Theorem dvloglem 24394

Description: Lemma for dvlog 24397. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
logcn.d	|- D = ( CC \ ( -oo (,] 0 ) )

Assertion

Ref	Expression
dvloglem	|- ( log " D ) e. ( TopOpen ` ℂfld )

Proof of Theorem dvloglem

Dummy variables x w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logf1o 24311	. . . . . 6 |- log : ( CC \ { 0 } ) -1-1-onto-> ran log
2		f1ofun 6139	. . . . . 6 |- ( log : ( CC \ { 0 } ) -1-1-onto-> ran log -> Fun log )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 |- Fun log
4		logcn.d	. . . . . . 7 |- D = ( CC \ ( -oo (,] 0 ) )
5	4	logdmss 24388	. . . . . 6 |- D C_ ( CC \ { 0 } )
6		f1odm 6141	. . . . . . 7 |- ( log : ( CC \ { 0 } ) -1-1-onto-> ran log -> dom log = ( CC \ { 0 } ) )
7	1, 6	ax-mp 5	. . . . . 6 |- dom log = ( CC \ { 0 } )
8	5, 7	sseqtr4i 3638	. . . . 5 |- D C_ dom log
9		funimass4 6247	. . . . 5 |- ( ( Fun log /\ D C_ dom log ) -> ( ( log " D ) C_ ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) <-> A. x e. D ( log ` x ) e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) ) )
10	3, 8, 9	mp2an 708	. . . 4 |- ( ( log " D ) C_ ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) <-> A. x e. D ( log ` x ) e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) )
11	4	ellogdm 24385	. . . . . . 7 |- ( x e. D <-> ( x e. CC /\ ( x e. RR -> x e. RR+ ) ) )
12	11	simplbi 476	. . . . . 6 |- ( x e. D -> x e. CC )
13	4	logdmn0 24386	. . . . . 6 |- ( x e. D -> x =/= 0 )
14	12, 13	logcld 24317	. . . . 5 |- ( x e. D -> ( log ` x ) e. CC )
15	14	imcld 13935	. . . . . 6 |- ( x e. D -> ( Im ` ( log ` x ) ) e. RR )
16	12, 13	logimcld 24318	. . . . . . 7 |- ( x e. D -> ( -u pi < ( Im ` ( log ` x ) ) /\ ( Im ` ( log ` x ) ) <_ pi ) )
17	16	simpld 475	. . . . . 6 |- ( x e. D -> -u pi < ( Im ` ( log ` x ) ) )
18	4	logdmnrp 24387	. . . . . . . . 9 |- ( x e. D -> -. -u x e. RR+ )
19		lognegb 24336	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ x =/= 0 ) -> ( -u x e. RR+ <-> ( Im ` ( log ` x ) ) = pi ) )
20	12, 13, 19	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. D -> ( -u x e. RR+ <-> ( Im ` ( log ` x ) ) = pi ) )
21	20	necon3bbid 2831	. . . . . . . . 9 |- ( x e. D -> ( -. -u x e. RR+ <-> ( Im ` ( log ` x ) ) =/= pi ) )
22	18, 21	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( x e. D -> ( Im ` ( log ` x ) ) =/= pi )
23	22	necomd 2849	. . . . . . 7 |- ( x e. D -> pi =/= ( Im ` ( log ` x ) ) )
24		pire 24210	. . . . . . . . 9 |- pi e. RR
25	24	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( x e. D -> pi e. RR )
26	16	simprd 479	. . . . . . . 8 |- ( x e. D -> ( Im ` ( log ` x ) ) <_ pi )
27	15, 25, 26	leltned 10190	. . . . . . 7 |- ( x e. D -> ( ( Im ` ( log ` x ) ) < pi <-> pi =/= ( Im ` ( log ` x ) ) ) )
28	23, 27	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( x e. D -> ( Im ` ( log ` x ) ) < pi )
29	24	renegcli 10342	. . . . . . . 8 |- -u pi e. RR
30	29	rexri 10097	. . . . . . 7 |- -u pi e. RR*
31	24	rexri 10097	. . . . . . 7 |- pi e. RR*
32		elioo2 12216	. . . . . . 7 |- ( ( -u pi e. RR* /\ pi e. RR* ) -> ( ( Im ` ( log ` x ) ) e. ( -u pi (,) pi ) <-> ( ( Im ` ( log ` x ) ) e. RR /\ -u pi < ( Im ` ( log ` x ) ) /\ ( Im ` ( log ` x ) ) < pi ) ) )
33	30, 31, 32	mp2an 708	. . . . . 6 |- ( ( Im ` ( log ` x ) ) e. ( -u pi (,) pi ) <-> ( ( Im ` ( log ` x ) ) e. RR /\ -u pi < ( Im ` ( log ` x ) ) /\ ( Im ` ( log ` x ) ) < pi ) )
34	15, 17, 28, 33	syl3anbrc 1246	. . . . 5 |- ( x e. D -> ( Im ` ( log ` x ) ) e. ( -u pi (,) pi ) )
35		imf 13853	. . . . . 6 |- Im : CC --> RR
36		ffn 6045	. . . . . 6 |- ( Im : CC --> RR -> Im Fn CC )
37		elpreima 6337	. . . . . 6 |- ( Im Fn CC -> ( ( log ` x ) e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) <-> ( ( log ` x ) e. CC /\ ( Im ` ( log ` x ) ) e. ( -u pi (,) pi ) ) ) )
38	35, 36, 37	mp2b 10	. . . . 5 |- ( ( log ` x ) e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) <-> ( ( log ` x ) e. CC /\ ( Im ` ( log ` x ) ) e. ( -u pi (,) pi ) ) )
39	14, 34, 38	sylanbrc 698	. . . 4 |- ( x e. D -> ( log ` x ) e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) )
40	10, 39	mprgbir 2927	. . 3 |- ( log " D ) C_ ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )
41		df-ioo 12179	. . . . . . . . . 10 |- (,) = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x < z /\ z < y ) } )
42		df-ioc 12180	. . . . . . . . . 10 |- (,] = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x < z /\ z <_ y ) } )
43		idd 24	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u pi e. RR* /\ w e. RR* ) -> ( -u pi < w -> -u pi < w ) )
44		xrltle 11982	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w e. RR* /\ pi e. RR* ) -> ( w < pi -> w <_ pi ) )
45	41, 42, 43, 44	ixxssixx 12189	. . . . . . . . 9 |- ( -u pi (,) pi ) C_ ( -u pi (,] pi )
46		imass2 5501	. . . . . . . . 9 |- ( ( -u pi (,) pi ) C_ ( -u pi (,] pi ) -> ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) C_ ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) ) )
47	45, 46	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) C_ ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) )
48		logrn 24305	. . . . . . . 8 |- ran log = ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) )
49	47, 48	sseqtr4i 3638	. . . . . . 7 |- ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) C_ ran log
50	49	sseli 3599	. . . . . 6 |- ( x e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) -> x e. ran log )
51		logef 24328	. . . . . 6 |- ( x e. ran log -> ( log ` ( exp ` x ) ) = x )
52	50, 51	syl 17	. . . . 5 |- ( x e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) -> ( log ` ( exp ` x ) ) = x )
53		elpreima 6337	. . . . . . . . . 10 |- ( Im Fn CC -> ( x e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) <-> ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) ) )
54	35, 36, 53	mp2b 10	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) <-> ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) )
55		efcl 14813	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> ( exp ` x ) e. CC )
56	55	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( exp ` x ) e. CC )
57	54, 56	sylbi 207	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) -> ( exp ` x ) e. CC )
58	54	simplbi 476	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) -> x e. CC )
59	58	imcld 13935	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) -> ( Im ` x ) e. RR )
60	54	simprbi 480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) -> ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) )
61		eliooord 12233	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) -> ( -u pi < ( Im ` x ) /\ ( Im ` x ) < pi ) )
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) -> ( -u pi < ( Im ` x ) /\ ( Im ` x ) < pi ) )
63	62	simprd 479	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) -> ( Im ` x ) < pi )
64	59, 63	ltned 10173	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) -> ( Im ` x ) =/= pi )
65	52	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. ( -oo (,] 0 ) ) -> ( log ` ( exp ` x ) ) = x )
66	65	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. ( -oo (,] 0 ) ) -> ( Im ` ( log ` ( exp ` x ) ) ) = ( Im ` x ) )
67		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. ( -oo (,] 0 ) ) -> ( exp ` x ) e. ( -oo (,] 0 ) )
68		mnfxr 10096	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- -oo e. RR*
69		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 e. RR
70		elioc2 12236	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( -oo e. RR* /\ 0 e. RR ) -> ( ( exp ` x ) e. ( -oo (,] 0 ) <-> ( ( exp ` x ) e. RR /\ -oo < ( exp ` x ) /\ ( exp ` x ) <_ 0 ) ) )
71	68, 69, 70	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( exp ` x ) e. ( -oo (,] 0 ) <-> ( ( exp ` x ) e. RR /\ -oo < ( exp ` x ) /\ ( exp ` x ) <_ 0 ) )
72	67, 71	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. ( -oo (,] 0 ) ) -> ( ( exp ` x ) e. RR /\ -oo < ( exp ` x ) /\ ( exp ` x ) <_ 0 ) )
73	72	simp1d 1073	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. ( -oo (,] 0 ) ) -> ( exp ` x ) e. RR )
74	73	renegcld 10457	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. ( -oo (,] 0 ) ) -> -u ( exp ` x ) e. RR )
75		efne0 14827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. CC -> ( exp ` x ) =/= 0 )
76	58, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) -> ( exp ` x ) =/= 0 )
77	76	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. ( -oo (,] 0 ) ) -> ( exp ` x ) =/= 0 )
78	77	necomd 2849	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. ( -oo (,] 0 ) ) -> 0 =/= ( exp ` x ) )
79		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. ( -oo (,] 0 ) ) -> 0 e. RR )
80	72	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. ( -oo (,] 0 ) ) -> ( exp ` x ) <_ 0 )
81	73, 79, 80	leltned 10190	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. ( -oo (,] 0 ) ) -> ( ( exp ` x ) < 0 <-> 0 =/= ( exp ` x ) ) )
82	78, 81	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. ( -oo (,] 0 ) ) -> ( exp ` x ) < 0 )
83	73	lt0neg1d 10597	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. ( -oo (,] 0 ) ) -> ( ( exp ` x ) < 0 <-> 0 < -u ( exp ` x ) ) )
84	82, 83	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. ( -oo (,] 0 ) ) -> 0 < -u ( exp ` x ) )
85	74, 84	elrpd 11869	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. ( -oo (,] 0 ) ) -> -u ( exp ` x ) e. RR+ )
86		lognegb 24336	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( exp ` x ) e. CC /\ ( exp ` x ) =/= 0 ) -> ( -u ( exp ` x ) e. RR+ <-> ( Im ` ( log ` ( exp ` x ) ) ) = pi ) )
87	57, 76, 86	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) -> ( -u ( exp ` x ) e. RR+ <-> ( Im ` ( log ` ( exp ` x ) ) ) = pi ) )
88	87	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. ( -oo (,] 0 ) ) -> ( -u ( exp ` x ) e. RR+ <-> ( Im ` ( log ` ( exp ` x ) ) ) = pi ) )
89	85, 88	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. ( -oo (,] 0 ) ) -> ( Im ` ( log ` ( exp ` x ) ) ) = pi )
90	66, 89	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. ( -oo (,] 0 ) ) -> ( Im ` x ) = pi )
91	90	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) -> ( ( exp ` x ) e. ( -oo (,] 0 ) -> ( Im ` x ) = pi ) )
92	91	necon3ad 2807	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) -> ( ( Im ` x ) =/= pi -> -. ( exp ` x ) e. ( -oo (,] 0 ) ) )
93	64, 92	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) -> -. ( exp ` x ) e. ( -oo (,] 0 ) )
94	57, 93	eldifd 3585	. . . . . . 7 |- ( x e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) -> ( exp ` x ) e. ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) )
95	94, 4	syl6eleqr 2712	. . . . . 6 |- ( x e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) -> ( exp ` x ) e. D )
96		funfvima2 6493	. . . . . . 7 |- ( ( Fun log /\ D C_ dom log ) -> ( ( exp ` x ) e. D -> ( log ` ( exp ` x ) ) e. ( log " D ) ) )
97	3, 8, 96	mp2an 708	. . . . . 6 |- ( ( exp ` x ) e. D -> ( log ` ( exp ` x ) ) e. ( log " D ) )
98	95, 97	syl 17	. . . . 5 |- ( x e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) -> ( log ` ( exp ` x ) ) e. ( log " D ) )
99	52, 98	eqeltrrd 2702	. . . 4 |- ( x e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) -> x e. ( log " D ) )
100	99	ssriv 3607	. . 3 |- ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) C_ ( log " D )
101	40, 100	eqssi 3619	. 2 |- ( log " D ) = ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )
102		imcncf 22706	. . . 4 |- Im e. ( CC -cn-> RR )
103		ssid 3624	. . . . 5 |- CC C_ CC
104		ax-resscn 9993	. . . . 5 |- RR C_ CC
105		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
106	105	cnfldtop 22587	. . . . . . . 8 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top
107	105	cnfldtopon 22586	. . . . . . . . . 10 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC )
108	107	toponunii 20721	. . . . . . . . 9 |- CC = U. ( TopOpen ` ℂfld )
109	108	restid 16094	. . . . . . . 8 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC ) = ( TopOpen ` ℂfld ) )
110	106, 109	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC ) = ( TopOpen ` ℂfld )
111	110	eqcomi 2631	. . . . . 6 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC )
112	105	tgioo2 22606	. . . . . 6 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
113	105, 111, 112	cncfcn 22712	. . . . 5 |- ( ( CC C_ CC /\ RR C_ CC ) -> ( CC -cn-> RR ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) Cn ( topGen ` ran (,) ) ) )
114	103, 104, 113	mp2an 708	. . . 4 |- ( CC -cn-> RR ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) Cn ( topGen ` ran (,) ) )
115	102, 114	eleqtri 2699	. . 3 |- Im e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) Cn ( topGen ` ran (,) ) )
116		iooretop 22569	. . 3 |- ( -u pi (,) pi ) e. ( topGen ` ran (,) )
117		cnima 21069	. . 3 |- ( ( Im e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) Cn ( topGen ` ran (,) ) ) /\ ( -u pi (,) pi ) e. ( topGen ` ran (,) ) ) -> ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
118	115, 116, 117	mp2an 708	. 2 |- ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) e. ( TopOpen ` ℂfld )
119	101, 118	eqeltri 2697	1 |- ( log " D ) e. ( TopOpen ` ℂfld )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   \ cdif 3571   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   -ucneg 10267   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   (,]cioc 12176   Imcim 13838   expce 14792   picpi 14797   ↾_t crest 16081   TopOpenctopn 16082   topGenctg 16098  ℂ_fldccnfld 19746   Topctop 20698   Cn ccn 21028   -cn->ccncf 22679   logclog 24301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303

This theorem is referenced by:  dvlog  24397