Theorem ltsopi 9710

Description: Positive integer 'less than' is a strict ordering. (Contributed by NM, 8-Feb-1996.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Jul-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ltsopi	|- <N Or N.

Proof of Theorem ltsopi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ni 9694	. . . 4 |- N. = ( om \ { (/) } )
2		difss 3737	. . . . 5 |- ( om \ { (/) } ) C_ om
3		omsson 7069	. . . . 5 |- om C_ On
4	2, 3	sstri 3612	. . . 4 |- ( om \ { (/) } ) C_ On
5	1, 4	eqsstri 3635	. . 3 |- N. C_ On
6		epweon 6983	. . . 4 |- _E We On
7		weso 5105	. . . 4 |- ( _E We On -> _E Or On )
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 |- _E Or On
9		soss 5053	. . 3 |- ( N. C_ On -> ( _E Or On -> _E Or N. ) )
10	5, 8, 9	mp2 9	. 2 |- _E Or N.
11		df-lti 9697	. . . 4 |- <N = ( _E i^i ( N. X. N. ) )
12		soeq1 5054	. . . 4 |- ( <N = ( _E i^i ( N. X. N. ) ) -> ( <N Or N. <-> ( _E i^i ( N. X. N. ) ) Or N. ) )
13	11, 12	ax-mp 5	. . 3 |- ( <N Or N. <-> ( _E i^i ( N. X. N. ) ) Or N. )
14		soinxp 5183	. . 3 |- ( _E Or N. <-> ( _E i^i ( N. X. N. ) ) Or N. )
15	13, 14	bitr4i 267	. 2 |- ( <N Or N. <-> _E Or N. )
16	10, 15	mpbir 221	1 |- <N Or N.

Syntax hints:   <-> wb 196   = wceq 1483   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   _E cep 5028   Or wor 5034   We wwe 5072   X. cxp 5112   Oncon0 5723   omcom 7065   N.cnpi 9666   <N clti 9669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-om 7066  df-ni 9694  df-lti 9697

This theorem is referenced by:  indpi  9729  nqereu  9751  ltsonq  9791  archnq  9802