Theorem logcnlem3 24390

Description: Lemma for logcn 24393. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
logcn.d	|- D = ( CC \ ( -oo (,] 0 ) )
logcnlem.s	|- S = if ( A e. RR+ , A , ( abs ` ( Im ` A ) ) )
logcnlem.t	|- T = ( ( abs ` A ) x. ( R / ( 1 + R ) ) )
logcnlem.a	|- ( ph -> A e. D )
logcnlem.r	|- ( ph -> R e. RR+ )
logcnlem.b	|- ( ph -> B e. D )
logcnlem.l	|- ( ph -> ( abs ` ( A - B ) ) < if ( S <_ T , S , T ) )

Assertion

Ref	Expression
logcnlem3	|- ( ph -> ( -u pi < ( ( Im ` ( log ` B ) ) - ( Im ` ( log ` A ) ) ) /\ ( ( Im ` ( log ` B ) ) - ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ pi ) )

Proof of Theorem logcnlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pire 24210	. . . . . 6 |- pi e. RR
2	1	renegcli 10342	. . . . 5 |- -u pi e. RR
3	2	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Im ` A ) < 0 ) -> -u pi e. RR )
4		logcnlem.b	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. D )
5		logcn.d	. . . . . . . . . 10 |- D = ( CC \ ( -oo (,] 0 ) )
6	5	ellogdm 24385	. . . . . . . . 9 |- ( B e. D <-> ( B e. CC /\ ( B e. RR -> B e. RR+ ) ) )
7	6	simplbi 476	. . . . . . . 8 |- ( B e. D -> B e. CC )
8	4, 7	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. CC )
9	5	logdmn0 24386	. . . . . . . 8 |- ( B e. D -> B =/= 0 )
10	4, 9	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> B =/= 0 )
11	8, 10	logcld 24317	. . . . . 6 |- ( ph -> ( log ` B ) e. CC )
12	11	imcld 13935	. . . . 5 |- ( ph -> ( Im ` ( log ` B ) ) e. RR )
13	12	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Im ` A ) < 0 ) -> ( Im ` ( log ` B ) ) e. RR )
14		logcnlem.a	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. D )
15	5	ellogdm 24385	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. D <-> ( A e. CC /\ ( A e. RR -> A e. RR+ ) ) )
16	15	simplbi 476	. . . . . . . . 9 |- ( A e. D -> A e. CC )
17	14, 16	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. CC )
18	5	logdmn0 24386	. . . . . . . . 9 |- ( A e. D -> A =/= 0 )
19	14, 18	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A =/= 0 )
20	17, 19	logcld 24317	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( log ` A ) e. CC )
21	20	imcld 13935	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR )
22	12, 21	resubcld 10458	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( Im ` ( log ` B ) ) - ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. RR )
23	22	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Im ` A ) < 0 ) -> ( ( Im ` ( log ` B ) ) - ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. RR )
24	8, 10	logimcld 24318	. . . . . 6 |- ( ph -> ( -u pi < ( Im ` ( log ` B ) ) /\ ( Im ` ( log ` B ) ) <_ pi ) )
25	24	simpld 475	. . . . 5 |- ( ph -> -u pi < ( Im ` ( log ` B ) ) )
26	25	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Im ` A ) < 0 ) -> -u pi < ( Im ` ( log ` B ) ) )
27	12	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Im ` ( log ` B ) ) e. CC )
28	27	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Im ` A ) < 0 ) -> ( Im ` ( log ` B ) ) e. CC )
29	28	subid1d 10381	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Im ` A ) < 0 ) -> ( ( Im ` ( log ` B ) ) - 0 ) = ( Im ` ( log ` B ) ) )
30	21	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Im ` A ) < 0 ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR )
31		0red 10041	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Im ` A ) < 0 ) -> 0 e. RR )
32		argimlt0 24359	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ ( Im ` A ) < 0 ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) e. ( -u pi (,) 0 ) )
33	17, 32	sylan 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Im ` A ) < 0 ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) e. ( -u pi (,) 0 ) )
34		eliooord 12233	. . . . . . . 8 |- ( ( Im ` ( log ` A ) ) e. ( -u pi (,) 0 ) -> ( -u pi < ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) < 0 ) )
35	33, 34	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Im ` A ) < 0 ) -> ( -u pi < ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) < 0 ) )
36	35	simprd 479	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Im ` A ) < 0 ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) < 0 )
37	30, 31, 13, 36	ltsub2dd 10640	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Im ` A ) < 0 ) -> ( ( Im ` ( log ` B ) ) - 0 ) < ( ( Im ` ( log ` B ) ) - ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
38	29, 37	eqbrtrrd 4677	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Im ` A ) < 0 ) -> ( Im ` ( log ` B ) ) < ( ( Im ` ( log ` B ) ) - ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
39	3, 13, 23, 26, 38	lttrd 10198	. . 3 |- ( ( ph /\ ( Im ` A ) < 0 ) -> -u pi < ( ( Im ` ( log ` B ) ) - ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
40	25	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Im ` A ) = 0 ) -> -u pi < ( Im ` ( log ` B ) ) )
41		reim0b 13859	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( A e. RR <-> ( Im ` A ) = 0 ) )
42	17, 41	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A e. RR <-> ( Im ` A ) = 0 ) )
43	15	simprbi 480	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. D -> ( A e. RR -> A e. RR+ ) )
44	14, 43	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A e. RR -> A e. RR+ ) )
45	42, 44	sylbird 250	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( Im ` A ) = 0 -> A e. RR+ ) )
46	45	imp 445	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Im ` A ) = 0 ) -> A e. RR+ )
47	46	relogcld 24369	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Im ` A ) = 0 ) -> ( log ` A ) e. RR )
48	47	reim0d 13965	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Im ` A ) = 0 ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) = 0 )
49	48	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Im ` A ) = 0 ) -> ( ( Im ` ( log ` B ) ) - ( Im ` ( log ` A ) ) ) = ( ( Im ` ( log ` B ) ) - 0 ) )
50	27	subid1d 10381	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( Im ` ( log ` B ) ) - 0 ) = ( Im ` ( log ` B ) ) )
51	50	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Im ` A ) = 0 ) -> ( ( Im ` ( log ` B ) ) - 0 ) = ( Im ` ( log ` B ) ) )
52	49, 51	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Im ` A ) = 0 ) -> ( ( Im ` ( log ` B ) ) - ( Im ` ( log ` A ) ) ) = ( Im ` ( log ` B ) ) )
53	40, 52	breqtrrd 4681	. . 3 |- ( ( ph /\ ( Im ` A ) = 0 ) -> -u pi < ( ( Im ` ( log ` B ) ) - ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
54	2	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ph /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> -u pi e. RR )
55	21	renegcld 10457	. . . . 5 |- ( ph -> -u ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR )
56	55	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> -u ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR )
57	22	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> ( ( Im ` ( log ` B ) ) - ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. RR )
58		argimgt0 24358	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) e. ( 0 (,) pi ) )
59	17, 58	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) e. ( 0 (,) pi ) )
60		eliooord 12233	. . . . . . 7 |- ( ( Im ` ( log ` A ) ) e. ( 0 (,) pi ) -> ( 0 < ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) < pi ) )
61	59, 60	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> ( 0 < ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) < pi ) )
62	61	simprd 479	. . . . 5 |- ( ( ph /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) < pi )
63		ltneg 10528	. . . . . . 7 |- ( ( ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR /\ pi e. RR ) -> ( ( Im ` ( log ` A ) ) < pi <-> -u pi < -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
64	21, 1, 63	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( Im ` ( log ` A ) ) < pi <-> -u pi < -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
65	64	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> ( ( Im ` ( log ` A ) ) < pi <-> -u pi < -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
66	62, 65	mpbid 222	. . . 4 |- ( ( ph /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> -u pi < -u ( Im ` ( log ` A ) ) )
67		df-neg 10269	. . . . 5 |- -u ( Im ` ( log ` A ) ) = ( 0 - ( Im ` ( log ` A ) ) )
68	8	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> B e. CC )
69	17, 8	imsubd 13957	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( Im ` ( A - B ) ) = ( ( Im ` A ) - ( Im ` B ) ) )
70	69	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> ( Im ` ( A - B ) ) = ( ( Im ` A ) - ( Im ` B ) ) )
71	17, 8	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( A - B ) e. CC )
72	71	imcld 13935	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( Im ` ( A - B ) ) e. RR )
73	72	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> ( Im ` ( A - B ) ) e. RR )
74	71	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( abs ` ( A - B ) ) e. RR )
75	74	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> ( abs ` ( A - B ) ) e. RR )
76	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> A e. CC )
77	76	imcld 13935	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> ( Im ` A ) e. RR )
78		absimle 14049	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A - B ) e. CC -> ( abs ` ( Im ` ( A - B ) ) ) <_ ( abs ` ( A - B ) ) )
79	71, 78	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( abs ` ( Im ` ( A - B ) ) ) <_ ( abs ` ( A - B ) ) )
80	72, 74	absled 14169	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( abs ` ( Im ` ( A - B ) ) ) <_ ( abs ` ( A - B ) ) <-> ( -u ( abs ` ( A - B ) ) <_ ( Im ` ( A - B ) ) /\ ( Im ` ( A - B ) ) <_ ( abs ` ( A - B ) ) ) ) )
81	79, 80	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( -u ( abs ` ( A - B ) ) <_ ( Im ` ( A - B ) ) /\ ( Im ` ( A - B ) ) <_ ( abs ` ( A - B ) ) ) )
82	81	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( Im ` ( A - B ) ) <_ ( abs ` ( A - B ) ) )
83	82	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> ( Im ` ( A - B ) ) <_ ( abs ` ( A - B ) ) )
84		logcnlem.s	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- S = if ( A e. RR+ , A , ( abs ` ( Im ` A ) ) )
85		rpre 11839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A e. RR+ -> A e. RR )
86	85	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ A e. RR+ ) -> A e. RR )
87	17	imcld 13935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( Im ` A ) e. RR )
88	87	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( Im ` A ) e. CC )
89	88	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( abs ` ( Im ` A ) ) e. RR )
90	89	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ -. A e. RR+ ) -> ( abs ` ( Im ` A ) ) e. RR )
91	86, 90	ifclda 4120	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> if ( A e. RR+ , A , ( abs ` ( Im ` A ) ) ) e. RR )
92	84, 91	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> S e. RR )
93		logcnlem.t	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- T = ( ( abs ` A ) x. ( R / ( 1 + R ) ) )
94	17	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( abs ` A ) e. RR )
95		logcnlem.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> R e. RR+ )
96	95	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> R e. RR )
97		1rp 11836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 1 e. RR+
98		rpaddcl 11854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( 1 e. RR+ /\ R e. RR+ ) -> ( 1 + R ) e. RR+ )
99	97, 95, 98	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( 1 + R ) e. RR+ )
100	96, 99	rerpdivcld 11903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( R / ( 1 + R ) ) e. RR )
101	94, 100	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( abs ` A ) x. ( R / ( 1 + R ) ) ) e. RR )
102	93, 101	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> T e. RR )
103	92, 102	ifcld 4131	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> if ( S <_ T , S , T ) e. RR )
104		logcnlem.l	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( abs ` ( A - B ) ) < if ( S <_ T , S , T ) )
105		min1 12020	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( S e. RR /\ T e. RR ) -> if ( S <_ T , S , T ) <_ S )
106	92, 102, 105	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> if ( S <_ T , S , T ) <_ S )
107	74, 103, 92, 104, 106	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( abs ` ( A - B ) ) < S )
108	107	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> ( abs ` ( A - B ) ) < S )
109		gt0ne0 10493	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( Im ` A ) e. RR /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> ( Im ` A ) =/= 0 )
110	87, 109	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> ( Im ` A ) =/= 0 )
111	85, 42	syl5ib 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( A e. RR+ -> ( Im ` A ) = 0 ) )
112	111	necon3ad 2807	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( Im ` A ) =/= 0 -> -. A e. RR+ ) )
113	112	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( Im ` A ) =/= 0 ) -> -. A e. RR+ )
114		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -. A e. RR+ -> if ( A e. RR+ , A , ( abs ` ( Im ` A ) ) ) = ( abs ` ( Im ` A ) ) )
115	84, 114	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. A e. RR+ -> S = ( abs ` ( Im ` A ) ) )
116	113, 115	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( Im ` A ) =/= 0 ) -> S = ( abs ` ( Im ` A ) ) )
117	110, 116	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> S = ( abs ` ( Im ` A ) ) )
118		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 e. RR
119		ltle 10126	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 0 e. RR /\ ( Im ` A ) e. RR ) -> ( 0 < ( Im ` A ) -> 0 <_ ( Im ` A ) ) )
120	118, 87, 119	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 0 < ( Im ` A ) -> 0 <_ ( Im ` A ) ) )
121	120	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> 0 <_ ( Im ` A ) )
122	77, 121	absidd 14161	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> ( abs ` ( Im ` A ) ) = ( Im ` A ) )
123	117, 122	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> S = ( Im ` A ) )
124	108, 123	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> ( abs ` ( A - B ) ) < ( Im ` A ) )
125	73, 75, 77, 83, 124	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> ( Im ` ( A - B ) ) < ( Im ` A ) )
126	70, 125	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> ( ( Im ` A ) - ( Im ` B ) ) < ( Im ` A ) )
127	88	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> ( Im ` A ) e. CC )
128	127	subid1d 10381	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> ( ( Im ` A ) - 0 ) = ( Im ` A ) )
129	126, 128	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> ( ( Im ` A ) - ( Im ` B ) ) < ( ( Im ` A ) - 0 ) )
130		0red 10041	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 e. RR )
131	8	imcld 13935	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Im ` B ) e. RR )
132	130, 131, 87	ltsub2d 10637	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 0 < ( Im ` B ) <-> ( ( Im ` A ) - ( Im ` B ) ) < ( ( Im ` A ) - 0 ) ) )
133	132	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> ( 0 < ( Im ` B ) <-> ( ( Im ` A ) - ( Im ` B ) ) < ( ( Im ` A ) - 0 ) ) )
134	129, 133	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> 0 < ( Im ` B ) )
135		argimgt0 24358	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. CC /\ 0 < ( Im ` B ) ) -> ( Im ` ( log ` B ) ) e. ( 0 (,) pi ) )
136	68, 134, 135	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> ( Im ` ( log ` B ) ) e. ( 0 (,) pi ) )
137		eliooord 12233	. . . . . . . 8 |- ( ( Im ` ( log ` B ) ) e. ( 0 (,) pi ) -> ( 0 < ( Im ` ( log ` B ) ) /\ ( Im ` ( log ` B ) ) < pi ) )
138	136, 137	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> ( 0 < ( Im ` ( log ` B ) ) /\ ( Im ` ( log ` B ) ) < pi ) )
139	138	simpld 475	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> 0 < ( Im ` ( log ` B ) ) )
140	130, 12, 21	ltsub1d 10636	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 < ( Im ` ( log ` B ) ) <-> ( 0 - ( Im ` ( log ` A ) ) ) < ( ( Im ` ( log ` B ) ) - ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
141	140	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> ( 0 < ( Im ` ( log ` B ) ) <-> ( 0 - ( Im ` ( log ` A ) ) ) < ( ( Im ` ( log ` B ) ) - ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
142	139, 141	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ( ph /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> ( 0 - ( Im ` ( log ` A ) ) ) < ( ( Im ` ( log ` B ) ) - ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
143	67, 142	syl5eqbr 4688	. . . 4 |- ( ( ph /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> -u ( Im ` ( log ` A ) ) < ( ( Im ` ( log ` B ) ) - ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
144	54, 56, 57, 66, 143	lttrd 10198	. . 3 |- ( ( ph /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> -u pi < ( ( Im ` ( log ` B ) ) - ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
145		lttri4 10122	. . . 4 |- ( ( ( Im ` A ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( Im ` A ) < 0 \/ ( Im ` A ) = 0 \/ 0 < ( Im ` A ) ) )
146	87, 118, 145	sylancl 694	. . 3 |- ( ph -> ( ( Im ` A ) < 0 \/ ( Im ` A ) = 0 \/ 0 < ( Im ` A ) ) )
147	39, 53, 144, 146	mpjao3dan 1395	. 2 |- ( ph -> -u pi < ( ( Im ` ( log ` B ) ) - ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
148	1	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Im ` A ) < 0 ) -> pi e. RR )
149	30	renegcld 10457	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Im ` A ) < 0 ) -> -u ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR )
150	8	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Im ` A ) < 0 ) -> B e. CC )
151	88	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Im ` A ) < 0 ) -> ( Im ` A ) e. CC )
152	151	subid1d 10381	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( Im ` A ) < 0 ) -> ( ( Im ` A ) - 0 ) = ( Im ` A ) )
153	87	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( Im ` A ) < 0 ) -> ( Im ` A ) e. RR )
154	74	renegcld 10457	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> -u ( abs ` ( A - B ) ) e. RR )
155	154	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( Im ` A ) < 0 ) -> -u ( abs ` ( A - B ) ) e. RR )
156	72	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( Im ` A ) < 0 ) -> ( Im ` ( A - B ) ) e. RR )
157	74	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( Im ` A ) < 0 ) -> ( abs ` ( A - B ) ) e. RR )
158	107	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( Im ` A ) < 0 ) -> ( abs ` ( A - B ) ) < S )
159	118	ltnri 10146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- -. 0 < 0
160		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( Im ` A ) = 0 -> ( ( Im ` A ) < 0 <-> 0 < 0 ) )
161	159, 160	mtbiri 317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( Im ` A ) = 0 -> -. ( Im ` A ) < 0 )
162	161	necon2ai 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( Im ` A ) < 0 -> ( Im ` A ) =/= 0 )
163	162, 116	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( Im ` A ) < 0 ) -> S = ( abs ` ( Im ` A ) ) )
164		ltle 10126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( Im ` A ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( Im ` A ) < 0 -> ( Im ` A ) <_ 0 ) )
165	87, 118, 164	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( Im ` A ) < 0 -> ( Im ` A ) <_ 0 ) )
166	165	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( Im ` A ) < 0 ) -> ( Im ` A ) <_ 0 )
167	153, 166	absnidd 14152	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( Im ` A ) < 0 ) -> ( abs ` ( Im ` A ) ) = -u ( Im ` A ) )
168	163, 167	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( Im ` A ) < 0 ) -> S = -u ( Im ` A ) )
169	158, 168	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( Im ` A ) < 0 ) -> ( abs ` ( A - B ) ) < -u ( Im ` A ) )
170	157, 153, 169	ltnegcon2d 10608	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( Im ` A ) < 0 ) -> ( Im ` A ) < -u ( abs ` ( A - B ) ) )
171	81	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> -u ( abs ` ( A - B ) ) <_ ( Im ` ( A - B ) ) )
172	171	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( Im ` A ) < 0 ) -> -u ( abs ` ( A - B ) ) <_ ( Im ` ( A - B ) ) )
173	153, 155, 156, 170, 172	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Im ` A ) < 0 ) -> ( Im ` A ) < ( Im ` ( A - B ) ) )
174	69	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Im ` A ) < 0 ) -> ( Im ` ( A - B ) ) = ( ( Im ` A ) - ( Im ` B ) ) )
175	173, 174	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( Im ` A ) < 0 ) -> ( Im ` A ) < ( ( Im ` A ) - ( Im ` B ) ) )
176	152, 175	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Im ` A ) < 0 ) -> ( ( Im ` A ) - 0 ) < ( ( Im ` A ) - ( Im ` B ) ) )
177	150	imcld 13935	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( Im ` A ) < 0 ) -> ( Im ` B ) e. RR )
178	177, 31, 153	ltsub2d 10637	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Im ` A ) < 0 ) -> ( ( Im ` B ) < 0 <-> ( ( Im ` A ) - 0 ) < ( ( Im ` A ) - ( Im ` B ) ) ) )
179	176, 178	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Im ` A ) < 0 ) -> ( Im ` B ) < 0 )
180		argimlt0 24359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. CC /\ ( Im ` B ) < 0 ) -> ( Im ` ( log ` B ) ) e. ( -u pi (,) 0 ) )
181	150, 179, 180	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( Im ` A ) < 0 ) -> ( Im ` ( log ` B ) ) e. ( -u pi (,) 0 ) )
182		eliooord 12233	. . . . . . . . 9 |- ( ( Im ` ( log ` B ) ) e. ( -u pi (,) 0 ) -> ( -u pi < ( Im ` ( log ` B ) ) /\ ( Im ` ( log ` B ) ) < 0 ) )
183	181, 182	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Im ` A ) < 0 ) -> ( -u pi < ( Im ` ( log ` B ) ) /\ ( Im ` ( log ` B ) ) < 0 ) )
184	183	simprd 479	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Im ` A ) < 0 ) -> ( Im ` ( log ` B ) ) < 0 )
185	13, 31, 30, 184	ltsub1dd 10639	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Im ` A ) < 0 ) -> ( ( Im ` ( log ` B ) ) - ( Im ` ( log ` A ) ) ) < ( 0 - ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
186	185, 67	syl6breqr 4695	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Im ` A ) < 0 ) -> ( ( Im ` ( log ` B ) ) - ( Im ` ( log ` A ) ) ) < -u ( Im ` ( log ` A ) ) )
187	35	simpld 475	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Im ` A ) < 0 ) -> -u pi < ( Im ` ( log ` A ) ) )
188		ltnegcon1 10529	. . . . . . 7 |- ( ( pi e. RR /\ ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR ) -> ( -u pi < ( Im ` ( log ` A ) ) <-> -u ( Im ` ( log ` A ) ) < pi ) )
189	1, 30, 188	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Im ` A ) < 0 ) -> ( -u pi < ( Im ` ( log ` A ) ) <-> -u ( Im ` ( log ` A ) ) < pi ) )
190	187, 189	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Im ` A ) < 0 ) -> -u ( Im ` ( log ` A ) ) < pi )
191	23, 149, 148, 186, 190	lttrd 10198	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Im ` A ) < 0 ) -> ( ( Im ` ( log ` B ) ) - ( Im ` ( log ` A ) ) ) < pi )
192	23, 148, 191	ltled 10185	. . 3 |- ( ( ph /\ ( Im ` A ) < 0 ) -> ( ( Im ` ( log ` B ) ) - ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ pi )
193	24	simprd 479	. . . . 5 |- ( ph -> ( Im ` ( log ` B ) ) <_ pi )
194	193	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Im ` A ) = 0 ) -> ( Im ` ( log ` B ) ) <_ pi )
195	52, 194	eqbrtrd 4675	. . 3 |- ( ( ph /\ ( Im ` A ) = 0 ) -> ( ( Im ` ( log ` B ) ) - ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ pi )
196	1	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ph /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> pi e. RR )
197	12	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> ( Im ` ( log ` B ) ) e. RR )
198		0red 10041	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> 0 e. RR )
199	21	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR )
200	61	simpld 475	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> 0 < ( Im ` ( log ` A ) ) )
201	198, 199, 197, 200	ltsub2dd 10640	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> ( ( Im ` ( log ` B ) ) - ( Im ` ( log ` A ) ) ) < ( ( Im ` ( log ` B ) ) - 0 ) )
202	27	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> ( Im ` ( log ` B ) ) e. CC )
203	202	subid1d 10381	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> ( ( Im ` ( log ` B ) ) - 0 ) = ( Im ` ( log ` B ) ) )
204	201, 203	breqtrd 4679	. . . . 5 |- ( ( ph /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> ( ( Im ` ( log ` B ) ) - ( Im ` ( log ` A ) ) ) < ( Im ` ( log ` B ) ) )
205	138	simprd 479	. . . . 5 |- ( ( ph /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> ( Im ` ( log ` B ) ) < pi )
206	57, 197, 196, 204, 205	lttrd 10198	. . . 4 |- ( ( ph /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> ( ( Im ` ( log ` B ) ) - ( Im ` ( log ` A ) ) ) < pi )
207	57, 196, 206	ltled 10185	. . 3 |- ( ( ph /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> ( ( Im ` ( log ` B ) ) - ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ pi )
208	192, 195, 207, 146	mpjao3dan 1395	. 2 |- ( ph -> ( ( Im ` ( log ` B ) ) - ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ pi )
209	147, 208	jca 554	1 |- ( ph -> ( -u pi < ( ( Im ` ( log ` B ) ) - ( Im ` ( log ` A ) ) ) /\ ( ( Im ` ( log ` B ) ) - ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ pi ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   \/ w3o 1036   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   \ cdif 3571   ifcif 4086   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   -oocmnf 10072   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   (,]cioc 12176   Imcim 13838   abscabs 13974   picpi 14797   logclog 24301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303

This theorem is referenced by:  logcnlem4  24391