x ) ) )
23	4	logdmnrp 24387	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. D -> -. -u x e. RR+ )
24		lognegb 24336	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. CC /\ x =/= 0 ) -> ( -u x e. RR+ <-> ( Im ` ( log ` x ) ) = pi ) )
25	17, 18, 24	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. D -> ( -u x e. RR+ <-> ( Im ` ( log ` x ) ) = pi ) )
26	25	necon3bbid 2831	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. D -> ( -. -u x e. RR+ <-> ( Im ` ( log ` x ) ) =/= pi ) )
27	23, 26	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( x e. D -> ( Im ` ( log ` x ) ) =/= pi )
28	27	necomd 2849	. . . . . . . 8 |- ( x e. D -> pi =/= ( Im ` ( log ` x ) ) )
29		pire 24210	. . . . . . . . . 10 |- pi e. RR
30	29	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( x e. D -> pi e. RR )
31	21	simprd 479	. . . . . . . . 9 |- ( x e. D -> ( Im ` ( log ` x ) ) <_ pi )
32	20, 30, 31	leltned 10190	. . . . . . . 8 |- ( x e. D -> ( ( Im ` ( log ` x ) ) < pi <-> pi =/= ( Im ` ( log ` x ) ) ) )
33	28, 32	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( x e. D -> ( Im ` ( log ` x ) ) < pi )
34	29	renegcli 10342	. . . . . . . . 9 |- -u pi e. RR
35	34	rexri 10097	. . . . . . . 8 |- -u pi e. RR*
36	29	rexri 10097	. . . . . . . 8 |- pi e. RR*
37		elioo2 12216	. . . . . . . 8 |- ( ( -u pi e. RR* /\ pi e. RR* ) -> ( ( Im ` ( log ` x ) ) e. ( -u pi (,) pi ) <-> ( ( Im ` ( log ` x ) ) e. RR /\ -u pi < ( Im ` ( log ` x ) ) /\ ( Im ` ( log ` x ) ) < pi ) ) )
38	35, 36, 37	mp2an 708	. . . . . . 7 |- ( ( Im ` ( log ` x ) ) e. ( -u pi (,) pi ) <-> ( ( Im ` ( log ` x ) ) e. RR /\ -u pi < ( Im ` ( log ` x ) ) /\ ( Im ` ( log ` x ) ) < pi ) )
39	20, 22, 33, 38	syl3anbrc 1246	. . . . . 6 |- ( x e. D -> ( Im ` ( log ` x ) ) e. ( -u pi (,) pi ) )
40		imf 13853	. . . . . . 7 |- Im : CC --> RR
41		ffn 6045	. . . . . . 7 |- ( Im : CC --> RR -> Im Fn CC )
42		elpreima 6337	. . . . . . 7 |- ( Im Fn CC -> ( ( log ` x ) e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) <-> ( ( log ` x ) e. CC /\ ( Im ` ( log ` x ) ) e. ( -u pi (,) pi ) ) ) )
43	40, 41, 42	mp2b 10	. . . . . 6 |- ( ( log ` x ) e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) <-> ( ( log ` x ) e. CC /\ ( Im ` ( log ` x ) ) e. ( -u pi (,) pi ) ) )
44	19, 39, 43	sylanbrc 698	. . . . 5 |- ( x e. D -> ( log ` x ) e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) )
45	15, 44	mprgbir 2927	. . . 4 |- ( log " D ) C_ ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )
46		elpreima 6337	. . . . . . 7 |- ( Im Fn CC -> ( x e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) <-> ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) ) )
47	40, 41, 46	mp2b 10	. . . . . 6 |- ( x e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) <-> ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) )
48		simpl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> x e. CC )
49		eliooord 12233	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) -> ( -u pi < ( Im ` x ) /\ ( Im ` x ) < pi ) )
50	49	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( -u pi < ( Im ` x ) /\ ( Im ` x ) < pi ) )
51	50	simpld 475	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> -u pi < ( Im ` x ) )
52	50	simprd 479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( Im ` x ) < pi )
53		imcl 13851	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CC -> ( Im ` x ) e. RR )
54	53	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( Im ` x ) e. RR )
55		ltle 10126	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( Im ` x ) e. RR /\ pi e. RR ) -> ( ( Im ` x ) < pi -> ( Im ` x ) <_ pi ) )
56	54, 29, 55	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( ( Im ` x ) < pi -> ( Im ` x ) <_ pi ) )
57	52, 56	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( Im ` x ) <_ pi )
58		ellogrn 24306	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ran log <-> ( x e. CC /\ -u pi < ( Im ` x ) /\ ( Im ` x ) <_ pi ) )
59	48, 51, 57, 58	syl3anbrc 1246	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> x e. ran log )
60		logef 24328	. . . . . . . 8 |- ( x e. ran log -> ( log ` ( exp ` x ) ) = x )
61	59, 60	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( log ` ( exp ` x ) ) = x )
62		efcl 14813	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> ( exp ` x ) e. CC )
63	62	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( exp ` x ) e. CC )
64	54	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( Im ` x ) e. RR )
65	64	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( Im ` x ) e. CC )
66		picn 24211	. . . . . . . . . . . . . 14 |- pi e. CC
67	66	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> pi e. CC )
68		pipos 24212	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 < pi
69	29, 68	gt0ne0ii 10564	. . . . . . . . . . . . . 14 |- pi =/= 0
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> pi =/= 0 )
71	52	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( Im ` x ) < pi )
72	66	mulid1i 10042	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( pi x. 1 ) = pi
73	71, 72	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( Im ` x ) < ( pi x. 1 ) )
74		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1 e. RR
75	74	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> 1 e. RR )
76	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> pi e. RR )
77	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> 0 < pi )
78		ltdivmul 10898	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( Im ` x ) e. RR /\ 1 e. RR /\ ( pi e. RR /\ 0 < pi ) ) -> ( ( ( Im ` x ) / pi ) < 1 <-> ( Im ` x ) < ( pi x. 1 ) ) )
79	64, 75, 76, 77, 78	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( ( Im ` x ) / pi ) < 1 <-> ( Im ` x ) < ( pi x. 1 ) ) )
80	73, 79	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( Im ` x ) / pi ) < 1 )
81		1e0p1 11552	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 = ( 0 + 1 )
82	80, 81	syl6breq 4694	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( Im ` x ) / pi ) < ( 0 + 1 ) )
83	64	recoscld 14874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( cos ` ( Im ` x ) ) e. RR )
84	64	resincld 14873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( sin ` ( Im ` x ) ) e. RR )
85	83, 84	crimd 13972	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( Im ` ( ( cos ` ( Im ` x ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` x ) ) ) ) ) = ( sin ` ( Im ` x ) ) )
86		efeul 14892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x e. CC -> ( exp ` x ) = ( ( exp ` ( Re ` x ) ) x. ( ( cos ` ( Im ` x ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` x ) ) ) ) ) )
87	86	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( exp ` x ) = ( ( exp ` ( Re ` x ) ) x. ( ( cos ` ( Im ` x ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` x ) ) ) ) ) )
88	87	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( exp ` x ) / ( exp ` ( Re ` x ) ) ) = ( ( ( exp ` ( Re ` x ) ) x. ( ( cos ` ( Im ` x ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` x ) ) ) ) ) / ( exp ` ( Re ` x ) ) ) )
89	83	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( cos ` ( Im ` x ) ) e. CC )
90		ax-icn 9995	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- _i e. CC
91	84	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( sin ` ( Im ` x ) ) e. CC )
92		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( _i e. CC /\ ( sin ` ( Im ` x ) ) e. CC ) -> ( _i x. ( sin ` ( Im ` x ) ) ) e. CC )
93	90, 91, 92	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( _i x. ( sin ` ( Im ` x ) ) ) e. CC )
94	89, 93	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( cos ` ( Im ` x ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` x ) ) ) ) e. CC )
95		recl 13850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( x e. CC -> ( Re ` x ) e. RR )
96	95	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( Re ` x ) e. RR )
97	96	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( Re ` x ) e. CC )
98		efcl 14813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( Re ` x ) e. CC -> ( exp ` ( Re ` x ) ) e. CC )
99	97, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( exp ` ( Re ` x ) ) e. CC )
100		efne0 14827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( Re ` x ) e. CC -> ( exp ` ( Re ` x ) ) =/= 0 )
101	97, 100	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( exp ` ( Re ` x ) ) =/= 0 )
102	94, 99, 101	divcan3d 10806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( ( exp ` ( Re ` x ) ) x. ( ( cos ` ( Im ` x ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` x ) ) ) ) ) / ( exp ` ( Re ` x ) ) ) = ( ( cos ` ( Im ` x ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` x ) ) ) ) )
103	88, 102	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( exp ` x ) / ( exp ` ( Re ` x ) ) ) = ( ( cos ` ( Im ` x ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` x ) ) ) ) )
104		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( exp ` x ) e. RR )
105	96	reefcld 14818	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( exp ` ( Re ` x ) ) e. RR )
106	104, 105, 101	redivcld 10853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( exp ` x ) / ( exp ` ( Re ` x ) ) ) e. RR )
107	103, 106	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( cos ` ( Im ` x ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` x ) ) ) ) e. RR )
108	107	reim0d 13965	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( Im ` ( ( cos ` ( Im ` x ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` x ) ) ) ) ) = 0 )
109	85, 108	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( sin ` ( Im ` x ) ) = 0 )
110		sineq0 24273	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( Im ` x ) e. CC -> ( ( sin ` ( Im ` x ) ) = 0 <-> ( ( Im ` x ) / pi ) e. ZZ ) )
111	65, 110	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( sin ` ( Im ` x ) ) = 0 <-> ( ( Im ` x ) / pi ) e. ZZ ) )
112	109, 111	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( Im ` x ) / pi ) e. ZZ )
113		0z 11388	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. ZZ
114		zleltp1 11428	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( Im ` x ) / pi ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( ( ( Im ` x ) / pi ) <_ 0 <-> ( ( Im ` x ) / pi ) < ( 0 + 1 ) ) )
115	112, 113, 114	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( ( Im ` x ) / pi ) <_ 0 <-> ( ( Im ` x ) / pi ) < ( 0 + 1 ) ) )
116	82, 115	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( Im ` x ) / pi ) <_ 0 )
117		df-neg 10269	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -u 1 = ( 0 - 1 )
118	66	mulm1i 10475	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -u 1 x. pi ) = -u pi
119	51	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> -u pi < ( Im ` x ) )
120	118, 119	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( -u 1 x. pi ) < ( Im ` x ) )
121	74	renegcli 10342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- -u 1 e. RR
122	121	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> -u 1 e. RR )
123		ltmuldiv 10896	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( -u 1 e. RR /\ ( Im ` x ) e. RR /\ ( pi e. RR /\ 0 < pi ) ) -> ( ( -u 1 x. pi ) < ( Im ` x ) <-> -u 1 < ( ( Im ` x ) / pi ) ) )
124	122, 64, 76, 77, 123	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( -u 1 x. pi ) < ( Im ` x ) <-> -u 1 < ( ( Im ` x ) / pi ) ) )
125	120, 124	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> -u 1 < ( ( Im ` x ) / pi ) )
126	117, 125	syl5eqbrr 4689	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( 0 - 1 ) < ( ( Im ` x ) / pi ) )
127		zlem1lt 11429	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( ( Im ` x ) / pi ) e. ZZ ) -> ( 0 <_ ( ( Im ` x ) / pi ) <-> ( 0 - 1 ) < ( ( Im ` x ) / pi ) ) )
128	113, 112, 127	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( 0 <_ ( ( Im ` x ) / pi ) <-> ( 0 - 1 ) < ( ( Im ` x ) / pi ) ) )
129	126, 128	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> 0 <_ ( ( Im ` x ) / pi ) )
130	64, 76, 70	redivcld 10853	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( Im ` x ) / pi ) e. RR )
131		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. RR
132		letri3 10123	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( Im ` x ) / pi ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( ( Im ` x ) / pi ) = 0 <-> ( ( ( Im ` x ) / pi ) <_ 0 /\ 0 <_ ( ( Im ` x ) / pi ) ) ) )
133	130, 131, 132	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( ( Im ` x ) / pi ) = 0 <-> ( ( ( Im ` x ) / pi ) <_ 0 /\ 0 <_ ( ( Im ` x ) / pi ) ) ) )
134	116, 129, 133	mpbir2and 957	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( Im ` x ) / pi ) = 0 )
135	65, 67, 70, 134	diveq0d 10808	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( Im ` x ) = 0 )
136		reim0b 13859	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. CC -> ( x e. RR <-> ( Im ` x ) = 0 ) )
137	136	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( x e. RR <-> ( Im ` x ) = 0 ) )
138	135, 137	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> x e. RR )
139	138	rpefcld 14835	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( exp ` x ) e. RR+ )
140	139	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( ( exp ` x ) e. RR -> ( exp ` x ) e. RR+ ) )
141	4	ellogdm 24385	. . . . . . . . 9 |- ( ( exp ` x ) e. D <-> ( ( exp ` x ) e. CC /\ ( ( exp ` x ) e. RR -> ( exp ` x ) e. RR+ ) ) )
142	63, 140, 141	sylanbrc 698	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( exp ` x ) e. D )
143		funfvima2 6493	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun log /\ D C_ dom log ) -> ( ( exp ` x ) e. D -> ( log ` ( exp ` x ) ) e. ( log " D ) ) )
144	9, 13, 143	mp2an 708	. . . . . . . 8 |- ( ( exp ` x ) e. D -> ( log ` ( exp ` x ) ) e. ( log " D ) )
145	142, 144	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( log ` ( exp ` x ) ) e. ( log " D ) )
146	61, 145	eqeltrrd 2702	. . . . . 6 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> x e. ( log " D ) )
147	47, 146	sylbi 207	. . . . 5 |- ( x e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) -> x e. ( log " D ) )
148	147	ssriv 3607	. . . 4 |- ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) C_ ( log " D )
149	45, 148	eqssi 3619	. . 3 |- ( log " D ) = ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )
150		f1oeq3 6129	. . 3 |- ( ( log " D ) = ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) -> ( ( log |` D ) : D -1-1-onto-> ( log " D ) <-> ( log |` D ) : D -1-1-onto-> ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) ) )
151	149, 150	ax-mp 5	. 2 |- ( ( log |` D ) : D -1-1-onto-> ( log " D ) <-> ( log |` D ) : D -1-1-onto-> ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) )
152	7, 151	mpbi 220	1 |- ( log |` D ) : D -1-1-onto-> ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   \ cdif 3571   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   _ici 9938   + caddc 9939   x. cmul 9941   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   ZZcz 11377   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   (,]cioc 12176   Recre 13837   Imcim 13838   expce 14792   sincsin 14794   cosccos 14795   picpi 14797   logclog 24301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303

This theorem is referenced by:  efopnlem2  24403